排列与组合的教学研究

2014-04-29刘冰

数学学习与研究 2014年9期

刘冰

【摘要】排列与组合是数学中两个重要概念，也是教与学的难点，作者结合多年教学实践，从分步与分类、有序与无序入手，对这两个概念的本质区别和各类应用进行了深入的研究，对如何开展教学给出了具体的方法和步骤，可以为学生学习和教师教学提供一定的理论指导.

【关键词】数学；排列组合；计数原理；教学研究

排列与组合是数学中一个独特而重要的内容，较之其他知识具有更抽象、更灵活的特点.学习这部分内容，对发展学生的思维品质、提高分析和解决问题的能力是一个很好的锻炼机会.现结合自己多年教学实践的经验与体会，谈谈如何进行排列与组合的教学.

一、两个计数原理的教学

两个计数原理分别是分类加法计数原理和分步乘法计数原理.它们看起来很简单，却是排列与组合的基础和核心，牢固掌握加法原理和乘法原理是学好排列与组合的基础和关键.

教学中可通过日常生活中具体生动的事例逐步引入这两个计数原理，然后着重补充讲解它们的区别及应用条件：做一件事，如果有几类互相排斥的完成方法，那么就应用分类加法计数原理，把每一类的做法种数相加；如果需要分几个互相独立的步骤，只有把每一步骤都完成，才能完成这件事，就应用分步乘法计数原理把每一步骤的做法种数相乘.抓住这一特点，可更简单地归结为：

分步——相乘分类——相加

如何区分分步与分类呢？简单地说，如果每次得到的是中间结果，则为分步；如果每次得到的都是最后结果，则为分类.这样教学对学生来说更容易理解及掌握.当然，问题并非都这么简单，如果在某个步骤中又分好几类，或在某一类中又要分好几个步骤，就需要综合运用这两个计数原理.

二、排列与组合概念的教学

排列与组合的概念是比较抽象的，教学中首先应结合教材上的例题，列出各种不同的排列（组合）结果，然后总结出各例子共有的特点，最后概括、抽象出问题的本质属性，从而给出排列（组合）的一般定义.

排列与组合的概念，从二者的一般定义上看好像很相似，都是从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，这是它们的共同点；而对取出的m个元素是否进行排序，是判断属于排列问题还是属于组合问题的关键.抓住这个特点，可以简单地归结为：

既取又排——排列只取不排——组合

排列与组合的概念教学的关键就是让学生了解二者之间本质的区别.

三、排列数与组合数的教学

引入排列、组合的概念之后，应训练学生会具体写出某些个数不太多的所有排列（或组合），这对巩固概念和推导排列数（或组合数）公式，起到承前启后的作用，也是培养学生逻辑思维能力的好机会，因此它是教学过程中不可缺少的一环，应引起足够的重视.在推导出排列数Amn、组合数Cmn的公式后，应引导学生观察公式的特点，掌握公式的各种变形，并通过做一定数量的习题强化，以达到理解概念熟悉公式，能灵活运用的目的.

四、关于应用题的教学

这部分是教学中的难点.排列与组合问题由于条件不同，要求不同，因而解题的方法变化多端；思维的方式不同，就会有不同的解题方法.教材例题一般都是典型的例子，应讲深讲透.在讲解例题过程中，要穿插介绍分类及分步的原则.分类原则：分类必须用统一标准，无遗漏，每类之间互相排斥；分步原则：分步必须每一步互相衔接，不重复，每步完成一个内容，所有步骤衔接起来就是完成事件的全过程.这两个原则对解决复杂问题非常有帮助.

总结各类排列、组合问题，可以发现，应用题大致分为三种类型：

1.没有附加条件的单纯排列或组合题——称之为“基本题”；

2.有附加条件的单纯排列或组合题——称之为“变化题”；

3.排列与组合结合起来的综合性题——称之为“综合题”.

“基本题”可以帮助学生巩固排列与组合的概念，建立“有序与无序”的思维；“变化题”与“综合题”可以培养、提高学生灵活运用知识的能力.

正确解题的前提是准确理解题意，尤其是对“变化题”和“综合题”.教学中应特别注意引导学生考虑以下三点：

一是区分问题的性质，是排列问题还是组合问题.

二是明确共有多少元素，每次取几个.

三是考虑有什么限制条件，特别是有无隐含的限制条件.

尤其对第三点，应给予特别的重视，分析清楚所有限制条件，是解决复杂问题的关键.解题的基本思路是：特殊元素和特殊位置给予特殊安排（称之为“三特思路”）.下面举例说明：

例1从数字0，1，2，3，4，5中任取五个数字，问：

（1）可以组成多少个没有重复数字的五位数？