维C主线复B相辅

顾菊美

江苏作为文化大省，高考试题具有浓厚的地方特色，笔者在此对数学试题中的六大解答题作一简要回顾：

一、向量搭桥解三角，巧用公式得全分

平面向量中的夹角是引发向量与三角函数交汇的主要因素，它把向量与三角函数有机地综合在一起，使三角问题得到充实与加强，能有效地考查同学们解决综合问题的能力。

题型一：结合向量的数量积，考查三角函数的化简或求值。合理选用向量数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。

题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题。此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。

题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算。根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化，列出等式求解。

题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算。涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将其合一变形，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。

二、位置关系识图形，线面互化题必成

立体几何是空间想象的主要载体，但由于江苏文理选修内容的区别，其考查内容以“点、线、面的位置关系”为主，难度系数大约是0.8，故解题策略无非是通过“线线、线面、面面平行与垂直的相互转化”而已，当然，在2010年的试题中出现了点面距离的计算，当年遭到了文科师生的一片质疑，但情有可原，此类问题可通过类比平面几何中的“等面积法”，利用“等体积法”求解。

三、实际应用建模型，最值问题用不等

数学应用性问题是江苏的必考题型之，也是区别于其他省市的概率题作为考查学生应用意识的载体，试题出奇制胜，以函数、不等式、三角、几何问题为背景进行考查，这些试题都有一个共同的特征，那就是变量。函数与导数是单变元问题，不等式是双变元问题，但由于两变元之间往往有一定的约束条件，所以可利用转化与化归的数学思想将其化为单变元问题。因此只要心中有强烈的变量意识，能从变元角度思考问题，就是成功的一半，其解题策略：首先将一个实际问题转化为一个数学问题，进行数学化设计。其次将一个数学问题蒸蒸日划归为一个常规问题，进行标准化设计。最后求解常规数学问题或是解方程、或是证明（求解）不等式、或是函数求极值、或是几何求值与论证、或是解三角形等等。

四、直线与圆暨椭圆，数形结合将值定

解几部分对“直线与圆”的要求均为C级，而对圆锥曲线部分，仅对“椭圆”提出了B级要求，从而使圆锥曲线变为“昨日黄花”，不再作为压轴题。

题型一：直线与圆的位置关系，即相交、相切、相离，并由此求参数的值或范围，以及相交时的弦长、弦之中点、轨迹等问题，解答此类问题的主要方法是：（1）判别式法（方程思想）；（2）平面几何法（数列形结合思想）。

题型二：曲线之间的位置或根据位置求参数的值或范围，其

求解策略主要是通过消元，划归为求解一元二次方程问题，再利用判别式得之。值得一提的是，江苏考试说明明确要求“根与系数之间的关系（韦达定理）不作考查”，因此，一旦涉及此类问题，可通过“设而不求”等方法，即设曲线上点的坐标，再由“点差法”等方法解之。

题型三：圆锥曲线间相互依存，抛物线与椭圆、双曲线的依存关系表现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式，只要掌握三种圆锥曲线的概念和性质，处理这类问题不难。

六年试题中都出现了“定点、定值、最值”问题，解决此类问题主要有下列方法：

一是先通过特殊位置得出定点或定值，然后证明在一般情况下也成立。

二是把所要证明为定点或定值的量表示为另外几个变量的函数或方程，然后通过化简变形，证明结果与变量无关。

三是解决最值、范围问题主要通过寻找所求量的不等式或不等式组并加以求解，或通过构造所求量的函数，然后研究此函数的值域即可。

五、函数性质为主线，导数意义是核心

著名数学家菲利克斯·克莱因认为：函数是数学的“灵魂”，应该成为中学数学的“基石”，强调要用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，主张加强函数和微积分的教学，改革和充实代数的内容，倡导“高观点下的初等数学”意识。

题型一：函数性质的研究，基本初等函数及其组合是函数性质考查的重要载体，必须熟悉一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、反比例函数、耐克函数等的图象与性质，能将比较复杂的函数划归为一些基本初等函数进行性质的研究。函数性质研究以函数单调性研究为重点和难点，函数单调性的判别常使用图象和导数，证明的常用方法是定义法和导数法；奇偶性的判别应注意两个必要条件的应用，证明函數具有奇偶性，必需严格按照定义进行，说明函数不具有奇偶性，仅举出一个反例即可。对函数性质的考查，主要有两类问题，其一是判断函数是否具有某种性质，其二是根据函数具有的性质解决一些问题，如求值、判断零点的个数、解不等式等。

题型二：导数的运算及简单应用，导数运算是导数应用的基础，应该熟练掌握，导数应用的几种常见题型为：求曲线的切线、求函数的单调区间、求函数的最值和值域。

用导数求曲线的切线方程一般解题步骤是：①设切点（已知切点，则直接用）；②由切点求切线的斜率，进而用点斜式写出切线方程；③由相关条件求出参数的值。

用导数求单调区间的步骤是：①求定义域；②解不等式；③写出单调区间。

用导数求闭区间上函数的最值的一般步骤：①求导数的极值点；②列表，确定函数的单调性；③比较区间端点和极值点处函数的值的大小，从而确定函数最值。

题型三：函数知识综合应用，如方程恒有解问题，往往可以转化为两条曲线（其中一条曲线可能为垂直于坐标轴的直线）的交点问题。利用导数研究函数单调性，进而绘制函数图象，利用数形结合的思想分析问题解决问题。再如不等式恒成立问题，往往转化为函数的最值问题，研究的函数可能是含参数的动态函数，也可以是作参变量分离后的定函数。含参数的动态函数的最值需要对其单调性进行分类讨论。在很多问题中，这种讨论最终总是转化为函数在区间上零点个数的讨论。

六、等差等比成双珠，探究构造与反证

数列是函数大家庭中的一员，其特殊性在于其定义域是正整数，它是按一定次序排列的一列数，数列在中学数学中既具有相对的独立性，又具有较强的综合性，它是初等数学与高等数学的一个重要衔接点。数列问题总在最后一两题，综合运用函数、方程、不等式、简单数论等知识，通过运用递推、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力和数学探索创新的能力。

题型一：等差、等比数列的通项公式，前n项和公式和性质的基本运算，本题型往往难度不是很大，考查学生对数列基本知识的掌握程度以及等差，等比两类基本数列的融合考查，前n项和的求法，性质的灵活运用。解决此类问题需要抓住基本量，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算。

题型二：递推关系型问题，常用的方法是再寫一项作差，但要注意首项是否满足要求。通过递推或探索来判断数列及其性质的问题，将一些数列转化成等差（比）数列来解决等，常用的方法如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法。

题型三：探索型问题，数列中的探索型问题很多，大多与数论知识结合，用数列的方法解决问题，即通常是等差、等比数列与方程、不等式或简单的整数问题的综合交汇（一般不与函数综合）。在初等数论中，一是有关奇偶数、质数与合数、平方数与立方数等具有一些显而易见的特征，借助于这些简单的性质，融合到实际问题中，二是有关数的整除问题，关键是考查某一整数的约数，主要通过枚举来确定解的存在情形，这类问题与不定方程联系密切，另外，反证法也是此类问题的常用方法。

回眸六年高考题，江苏模式已成形。

综上所述，六年来的事实证明，江苏试题严格按照《考试说明》进行命题，将8个C级（掌握）层次的知识点作为命题的主线，辅以“函数，导数，点、线、面之间的位置关系”等B级（理解）层次的知识点，通过科学设计，合理安排，命制解答题，从而体现它的科学性、严谨性，更能体现“高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度”这一考试性质。

编辑 温雪莲