在图形中感悟数学

田红梅

小学数学教育是学生认识数学、理解数学、形成数学思维基础的重要阶段，对学生日后的数学学习能力、学习兴趣、学习深度等都有一定的影响。几何与代数是数学教育中较为重要的两个部分，时而以数求几何变化规律，时而以几何解决数字谜团，如常见的追击问题、三角形相关问题、函数问题等都是通过数形结合的方式明确解题思路，建立解题方式，效果十分显著。本文重点阐述数形结合的教育思想在小学数学教育中的重要性。

一、以数化形，提高能力

一些教学手段将数字这种抽象的数学概念强加于学生，虽然学生能够掌握和接受，但这种外部植入式的教育存在一定的风险。在教学中我们不如将“数字”“计算”的演变过程给学生模拟，比如在余数的教学设计中，我们可以引用图形为学生讲解余数是怎么来的余数的意义是什么。

如一个正方形由四条边组成，一个三角形由三条边组成，现有4个正方形，在保持边数不变的情况下可以搭建几个三角形。解题之初首先引领学生将实际问题画出来，即在草纸上画出4个正方形，之后数出边数，16条，依次画三角形，发现当画完第五个三角形时还是一条边，所以最多可以画出5个三角形。教师进一步引领学生，将1条边看作数字1的概念，2条边就是数字2，依次类推，4个正方形共有16条边，也就是数字16，三角形需要3条边，也就是数字3，所以16÷3=5……1。

由此题可引出余数的概念，使学生能够理解余数的意义以及余数出现的原因。另外可以扩展解题思维，使该题变成一道能力题，如果将正方形看作等差数列A={4，8，12，16}， 三角形看做等差数列B={3，6，9，12，15，18……}未知数集，那么根据已知条件就有B≤A，解得B={3，6，9，12，15}，所以可做5个三角形。这样使图形与数学、集合等概念相互联系，培养数形转化思想，打下数学思维基础。

二、由形变数，激活思维

将复杂的图形问题转化为数学计算是数形思想的另一个重点内容。由于学生无法想象空间的变化规律所以可以抽取图形问题的关键点，使其转化为数字问题，从而通过计算得到解答。如最基本的平面计算、立体图形体积计算等。教学中我们常以“集合解题”这类经典题型启发和培养学生由形变数的思维和能力，如：一个工厂日常需做3种工作，即加工、包装、运输，已知加工工人共有42人，包装工人共有34人，运输工人共有38人，而三个工作都参与的工人17人，问此工厂共有多少人？

若以数字形式直接进行解题会有一些难度，学生不易理清思路，做题过程中相关联系不明显、不直观，学生很容易出现错误。教师可引领学生将问题画出来，如：首先在草纸上画出三个圆圈，第一个圆圈代表加工，第二个圆圈代表包装、第三个圆圈代表运输，再在每一个圆圈里加上一个小圆圈代表三项工作均参与人数。结果学生发现若只去除每个大圆圈中的小圆圈则代表单干一项工作的人数，而总人数为单干一项工人总人数加上三项均参与工人总人数，那么就有：42+34+38-17×3+17=80。

该式为学生解题思路公式，可将其整理为42+34+38-17×2=80，教师可以根据最终整理式激活学生思路，即根据公式意义得到其中17人多干了2项工作，也就是重复计算了2次，将其重复计算的部分排除最终得到了全体人数。虽然计算式相差无几，但是其解题意义发生变化，有利于活跃学生解题思维。

三、形数互变，点亮课堂

以图形理解数学，以数学解答图形是数形思想的基础，利用学生对图形的直观认识理解数学的抽象，以数学的计算应用性解答实际图形中的相关问题，才能形成良性循环。这里所指的图形并非某一特定形状，而是实体化、直观化、感官化的数学模型，如坐标、平面图形、立体图形、集合圈等等能够使学生将数学概念感官化的形式。

培养学生数形互转的解题思维有助于扩展其解题思路，为数学思维的培养打下基础，对学生数学素养和能力的培养有着十分积极的影响。如在解教学常见工程问题的时候，例题如一抽水车进行抽水作业，若效能提升30%可提前1小时完成，若先抽掉100千升水后提效40%可提前40分钟完成，问水池有多少千升水。

根据题意可以将抽水时间与抽水量近似地看成矩形的长与宽，而面积表示总水量，根据题意可以绘制出两个形状不同但面积相同的矩形，除重合部分外，其余部分的面积应该相等，由此思路解题。此题同样是为学习初中函数的坐标轴转化思想打基础。

数字是数学的特有概念，我们将生活中常见的事物、问题进行剖析，将重点摘出来，变成“数字”，使问题简化，并且易于计算。所以我们应该利用学生熟悉的、常见的、可以感官体验的图形形式将数字形式进行转化，培养其转化思想和解题能力，从而达到在图形中感悟数学，形数互变联合解题的目的。