自适应Kalman滤波在地表沉降观测中的应用

2014-04-18刘兴亮余学祥

地理空间信息 2014年6期

关键词：观测站卡尔曼滤波差值

刘兴亮，冉典，余学祥

（1.安徽理工大学测绘学院，安徽淮南 232001）

自适应Kalman滤波在地表沉降观测中的应用

刘兴亮1，冉典1，余学祥1

（1.安徽理工大学测绘学院，安徽淮南 232001）

地下采煤引起的地表沉陷是一个时间和空间的过程，据此提出了观测站动态数据处理模型Kalman滤波和自适应Kalman滤波，通过实例验证了自适应Kalman滤波比普通Kalman滤波在观测站数据滤波和预测中具有优越性。

动态数据处理；Kalman滤波；自适应Kalman滤波

对地表移动观测站数据建立预测模型的方法很多，如时间序列方法、频谱分析方法、Kalman滤波方法等。前2种方法要求观测数据较多，并且只适用于对一点进行预测，而Kalman滤波方法对初始数据个数要求较少，且适用于对整个观测站或其中任一监测点进行预测。下面以某地表移动观测站为例，介绍Kalman滤波[1]和自适应Kalman滤波[2]预测模型建立的原理和步骤。

1 Kalman滤波状态方程和观测方程

假设观测站由n个监测点组成，监测网高差观测值个数为m。以测点的高程和高程速率为状态向量。设点i在时刻t的位置向量为ξi（t），瞬时速率为λi（t），将瞬时加速率Ω（t）看成随机干扰项，有以下微分关系式成立：

记i点的状态向量为Xi（t），全网的状态向量为X（t），则式（1）可写成：

式（2）是一个常系数连续线性系统微分方程，采用拉普拉斯变换将其离散化[3]，可得Kalman滤波的状态方程为：

根据文献[1]可得全网n个点的状态方程为：

式（4）即为观测站Kalman滤波的状态方程。

将整个观测站看作一个动态监测系统，而动态监测系统由状态方程和观测方程[4]组成。当以高差为观测值时，某一观测值Lij在第k+1次的观测方程为：

Lij/k+1=-ξi/k+1+ξj/k+1-∆tij/k+1λi/k+1+∆tij/k+1λj/k+1+νij/k+1(5)式（5）中，∆tij/k+1=tij/k+1-tk+1，而tij/k+1为高差Lij的观测时刻，tk+1为第k+1次观测时各高差观测的中心时刻。对于移动观测站而言，一般每1个月左右观测一次（沉陷活跃期半个月左右观测一次），∆tij/k+1与两次观测的时间间隔∆tk=tk+1-tk相比可忽略不记，则式（5）可以表示为：

整个观测站的观测方程[5]为：

式（4）和式（7）共同构成了整个观测站动态数据处理的Kalman滤波模型：

式中，Φk,k-1为k-1到k时刻的系统一步转移矩阵；Γk,k-1为系统噪声矩阵；Ωk-1为k-1时刻的系统噪声；Bk为k时刻系统的观测矩阵；Δk为k时刻系统的观测噪声；Xk为k时刻的系统待估状态参数；Lk为k时刻系统的观测向量矩阵。

2 观测站Kalman滤波模型

观测站Kalman滤波模型由函数模型和随机模型[6]组成，式（8）为函数模型，随机模型为：

式中，DΩ（k）称为系统动态噪声方差阵；δkj为

根据广义最小二乘估计原理，可利用高差观测值Lk计算tk时刻状态向量Xk的最佳估值X^（k，k）。用X（k，k）表示X^（k，k）。Kalman滤波方程为：

式中，

式中，X（k/k-1）为一步预测值；DX（k/k-1）为一步预测方差阵；Jk为状态增益矩阵；Ek为预测新息或残差。

3 自适应Kalman滤波

一般的Kalman滤波器其预测结果容易发散，为克服发散现象，常采用自适应滤波[7]方法。其构建思想是：假定观测值不存在粗差，存在标准的正态分布，当动力模型存在异常误差时，将动力模型信息作为一个整体，采用统一自适应因子调整动力学模型信息对状态参数的影响。按求条件极值的方法所确定的自适应Kalman滤波公式如下：

式中，

Jk为新的增益矩阵：αk为自适应调节因子：

式中，c0可取1．0～1．5；c1可取3．0～8．0。

式中，Xk为当前参数的最小二乘解：

从自适应滤波表达式可看出，自适应Kalman滤波改进了标准Kalman滤波。随着αk的变化，自适应Kalman滤波在最小二乘、标准Kalman滤波和自身之间变化。

4 实例分析

下面以某矿区的地表移动观测站为例进行说明。选取走向线上具有典型代表性的2个监测点ML05和ML16作为研究对象。ML05离开采工作面边界较近，受开采影响较小，ML16在下沉曲线的拐点附近，其水平移动和倾斜最明显。表1和表2分别给出了监测点ML05和ML16采用最小二乘、标准Kalman滤波和自适应Kalman滤波时的高程值及其差值；图1和图2为ML05和ML16高程平差值和Kalman及自适应Kalman滤波值差值比较；表3和表4给出了平差值和采用标准Kalman滤波及自适应Kalman滤波预测值；图3、图4为监测点ML05、ML16高程平差值和标准Kalman、自适应Kalman滤波预测值对比。这里给出了从第5期到第12期的结果，前4期主要用来确定滤波初始值。