椭圆内的常见结论讲座

李晶

我们都知道，椭圆与相关问题一直是圆锥曲线中的重点和难点，特别是对于椭圆的研究与学习的情况影响了下面双曲线、抛物线的学习，而且在近几年的高考大纲中也提升了椭圆的地位。我在椭圆的定义及标准方程的教学过程中，总结出椭圆里常用的结论，今天与各位做一下交流，我们拿焦点在x轴的椭圆为例，椭圆的标准方程为：（焦点在y轴上时可以仿此推导相应结论）。设椭圆上点P，左焦点F、右焦点F，∠F1PF2=θ

一、椭圆的几何性质

我们先从椭圆的本身来分析，从椭圆的几何性质来说主要是长短轴、顶点、离心率、准线方程。特别是离心率是高考的热点，而如何求离心率的问题也一直是难点，其实只要抓住a与c，利用所给的条件来建立它们之间的关系式，问题就会迎仞而解了。

1.椭圆的长轴长2a，短轴长2b，焦距2c

2.椭圆的顶点坐标焦点坐标

3.椭圆的离心率

4.椭圆的a、b与e的关系

5.椭圆的准线方程

6.椭圆的x、y的取值范围-a≤x≤a，-b≤y≤b

二、点M（x1，y1）和椭圆的位置关系

我们知道点与圆的位置关系可以直接带入圆的标准方程中，比较与圆心之间的距离与半径的大小，那么椭圆呢？要判断的话只能借助于椭圆的定义式推到，经过推到我们得到了下面的结论，可以发现就是将点带入椭圆标准方程中比较与1的大小。

1.点M（x1，y1）在椭圆内<1

2.点M（x1，y1）在椭圆上=1

3.点M（x1，y1）在椭圆外>1

这样如果出现过定点的直线与椭圆一定相交，那就隐含着定点一定在椭圆上或椭圆内部，那么就可以直接带入求解了。

三、过点作椭圆切线的问题

过一定点作椭圆的切线并求切线方程问题，学生一看见就要设斜率来求解，对于选择和填空题来说这种计算量较大还容易出现问题，经过总结我们如果用以下的结论就会更便捷。

1.若点M（x1，y1）在椭圆上，则过点M（x1，y1）可作椭圆的一条切线，其方程为（求此方程利用判别式等于零或利用导数）

2.若点M（x1，y1）在椭圆外，则过点M（x1，y1）可作椭圆的二条切线，这两条切线有两个切点，过这两个切点的直线方程为

3.若点M（x1，y1）在椭圆内，则过点M（x1，y1）可作椭圆的任意一条弦，过这条弦的两个端点引椭圆的两条切线，如果这两条切线相交，则交点一定在方程表示的直线上。

四、直线与椭圆位置关系

将直线方程与椭圆联立，消去y，得关于x得一元二次方程，可利用此方程的判别式以及韦达定理，解得：x1+x2与x1·x2

1.若此方程判别式小于零，则此直线与椭圆相离

2.若此方程判別式为零，则此直线与椭圆相切

3.若此方程判别式大于零，则此直线与椭圆相交。在这种情况下，可解得椭圆弦长

五、相关性质

1.焦点到相应准线距离叫焦参数，用p表示，

2.椭圆上点P（x0，y0）到焦点的距离叫焦半径，焦点F、F，则|PF1|=||，| PF2|=||（焦半径公式）

3.过焦点弦长公式（其中a为弦与长轴夹角，用极坐标推导）

4.焦点三角形面积公式=（后者用海伦公式推导）

5.共焦点椭圆方程

共离心率椭圆方程

共x轴顶点椭圆方程

6.椭圆面积公式πab（可以由椭圆是由圆拉伸得到的进行解释，相关知识：面积摄影定理）

7.以长轴为直径的圆与以焦半径为直径的圆的位置关系为相内切。

8.焦点三角形的旁切圆（三个中有两个）与椭圆相切与长轴端点。

9.点A在椭圆内，则的最小值为点A到与F1对应的准线距离。

10.点A在椭圆内，则的最小值为，最大值为。

11.点N（n，0）在长轴上，点P到N的距离的最小值不在长轴端点取到，则n的取值范围为（-ec，ec）

通过总结这些性质我们不仅对于椭圆的认识加深了，而且对于圆锥曲线的把握也更加准确。在解决圆锥曲线问题上会做到事半功倍。