数列思想在一类证明题中的应用

祁玉海

【摘要】本文通过比较两个数列通项的大小，来比较其前n项和的大小.据此证明形如“a1+a2+…+an≤f（n）”等类型的问题，操作方便，见解新颖.

【关键词】数列；数列的通项；数列的通项公式

引言

一、 简单背景

二、主要概念

通常，我们将按照一定次序排列的一列数叫数列.数列中的一个数叫作这个数列的项；而数列的第n项，叫作数列的通项；若一个数列的第n项an与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，就把这个公式叫作这个数列的通项公式.在一个数列中，我们用an来表示数列的通项，用sn来表示此数列的前n项和.

三、主要内容

引理

在某两个正项数列中，若其中一个数列的通项小于另一个数列的通项的充要条件是其前n项和必小于另一个数列的前n项和.

证明设两数列的通项分别为an，bn.

此类型题目关键在于推测其前n项和的公式，这往往可根据题目隐含条件推出，验证时就采用前面所说方法，推出通项公式后，只需验证第一项符合与否，便可得出结论.

二、已知一个数列，对其不等式的证明

这类题目其实和前面证明等式的题目相似，区别在于这类题目的中间承接符号为不等号，所以在证明时，要根据需要扩大或缩小式子，得出an>或s′n即可.

三、总结

以上几种类型的题目便是数列思想在这类证明题中应用的实际体现，从上述题目的解法可看出，数列思想的应用，简化了原本复杂的证明，使得原本很难的题目变得容易，而且此种方法有助于活跃思维，当积累了一定的证题经验之后，特别是后面的构造法，使得思维目标广阔，灵活多变.

【参考文献】

[1]娄桐城.中学数学词典.知识出版社出版，1984.

[2]刘文.数列与极限.上海教育出版社出版，1979.

[3]多洛费也夫.初等数学问题选析.上海教育出版社，1983.