空间距离

吴文尧

重点难点

在立体几何中，空间距离主要有：点到平面的距离、两异面直线间的距离、直线到平面的距离（线面平行时）、两平行平面间的距离. 所有的距离计算问题都可以化归为求点到平面的距离，所以求空间距离的重点就转移到如何求点到平面的距离;难点是如何把其他形式的距离转化为点到平面的距离，以及在涉及具体问题时求点到平面距离的解题对策的选择及灵活应用.

方法突破

一、注意把线线距离、线面距离、面面距离转化为点到平面的距离

（1）线面距离化归为点面距离：当直线与平面平行时，直线上的点到平面的距离处处相等，直线上的任意一點到平面的距离即为直线到平面的距离.

（2）面面距离化归为点面距离：当平面与平面平行时，其中一个平面上的点到另一平面的距离处处相等，其中一个平面上的任意一点到另一平面的距离即为两平行平面间的距离.

（3）异面直线间的距离化归为点面距离：如图1，a，b是异面直线，AB是它们的公垂线段（AB的长即为异面直线a，b的距离），过点B作a的平行线a ，则直线a ，b确定的平面α和a平行，AB即为直线a到平面α的距离，所以异面直线的距离可化归为直线到平面的距离，最终化为点到平面的距离.

图1

二、掌握求点到平面的距离的几种常用方法

（1）直接构作法：设点A为平面α外一点，过点A作AB⊥平面α于B，则AB的长即为点A到平面α的距离.

（2）平行转移法：设点A为平面α外一点，过点A作直线a与平面α平行，则直线a上的任意一点到平面α的距离即为点A到平面α的距离.

（3）比例转移法：设点A为平面α外一点，过点A作平面α的斜线OA交α于点O，P为直线OA上的点（如图2），设A，P到平面α的距离分别为h，h0，则h= h0.

（4）体积法：设点A为平面α外一点，△BCD在平面α内，设A到平面α的距离分别为h，则 S△BCD=VABCD，即h= .

（5）空间向量法：设点A为平面α外一点，点B在平面α内，n是平面α的一个法向量，则A到平面α的距离h= .

（6）公式法：设P（x0，y0，z0）为空间直角坐标系内一点，平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，则点P到平面α的距离为d= .

典例精讲

例1  如图3，正方体的棱长为1，C，D分别是两条棱的中点，A，B，M，N是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是________.

图3

思索1  由点到平面的距离的定义可知，点到平面的距离即为过该点的平面的垂线段的长. 若能过该点直截了当地作出已知平面的垂线段，则只需求这条垂线段的长即可，此时问题容易得到解决. 故直接过已知点构作已知平面的垂线段是解决这一问题最容易想到的解法. 解决本题的关键是如何过点M作平面ABCD的垂线段，注意到△NCD，△MBA都是等腰三角形，所以可取两等腰三角形斜边AB，CD的中点E，F，由此不难得到平面ABCD⊥平面MNFE且交线为EF，然后再作垂线段便不成问题了.

破解1  如图4，分别取AB，CD的中点E，F，连结EF，EM，FN. 由于C，D分别是两条棱的中点，所以FN∥EM，且FN= EM，所以M，N，F，E共面，且AB⊥平面MNFE，故二面角M-EF-B是直二面角. 作MG⊥EF于G，则MG⊥平面ABCD，所以MG的长即为点M到截面ABCD的距离. 在直角梯形MEFN中，∠EMN=∠FNM=90°，EM=2FN= ，MN=1，所以EF= ，所以GM= = ，即点M到截面ABCD的距离为 .

思索2  注意到问题涉及的基本图形是一个单位正方体，C，D分别是两条棱的中点，因此建立空间坐标系后，相关点的坐标都容易得到，故也可考虑用空间向量法解之.

图4

破解2  如图4，建立空间直角坐标系O-xyz（原点O与点A重合），则A（0，0，0），B（1，1，0），M（0，1，0），D（0，0.5，1），所以 =（1，1，0）， =（0，0.5，1）. 设平面ABCD的一个法向量为n=（x，y，1），则 ⊥n且 ⊥n，所以 ·n=x+y=0， ·n=0.5y+1=0，所以y=-2，x=2. n=（2，-2，1）， =（0，-1，0），所点以M到平面ABCD的距离h= = .

思索3  运用空间直角坐标系求解这类问题的最大优点是不必为能否作出点到平面的垂线段而烦恼，只需老老实实地做必要的坐标运算就可抵达理想的彼岸;在本题的解答中，若还熟悉空间坐标系中点到平面的距离公式，则可一蹴而就.

破解3  如图4，建立空间直角坐标系O-xyz（原点O与点A重合），则A（0，0，0），B（1，1，0），M（0，1，0），D（0，0.5，1）. 设平面ABD的方程为x+my+nz+p=0，把A，B，D的坐标代入可得p=0，m=-1，n=0.5. 得平面ABD的方程为2x-2y+z=0. 故点M到平面ABD的距离d= = .

例2  如图5，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C是菱形，∠ACC1=60°，侧面ABB1A1⊥平面AA1C1C，A1B=AB=AC=1，求点A1到平面ABC的距离d.

图5

思索1  要直接过点A1作平面ABC的垂线，确实比较困难，注意到二面角B-AA1-C1是直二面角，且△BAA1为正三角形，所以可取AA1的中点O，则OB⊥平面AA1C1，不难发现过点O作平面ABC的垂线相对比较容易，故可把问题转化为求点O到平面ABC的距离较合适. 即选择比例转移法解之.

破解1  由题意可知，△ACC1，△AC1A1，△BAA1都是边长为1的正三角形，如图6，取AA1的中点O，连结OB，则OB⊥AA1. 因为直二面角B-AA1-C1，所以OB⊥平面AA1C1，作OD⊥CA于D，连结BD，则CD⊥平面OBD，所以二面角O-DB-C是直二面角;作OE⊥BD于E，则OE⊥平面ABC. 在Rt△OBD中，OB= ，OD=OAsin60°= ，由此可得OE= . 由于O为AA1的中点，所以A1到平面ABC的距离d=2OE= .

图6

思索2  注意到四面体BACA1的体积容易求出，且△ABC的面积也不难求得，所以也可用体积法解.

破解2  由破解1可知OB⊥平面AA1C1，S△AA C= ·AC·AA1sin∠CAA1= ，OB= ，所以V = ·OB·S△CAA = . 令∠CAB=θ，因为直二面角B-AA1-C1，所以cosθ=cos∠CAA1·cos∠BAA1=- ，所以sinθ= ，S△ABC= ·AC·ABsinθ= .V = ·d·S△ABC= d，又因为V =V ，所以 d= ，解得d= .

变式练习

1. 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，CC1=2 ，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（    ）

A. 2 B.

C.   D. 1

2. 如图7，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E为AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为________.

图7

3. 如图8，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD.设AP=1，AD= ，三棱锥P-ABD的体积V= ，求点A到平面PBD的距离d.

图8

4. 如图9，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D為CC1的中点，求点C到平面ADB1的距离.

图9

5. 如图10，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C. 若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高.

图10

参考答案

1. D    2.

3. 因为AP，AB，AD两两垂直，所以V= AP·AB·AD= . 因为AP=1，AD= ，所以AB= . 作AE⊥BD于E，连结PE，则PE⊥BD，所以BD⊥平面APE，所以二面角A-PE-B为直二面角. 作AF⊥PE于F，则AF⊥平面PBD. 在Rt△ABD中，AD= ，AB= ，AE⊥BD，所以AE= ;在Rt△APE中，AE= ，AP=1，AF⊥PE，所以d=AF= .

4. 延长AD，A1C1相交于点E，连结B1E，作C1F⊥B1E于F，连结DF，则B1E⊥平面C1DF，所以二面角C1-DF-E为直二面角. 作C1K⊥DF于K，则C1K⊥平面B1DE，所以C1K即为点C1到平面ADB1的距离. 在Rt△C1DF中，DC1= ，FC1=C1Esin∠A1EB1= . 由于C1K⊥DF，所以C1K= ，即点C1到平面ADB1的距离为 . 又因为D为CC1的中点，所以点C到平面ADB1的距离也是 .

5. 因为BB1C1C为菱形，且∠CBB1=60°，BC=1，所以△BB1C是边长为1的正三角形，且BC1和CB1互相平分. 因为B1C的中点为O，所以O也是C1B的中点. 作OD⊥BC于D，连结AD，由于AO⊥平面BB1C1C，所以AD⊥BC，所以BC⊥平面ADO，所以二面角O-AD-B为直二面角. 作OE⊥AD于E，则OE⊥平面ABC. 在△ACB1中，AC⊥AB1，AO⊥B1C，OC=OB1= ，所以AO= . 在Rt△AOD中，AO= ，OD= OB= ，OE⊥AD，所以OE= ，即点O到平面ABC的距离为 ，注意到O是BC1的中点，所以点C1到平面ABC的距离为 ，所以平面A1B1C1与平面ABC间的距离为 ，即三棱柱ABC-A1B1C1的高为 .