古典概型解题技巧解析

韩宝燕

【摘 要】古典概型在概率论中占有相当重要的地位。本文将对古典概型问题的解法进行探讨，题分析，归纳总结出古典概型问题的解题方法。

【关键词】古典概型；分球入盒；对立事件；样本空间；全概率公式

古典概型在概率论中有着相当重要的地位，在概率论的学习中起着奠基性的作用。古典概型是一类特定的随机试验的概率类型，它的主要特点是“各可能结果具有等可能性”。古典概型涉及形式多样的实际问题，本文将对古典概型的解法进行讨论，通过典型例题分析，归纳出解题方法。

1 巧选样本空间解题

例1 n个小朋友随机围圆桌而坐，求其中甲、乙两人坐在一起（座位相邻）的概率。

评：如果更具体点，可选取样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}，ωi表示乙坐在甲左边第i个位置上，它满足有限等可能的要求，要求的事件A={ω1，ωn-1 }。我们这样选取的样本空间Ω是符合古典概型要求（元素有限且等可能） 最小的样本空间了，显然解法二比解法一简便很多。

2 利用分球入盒模型解题

分球如何问题是古典概型中经常遇见的一类题目，它们形式多样，但这类问题可用以下几个公式总结。

2.1 球是可辨别的

例1 设有m个可辨的球，每一个球都等可能地被分配到M（m≤M）个不同的盒子中去，求下列事件的概率：

（1）某指定的m个盒子中各有一球；

解：每一个球有M个盒子可供选择，所以m个球放入M个盒子的放法共有Mm种，且它们都是等可能的。

M个可辨的球放入M个盒子中的分布，是一种理想化的概率模型，可用以描述许多很多直观背景不同的随机试验。如生日问题，性别问题，旅客下站问题，分房问题，意外事件问题。

2.2 球是不可分辨的

这种情形还可以解决其它不同背景的古典问题，例如随机取数问题，英文字母排列问题。

3 利用对立事件方法解题

古典概型中样本空间每一基本事件的等可能性，使古典概型问题具有对称性，也就是考虑对立事件，利用对称思想是解决古典概型的一种常用的思想，如果解决一个问题很困难，可以考虑它的对立事件，则可使问题简单化。

例1 打桥牌时把一副扑克牌分发给4人，问指定某人没有同时得到黑桃A、黑桃K的概率为多少？

4 运用化归的思想解题

化归方法是解决古典概型的另一基本方法，它的基本思想是：当原问题难以解决时，将原问题化为一个比较熟悉、比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。最常见的就是具体问题一般化。具体问题一般化就是说把特殊问题当作一般问题处理，通过一般问题的解决然后再将问题特殊化就解决了。

例 甲、乙两人各有本钱50元，20元，他们以掷一枚硬币决定胜负，规定每掷一次，若正面朝上则甲付给乙1元，反之，则乙付给甲1元。如此继续下去，直至一人输光。求下列事件的概率a）甲输光b）已输光c）永不输光

评：由上例可以可看出，对于一些求总量的古典概型，如果问题的条件描述了它的逐步变化规则，那么用特殊到一般的方法，通过建立递推关系求解往往是很有效的。

5 利用全概率，条件概率公式解题

例 1 设某类产品是由1，2，3三个加工厂生产的，它们的市场占有率分别为0.5，0.25，0.25，其产品的次品率分别为0.02，0.02，0.04。今从市场任购一件这类产品，试问买到次品的概率是多少？

例2 某保险公司的统计表明，新保险的汽车司机中可化分为两类：第一类人易出事故，其在1年内出事故的概率为0.4，第二类的人比较谨慎，其在1年内出事故的概率为0.2.假定第一类占新保险司机的30%。那么一个新保险客户在买保险后1年内出事故的概率为多少？

解：设事件A=“客户在一年内出事故”，直接求A的概率不容易，要设法找到与A有关的分割，设B=“第一类投保司机”C=“第二类投保司机”，且{B、C}构成Ω的一个分割，并且知道p（B）=0.3，p（A/B）=0.4，p（C）=0.7，p（A/C）=0.2，利用全概率公式可得p（A）=p（B）p（A/B）+p（C）p（A/C）=0.26，这表明，100位新客户在1年内大约有26人出事故。

【参考文献】

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[2]曲秀英.关于古典概型—随机取数问题的计算[J].中学数学杂志，2002（2）：31-32.

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[5]王家正.古典概型中的分球入盒问题[J].中学数学教学，1999（5）：7-8.

[责任编辑：汤静]