给学生以“思想”附课堂以“灵魂”

张卫国

人教版教材五年级上册“多边形的面积”单元，是在学生认识三角形、平行四边形和梯形，理解了面积的概念，会计算长方形、正方形面积的基础上，进一步学习平行四边形、三角形和梯形的面积，形成有关多边形面积的系统知识。在以往的教学中，这些教学内容的编排往往侧重于理解和掌握图形面积的计算方法，而对于促进学生空间观念的发展，在学习素材和实践操作方面都显不够。

本单元教材在编排上突出的变化是，加强动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程，使学生得到较多的有关空间观念的训练机会。首先，每种图形面积计算方法的教学，均采用让学生动手实验、自主探索得到。例如，平行四边形的面积，是先借助数方格的方法得到；再引导学生通过剪、拼图形，将平行四边形转化为长方形，推导出平行四边形的面积计算方法。其次，按照知识学习的先后顺序，逐步提高探索的难度和要求。三角形的面积计算就直接让学生试着将三角形转化为已学过的图形推导出面积计算公式。到梯形面积的计算时，要求学生综合运用学过的方法自己推导出面积计算公式。第三，研究每一种图形面积的计算方法时，教材均没有给出推导的过程和计算公式，以便于学生从多种途径探索、自己得出结论，从而给教师和学生都留有较大的创造空间。基于以上的编排思路，笔者对这个单元的教学作了深层次的思考。

一、注重前有孕伏，感受化归思想

“转化”是数学学习和研究的一种重要思想方法，本单元面积公式的推导都采用了转化的方法。教学中，应以学生的探究活动为主要形式，教师加强指导和引导。通过操作，引导学生去探究所研究的图形与转化后的图形之间有什么联系，从而找到面积的计算方法，渗透“转化”的思想方法。

因此，在本单元的教学中，笔者补充了一节起始课：比较图形的大小，让学生借助方格纸，能直接判断图形面积的大小（如图1）。同时通过交流，知道比较图形面积大小的基本方法：割补、平移、旋转，体验图形形状的变化与面积大小变化的关系。本单元以“知识”与“思想”这一明暗两条线索牵动学生的思维。通过补充，引导学生自觉地尝试运用数学思想方法解决问题的意识，化归思想统领了整个单元。

二、实践几何变换，发展空间观念

等积变换是几何学习中重要的思想方法，也是数学推导与证明的一种重要手段。本单元从平行四边形转化为长方形，从三角形、梯形转化为平行四边形以及计算组合图形的面积中都可以由等积变换中获取成功。

（一）在探究中实行变换

在本单元的新课探究中，这种等积变换的思想应成为探究过程的一条重要策略。

在三角形、梯形的面积计算公式推导过程中，除了倍积变换的思路，还可以引导学生采取割补的方法，深度探索等积变换获得面积的计算公式方法。如在梯形面积计算教学中，运用等积变换的思想来推导公式。

方法1：将梯形转化为两个三角形。

方法2：将梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

方法3：还可以分割中位线把它转化为平行四边形或者长方形。

无论是倍积变换还是等积变换，它们的本质是一样的，都运用了数学学习和研究的一种重要的方法——转化。对于平面图形面积计算公式的推导一般都采用转化的方法，教师通过学生的操作活动，启发学生把所学的图形转化为已经会计算面积的图形，落实转化的思想方法；然后引导学生思考探究所学图形与转化成的图形之间有什么联系，从而找到面积的计算方法。而在实际操作中，似乎更多的学生喜欢用倍积变换的思想来推导计算公式，这可能与教师提供的探究材料和探究建议有关，因为教师往往已有意识地引导学生用两个图形来拼组，如此看来，学生就“被探究了”，倍积变换确实是得到所求图形面积计算公式比较简单的方法，但如何进一步促进学生的探究意识和能力需要在等积变换中实现。因此在教学中不妨这样设计：

比如，在“三角形面积计算”教学中，出示问题：一个三角形底是4厘米，高是3厘米，它的面积是多少？

将它放在方格纸中，数一数，它的面积是多少？你是怎样数的？

有了方格纸为背景，学生就有探究思考的基础，也有利于等积变换思想方法的实施，并为后面梯形面积计算公式的推导打好基础。

（二）在练习中实行变换

运用几何变换，除了要求在新课的探究中，不把学生的思维限制在一种固定或简单的途径或方法上，鼓励学生从不同的途径和角度去思考和探索解决问题外，还需要在练习中注重图形的变式，注重培养学生思维的灵活性和深刻性。通过加强从形的层面积累经验，凸现等积变形思想，加强空间变换的应用，积极创造本单元的新型习题，提供应用机会，帮助学生发展空间观念。

如在“三角形面积计算”的练习课中，笔者设计了这样一道题：

一个长方形长4厘米，宽3厘米， A 为长方形内任意一点，求阴影部分面积 。

对于几何图形的变换需要想象，从而发展学生的空间观念，培养学生的能力。为此，对于此题笔者根据运动的观点设计了三类题型，先让学生观察变化中的三角形，通过移动A点，形成了不同的阴影部分，通过观察这些三角形，发现了它们的共同特点，沟通了它们之间的联系。

进一步，教师出示图3（单位：米），计算阴影部分面积。由于求两个阴影三角形的面积和缺少条件，学生或用代数的方法，把下底的长度用（a+b）来表示（如图5），然后进行推导。或利用等积变形的方法，转化成如图6的形式后，再计算阴影部分面积。

三、沟通知识联系，提升思维品质

知识的有效达成建构，是学生掌握与应用知识的重要手段。良好的认知结构有利于学生的及时提取并解决问题。为此，教师一方面要在教学中通过渗透联系的观点，凸现转化的思想，实现知识的有效建构；另一方面要把握知识的本质联系，提升学生的思维品质，提高教学的有效性。

（一）沟通图形面积的推导过程

本单元的图形之间有着密切的联系，在整理复习课中，通过让学生回忆各个图形面积的推导过程，让学生体会到图形之间是可以互相转化的，通过构建知识网络图，让学生在头脑中形成一个联系网，可以帮助学生更好地掌握和理解各个图形的面积计算方法。

（二）沟通各种图形求积公式之间的联系

长方形、梯形、三角形和平行四边形的面积公式有着密切的联系，笔者在教学中进行了这样的课件演示：梯形的上底慢慢缩短变成一个三角形；梯形的上底慢慢延长变成一个平行四边形；梯形的上底延长与下底相等且两腰互相垂直变成一个长方形。让学生发现梯形与三角形、平行四边形、长方形之间也存在着密切的联系，并指出它们的面积公式间也有着密切的联系。例如通过梯形与各个图形之间的联系，我们发现三角形、平行四边形、长方形的面积计算公式都可以联系梯形的面积计算公式。

总之，教师如果能在教学中渗透数学思想方法，就像为课堂点亮了一盏明灯。可以这么说，小学数学教师谁真正在教学中关注数学思想方法的渗透，谁就获得了高效教学的入场券，这也是笔者对小学数学教学的追求。

（浙江省杭州市萧山区回澜小学 311200）endprint

人教版教材五年级上册“多边形的面积”单元，是在学生认识三角形、平行四边形和梯形，理解了面积的概念，会计算长方形、正方形面积的基础上，进一步学习平行四边形、三角形和梯形的面积，形成有关多边形面积的系统知识。在以往的教学中，这些教学内容的编排往往侧重于理解和掌握图形面积的计算方法，而对于促进学生空间观念的发展，在学习素材和实践操作方面都显不够。

本单元教材在编排上突出的变化是，加强动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程，使学生得到较多的有关空间观念的训练机会。首先，每种图形面积计算方法的教学，均采用让学生动手实验、自主探索得到。例如，平行四边形的面积，是先借助数方格的方法得到；再引导学生通过剪、拼图形，将平行四边形转化为长方形，推导出平行四边形的面积计算方法。其次，按照知识学习的先后顺序，逐步提高探索的难度和要求。三角形的面积计算就直接让学生试着将三角形转化为已学过的图形推导出面积计算公式。到梯形面积的计算时，要求学生综合运用学过的方法自己推导出面积计算公式。第三，研究每一种图形面积的计算方法时，教材均没有给出推导的过程和计算公式，以便于学生从多种途径探索、自己得出结论，从而给教师和学生都留有较大的创造空间。基于以上的编排思路，笔者对这个单元的教学作了深层次的思考。

一、注重前有孕伏，感受化归思想

“转化”是数学学习和研究的一种重要思想方法，本单元面积公式的推导都采用了转化的方法。教学中，应以学生的探究活动为主要形式，教师加强指导和引导。通过操作，引导学生去探究所研究的图形与转化后的图形之间有什么联系，从而找到面积的计算方法，渗透“转化”的思想方法。

因此，在本单元的教学中，笔者补充了一节起始课：比较图形的大小，让学生借助方格纸，能直接判断图形面积的大小（如图1）。同时通过交流，知道比较图形面积大小的基本方法：割补、平移、旋转，体验图形形状的变化与面积大小变化的关系。本单元以“知识”与“思想”这一明暗两条线索牵动学生的思维。通过补充，引导学生自觉地尝试运用数学思想方法解决问题的意识，化归思想统领了整个单元。

二、实践几何变换，发展空间观念

等积变换是几何学习中重要的思想方法，也是数学推导与证明的一种重要手段。本单元从平行四边形转化为长方形，从三角形、梯形转化为平行四边形以及计算组合图形的面积中都可以由等积变换中获取成功。

（一）在探究中实行变换

在本单元的新课探究中，这种等积变换的思想应成为探究过程的一条重要策略。

在三角形、梯形的面积计算公式推导过程中，除了倍积变换的思路，还可以引导学生采取割补的方法，深度探索等积变换获得面积的计算公式方法。如在梯形面积计算教学中，运用等积变换的思想来推导公式。

方法1：将梯形转化为两个三角形。

方法2：将梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

方法3：还可以分割中位线把它转化为平行四边形或者长方形。

无论是倍积变换还是等积变换，它们的本质是一样的，都运用了数学学习和研究的一种重要的方法——转化。对于平面图形面积计算公式的推导一般都采用转化的方法，教师通过学生的操作活动，启发学生把所学的图形转化为已经会计算面积的图形，落实转化的思想方法；然后引导学生思考探究所学图形与转化成的图形之间有什么联系，从而找到面积的计算方法。而在实际操作中，似乎更多的学生喜欢用倍积变换的思想来推导计算公式，这可能与教师提供的探究材料和探究建议有关，因为教师往往已有意识地引导学生用两个图形来拼组，如此看来，学生就“被探究了”，倍积变换确实是得到所求图形面积计算公式比较简单的方法，但如何进一步促进学生的探究意识和能力需要在等积变换中实现。因此在教学中不妨这样设计：

比如，在“三角形面积计算”教学中，出示问题：一个三角形底是4厘米，高是3厘米，它的面积是多少？

将它放在方格纸中，数一数，它的面积是多少？你是怎样数的？

有了方格纸为背景，学生就有探究思考的基础，也有利于等积变换思想方法的实施，并为后面梯形面积计算公式的推导打好基础。

（二）在练习中实行变换

运用几何变换，除了要求在新课的探究中，不把学生的思维限制在一种固定或简单的途径或方法上，鼓励学生从不同的途径和角度去思考和探索解决问题外，还需要在练习中注重图形的变式，注重培养学生思维的灵活性和深刻性。通过加强从形的层面积累经验，凸现等积变形思想，加强空间变换的应用，积极创造本单元的新型习题，提供应用机会，帮助学生发展空间观念。

如在“三角形面积计算”的练习课中，笔者设计了这样一道题：

一个长方形长4厘米，宽3厘米， A 为长方形内任意一点，求阴影部分面积 。

对于几何图形的变换需要想象，从而发展学生的空间观念，培养学生的能力。为此，对于此题笔者根据运动的观点设计了三类题型，先让学生观察变化中的三角形，通过移动A点，形成了不同的阴影部分，通过观察这些三角形，发现了它们的共同特点，沟通了它们之间的联系。

进一步，教师出示图3（单位：米），计算阴影部分面积。由于求两个阴影三角形的面积和缺少条件，学生或用代数的方法，把下底的长度用（a+b）来表示（如图5），然后进行推导。或利用等积变形的方法，转化成如图6的形式后，再计算阴影部分面积。

三、沟通知识联系，提升思维品质

知识的有效达成建构，是学生掌握与应用知识的重要手段。良好的认知结构有利于学生的及时提取并解决问题。为此，教师一方面要在教学中通过渗透联系的观点，凸现转化的思想，实现知识的有效建构；另一方面要把握知识的本质联系，提升学生的思维品质，提高教学的有效性。

（一）沟通图形面积的推导过程

本单元的图形之间有着密切的联系，在整理复习课中，通过让学生回忆各个图形面积的推导过程，让学生体会到图形之间是可以互相转化的，通过构建知识网络图，让学生在头脑中形成一个联系网，可以帮助学生更好地掌握和理解各个图形的面积计算方法。

（二）沟通各种图形求积公式之间的联系

长方形、梯形、三角形和平行四边形的面积公式有着密切的联系，笔者在教学中进行了这样的课件演示：梯形的上底慢慢缩短变成一个三角形；梯形的上底慢慢延长变成一个平行四边形；梯形的上底延长与下底相等且两腰互相垂直变成一个长方形。让学生发现梯形与三角形、平行四边形、长方形之间也存在着密切的联系，并指出它们的面积公式间也有着密切的联系。例如通过梯形与各个图形之间的联系，我们发现三角形、平行四边形、长方形的面积计算公式都可以联系梯形的面积计算公式。

总之，教师如果能在教学中渗透数学思想方法，就像为课堂点亮了一盏明灯。可以这么说，小学数学教师谁真正在教学中关注数学思想方法的渗透，谁就获得了高效教学的入场券，这也是笔者对小学数学教学的追求。

（浙江省杭州市萧山区回澜小学 311200）endprint

人教版教材五年级上册“多边形的面积”单元，是在学生认识三角形、平行四边形和梯形，理解了面积的概念，会计算长方形、正方形面积的基础上，进一步学习平行四边形、三角形和梯形的面积，形成有关多边形面积的系统知识。在以往的教学中，这些教学内容的编排往往侧重于理解和掌握图形面积的计算方法，而对于促进学生空间观念的发展，在学习素材和实践操作方面都显不够。

本单元教材在编排上突出的变化是，加强动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程，使学生得到较多的有关空间观念的训练机会。首先，每种图形面积计算方法的教学，均采用让学生动手实验、自主探索得到。例如，平行四边形的面积，是先借助数方格的方法得到；再引导学生通过剪、拼图形，将平行四边形转化为长方形，推导出平行四边形的面积计算方法。其次，按照知识学习的先后顺序，逐步提高探索的难度和要求。三角形的面积计算就直接让学生试着将三角形转化为已学过的图形推导出面积计算公式。到梯形面积的计算时，要求学生综合运用学过的方法自己推导出面积计算公式。第三，研究每一种图形面积的计算方法时，教材均没有给出推导的过程和计算公式，以便于学生从多种途径探索、自己得出结论，从而给教师和学生都留有较大的创造空间。基于以上的编排思路，笔者对这个单元的教学作了深层次的思考。

一、注重前有孕伏，感受化归思想

“转化”是数学学习和研究的一种重要思想方法，本单元面积公式的推导都采用了转化的方法。教学中，应以学生的探究活动为主要形式，教师加强指导和引导。通过操作，引导学生去探究所研究的图形与转化后的图形之间有什么联系，从而找到面积的计算方法，渗透“转化”的思想方法。

因此，在本单元的教学中，笔者补充了一节起始课：比较图形的大小，让学生借助方格纸，能直接判断图形面积的大小（如图1）。同时通过交流，知道比较图形面积大小的基本方法：割补、平移、旋转，体验图形形状的变化与面积大小变化的关系。本单元以“知识”与“思想”这一明暗两条线索牵动学生的思维。通过补充，引导学生自觉地尝试运用数学思想方法解决问题的意识，化归思想统领了整个单元。

二、实践几何变换，发展空间观念

等积变换是几何学习中重要的思想方法，也是数学推导与证明的一种重要手段。本单元从平行四边形转化为长方形，从三角形、梯形转化为平行四边形以及计算组合图形的面积中都可以由等积变换中获取成功。

（一）在探究中实行变换

在本单元的新课探究中，这种等积变换的思想应成为探究过程的一条重要策略。

在三角形、梯形的面积计算公式推导过程中，除了倍积变换的思路，还可以引导学生采取割补的方法，深度探索等积变换获得面积的计算公式方法。如在梯形面积计算教学中，运用等积变换的思想来推导公式。

方法1：将梯形转化为两个三角形。

方法2：将梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

方法3：还可以分割中位线把它转化为平行四边形或者长方形。

无论是倍积变换还是等积变换，它们的本质是一样的，都运用了数学学习和研究的一种重要的方法——转化。对于平面图形面积计算公式的推导一般都采用转化的方法，教师通过学生的操作活动，启发学生把所学的图形转化为已经会计算面积的图形，落实转化的思想方法；然后引导学生思考探究所学图形与转化成的图形之间有什么联系，从而找到面积的计算方法。而在实际操作中，似乎更多的学生喜欢用倍积变换的思想来推导计算公式，这可能与教师提供的探究材料和探究建议有关，因为教师往往已有意识地引导学生用两个图形来拼组，如此看来，学生就“被探究了”，倍积变换确实是得到所求图形面积计算公式比较简单的方法，但如何进一步促进学生的探究意识和能力需要在等积变换中实现。因此在教学中不妨这样设计：

比如，在“三角形面积计算”教学中，出示问题：一个三角形底是4厘米，高是3厘米，它的面积是多少？

将它放在方格纸中，数一数，它的面积是多少？你是怎样数的？

有了方格纸为背景，学生就有探究思考的基础，也有利于等积变换思想方法的实施，并为后面梯形面积计算公式的推导打好基础。

（二）在练习中实行变换

运用几何变换，除了要求在新课的探究中，不把学生的思维限制在一种固定或简单的途径或方法上，鼓励学生从不同的途径和角度去思考和探索解决问题外，还需要在练习中注重图形的变式，注重培养学生思维的灵活性和深刻性。通过加强从形的层面积累经验，凸现等积变形思想，加强空间变换的应用，积极创造本单元的新型习题，提供应用机会，帮助学生发展空间观念。

如在“三角形面积计算”的练习课中，笔者设计了这样一道题：

一个长方形长4厘米，宽3厘米， A 为长方形内任意一点，求阴影部分面积 。

对于几何图形的变换需要想象，从而发展学生的空间观念，培养学生的能力。为此，对于此题笔者根据运动的观点设计了三类题型，先让学生观察变化中的三角形，通过移动A点，形成了不同的阴影部分，通过观察这些三角形，发现了它们的共同特点，沟通了它们之间的联系。

进一步，教师出示图3（单位：米），计算阴影部分面积。由于求两个阴影三角形的面积和缺少条件，学生或用代数的方法，把下底的长度用（a+b）来表示（如图5），然后进行推导。或利用等积变形的方法，转化成如图6的形式后，再计算阴影部分面积。

三、沟通知识联系，提升思维品质

知识的有效达成建构，是学生掌握与应用知识的重要手段。良好的认知结构有利于学生的及时提取并解决问题。为此，教师一方面要在教学中通过渗透联系的观点，凸现转化的思想，实现知识的有效建构；另一方面要把握知识的本质联系，提升学生的思维品质，提高教学的有效性。

（一）沟通图形面积的推导过程

本单元的图形之间有着密切的联系，在整理复习课中，通过让学生回忆各个图形面积的推导过程，让学生体会到图形之间是可以互相转化的，通过构建知识网络图，让学生在头脑中形成一个联系网，可以帮助学生更好地掌握和理解各个图形的面积计算方法。

（二）沟通各种图形求积公式之间的联系

长方形、梯形、三角形和平行四边形的面积公式有着密切的联系，笔者在教学中进行了这样的课件演示：梯形的上底慢慢缩短变成一个三角形；梯形的上底慢慢延长变成一个平行四边形；梯形的上底延长与下底相等且两腰互相垂直变成一个长方形。让学生发现梯形与三角形、平行四边形、长方形之间也存在着密切的联系，并指出它们的面积公式间也有着密切的联系。例如通过梯形与各个图形之间的联系，我们发现三角形、平行四边形、长方形的面积计算公式都可以联系梯形的面积计算公式。

总之，教师如果能在教学中渗透数学思想方法，就像为课堂点亮了一盏明灯。可以这么说，小学数学教师谁真正在教学中关注数学思想方法的渗透，谁就获得了高效教学的入场券，这也是笔者对小学数学教学的追求。

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