浅析中学几何解题中蕴含的方程思想

孙玉勇

【摘要】本文讨论了中学几何解题中所蕴含的方程思想，主要包括平面几何和解析几何.通过具体例题展现了如何运用其中所蕴含的方程思想来解几何题，充分体现了方程思想是中学数学的基本思想.

【关键词】中学几何；方程思想；圆锥曲线

数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学.许多数学对象都存在某种形式的数量关系，最基本的数量关系是相等和不等.当我们将数学量的相等关系用等式来表示，且把其中一个或几个数学量当作未知量时，就得到了方程.有关方程的基本知识主要包括方程解的定义、韦达定理、方程有解或无解的充要条件、方程在某个范围有解或无解的充要条件、方程有无穷多个解或有限多个解的充要条件等内容.利用方程的基本知识来解决数学问题的思想，可以称为方程思想.

方程的思想可追溯到伟大的数学家笛卡儿，在《指导思维的法则》一书中他提出了一种解决数学问题的所谓“万能方法”，其模式是首先将任何种类的问题转化为数学问题，其次将任何种类的数学问题转化为代数问题，最后将任何种类的代数问题转化为方程或者方程组的问题.在得到方程（组）后，讨论方程（组）的解的问题，得到解之后再对解进行解释.这一模式现在看来虽不能说是万能，但在处理数学问题时确有广泛的应用.这种过程可用下表描述：

在中学数学里，大量的数学知识是以相等关系反映的，而数学问题也常常明显地或隐含地存在着相等关系.近几年来，中学数学试题更加注重数学思想方法的考查，方程的思想尤为突出.因此，在数学教学过程中有意识地渗透方程思想是十分必要的，指导学生自觉应用方程思想解题对培养能力、提高思维素质都具有重要意义.本文主要讨论中学几何包括平面几何和解析几何解题中所蕴含的方程思想.

我们知道，几何中的许多计算问题其实都可以转化成方程问题，即都可以通过列方程来求解.不但如此，即使是一些证明问题、曲线问题，也可借助方程作为工具去求解，而且这样的解题方法往往更加直接、简便.

（一）几何最值问题

在最近几年各地的数学中考试卷中，经常出现一些最值问题，这些最值问题的提出通常是在平面直角坐标系中，与二次函数的知识综合在一起，有些问题可以用函数最值的知识去解决，但有些却不能.因此，这些最值问题给学生的中考答卷造成了相当大的困难.实际上，解决这种最值问题只是用到了平面几何中的相关知识，而解决这些问题往往可以利用方程的思想，下面的题目就是利用一元二次方程的有关知识来解决平面几何的最值问题.

评注本题考查直线与椭圆的基本概念及性质、解析几何的基本思想及综合灵活运用知识的能力.用待定系数法求方程是解析几何中的常规方法，本题的关键是运用对称轴的有关性质和韦达定理建立方程组求解.这些都要求对方程思想的内涵理解深透，会灵活运用.

结束语

综上所述，方程思想是中学数学的基本思想，是将数学知识转化为能力的桥梁，几乎渗透到中学数学的各个领域，应该说方程思想在中学数学解题中的运用是非常广泛的，不仅仅体现在几何题的解法中，在其他如代数问题、三角函数问题中，它都起着举足轻重的作用.因此在解题时自觉运用方程的思想，不仅有利于解题思路的寻求和优化，也有利于沟通知识的纵横联系，对拓宽学生的思路、发展他们的智力、培养创造性思维等都具有十分重要的意义.

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