用“联系”的眼光看竖式

“变教为学”倡导学生的学习不是被动地接受，而是主动地思考。这种思考的过程实质就是建立知识间联系的过程。因此在为学生设计学习目标、学习活动和学习任务时，就应当努力并且充分地挖掘这样的联系。

计算教学历来是小学数学教学中的重点，其中笔算的一个重要内容是学习加、减、乘、除四种运算的竖式算法。竖式教学的困难主要有三个方面，第一是对于加法、减法和乘法运算，为什么一定要从低位到高位计算？第二是进位和借位数字如何处理？第三是除法竖式为什么与加法、减法和乘法竖式不一致？运用联系的观点和历史的视角可以找到这些问题的答案。

一、让竖式计算“双向可行”

知识间的联系多种多样，其中一种是不同概念间“是”与“非”的并存关系。比如在自然数的范围内有“质数”这一概念，同时就有“非质数”（也就是“1”与“合数”）概念的存在；在有理数范围内有“整数”，同时就有“非整数”（分数或小数）的存在；在几何中有直线，同时就有“非直线”（也就是曲线）的存在；等等。这种“是”与“非”的并存关系，就是概念之间的一种联系方式。

这种联系最主要的特征是“相对”和“并存”，也就是失去了一方，另一方就随之消失。这种成双成对意义的联系，不妨叫作“相对意义的联系”。类似的例子在日常用语中也不罕见，比如描述方向时所用的左右、前后和上下等，都是具有相对意义联系的概念。

相对意义的联系不仅体现在概念及其表述方面，同时也在方法的使用方面有所体现。比如利用“竖式”进行运算时，一般习惯“从个位算起”，也就是按照“从右到左”的顺序计算，教科书中通常也会给出这样的提示。如果按照相对意义联系的观点思考，自然就会产生这样的想法：既然有“从右到左”的计算方法，就应该有反过来“从左到右”的方法，二者应当是并存的。事实确实如此，在19世纪前后的欧洲对于“3709+8540+2618+706”的计算，就同时存在着从左到右和从右到左的竖式计算方法（见图1）[1]。

图1中左侧竖式就是按照从左到右的顺序计算的，右侧算式则是从右到左的顺序计算的。与现在不同的是，每一位上的各个数相加后的总和要全部写出，并且单占一行。这样做的好处在于将现在所说的“进位数”全部写出来，避免了对“进位数”的记忆，当然书写格式显得冗长，不如现在的写法简洁。对于乘法的计算也类似，历史上出现过很多方法，与前面加法类似的双向可行的方法都在欧洲出现过，比如对于“748×632”就有如图2的两种方法（见图2）。

图中第一种方法从低位算起，第二种方法从高位算起。其原理与前面的加法竖式基本一致。相对意义的联系在知识以及过程与方法上的体现，归根到底都是人的思维方式的表现。教学中应当充分利用这样的知识以及过程与方法，适时、适当、适量地让学生经历这种思维方式的思考活动，同时也能感受到算法的多样性。

二、加、减竖式一码事

事物之间另外一种联系的方式是不同事物之间存在着的共性，如果发现了这样的共性，就意味着建立了事物之间的某种联系。比如两个数“10”和“17”，表面看没什么关系，但是如果在一个月历表中看，就会发现这两个数对应日期的星期数是相同的，如果10号是星期三，那么当月17号一定也是星期三。其原因就是这两个数除以7的余数是相同的。在这个意义下，“10”和“17”之间就有了联系。

通常所说的“探索规律”实际上就是在运动与变化中寻找不变因素[2][3]，也就是在寻找不同事物或者变化着的事物的共性，一旦发现了共性，就意味着建立了事物之间的联系，也就是发现了规律。这种联系在逻辑学中叫作“相合意义的联系”。

众所周知，小学数学计算教学中学生在进位和退位时极易出现错误。翻阅古代印度由Bhascara Acharya所著的《算术与几何》[4]中可以发现，对加法的进位和减法的退位有一种统一的处理方法。对于“3709+8540+2618+706”的计算写为图3的竖式（见图3）：

图4中前两行分别是被减数和减数，第三行“384689”是依次减得的结果，第四行“11011”就是借位行，最后的结果“274579”是第三行“384689”与借位行“11011”的差。这样的计算同样可以是双向的，既可以从左到右，也可以从右到左。

加法竖式中的“进位行”与减法竖式中的“借位行”，古代印度人统称为“Khuti Mahi”，英译为“Obliterating Line”，意思是“可删除的线”。现代数学课程中，这一条线真的被删除了，因此使得竖式计算中的进位和借位不可见了，这或许是学生计算过程中易错的一个重要原因。

对比古代印度人加法和减法竖式，发现三个共同点。第一是每一步计算仅使用现有数据，无需对现有数据进行改变；第二是双向可行，既可以从右到左，也可以从左到右；第三是将进位或者借位数字另起一行书写。这三点都是现在数学课程中的标准竖式所不具备的，也恰恰应当成为计算教学中重点研究的问题。

三、除法竖式源于减法

事物之间联系的第三种形式表现为事物之间的“依赖与制约”，也可以叫作“因果关系”。其基本观点是任何事物的发生与发展不可能是孤立的，一定伴随着其他事物的发生与发展。事物之间一定是相互依赖、相互制约，也就是互为因果的。

“除法竖式”在西方国家的数学课程中叫作“长除（Long Division）”，其难教与难学是举世公认的，美国数学教育界于20世纪就掀起过关于“小学生要不要学长除”的大讨论。小学生学习除法竖式遇到的第一个困难是其书写形式与已经熟悉的加法、减法和乘法不同。如果让学生自己写出“20÷2”的竖式，学生通常会模仿先前乘法竖式的写法，写为如图5的形式。教师无奈之下只能通过示范，而后学生通过模仿、记忆与练习进行教学。

运用“因果关联”的思考，应当相信如今数学课程中除法竖式绝不可能是空穴来风，一定与其他计算方法有依赖与制约的联系。历史上众多算法中可以发现，现今除法竖式的书写格式应当来源于减法。以“1554÷37”为例，在18世纪前后的欧洲就有如图6的算法。见图6）endprint

计算“1554÷37”实际是求1554中包含有多少个37。计算的基本思路是用1554反复减去37，直到剩余不够减为止。减法的次数就是除法的结果。为了使减法的次数尽量少，因此首先从1554的高位看，哪一位开始的两位数比37大，就从哪里开始减。

图6就是从1554中的“55”开始依次反复减去37（实际上是减去370）。第一次减法后的结果是118，实际上应当是1184，其中的个位数字“4”省略没写。说明已经从1554中减去10个37。以下类推，四次后减得的结果是7（实际上是剩余74，其中的4省略没写），这个剩余的7已经不够继续减37了。此时从1554中减去40个37后还剩余74。接下来连续两次减法就恰好减完，说明1554中一共包含了（40+2）42个37，也就是“1554÷37”的商是42。

类似于此的方法如今在欧洲部分国家的数学课程中仍在使用，在首都师范大学初等教育学院留学的瑞士学生就将“24÷2”写成图7的形式（见图7）。

其中是用比号“：”表示除号“÷”。计算过程与前面图6的算法思路是一样的，从被除数高位看起，首先能够减去除数2的就是24的十位数字2，因此第一步从十位减去2，相当于减去10个2，剩余4。第二步从4中减去4，相当于减去2个2，恰好减完，说明24中包含了（10+2）12个2，也就是“24÷2”的结果是12。在德国的小学数学教科书中可以看到类似的计算过程，比如“945÷5”计算过程的写法为（见图8）：

图9的计算过程是首先在最左边纵向罗列出除数423的1至9倍，而后从被除数高位看，发现除数423的5倍2115最接近被除数的前四位2202，这时就（上接第6页）

将2115写在2202下做减法，同时将“5”记录在右侧；减得的结果是878，在左侧除数的倍数中发现除数423的2倍846最接近878，所以重复前面的过程，将846写在878下面做减法，将2记录在右侧5的旁边，依次类推。这个过程直到减法结果为0，说明被除数22028148中包含了52076个除数423，也就是这个除法的结果是52076。这个除法竖式与现在数学课程中的除法竖式并没有本质的差别，只不过现在的写法中将罗列除数的倍数这个过程省略了，将商写在了被除数的上方。

以上例子说明，除法竖式实际上来源于减法，其本质是从被除数中逐次减去除数的倍数，最后将减去的次数统计出来就是除法的结果。因此在除法竖式的教学中首先应当建立除法与减法的关系，而后从减法竖式引出除法竖式的学习。

竖式是笔算的工具，属于人发明的知识[5]，其作用是减轻计算过程中的思维负担。按照“变教为学”的观点，学生学习的过程应当是经历发明活动的过程。发明的结果一定是多样的，教师应当对这种多样的结果给予鼓励，运用联系的观点引导学生自主评判、自主选择，让学生的发明从“多样”逐步走向“统一”。

参考文献

[1] John Leslie， F. R. S. E. The Philosophy of Arithmetic. Edinburgh： Printed By Abernethy & Walker.

[2] 郜舒竹. 什么是“探索规律”[J]. 教学月刊小学版（数学）， 2013（11）.

[3] 郜舒竹. 由此及彼，探索规律[J]. 教学月刊小学版（数学），2013（12）.

[4] Bhascara Achary. A Treatise on Arithmetic and Geometry . Bombay： Printed by Samurl Rans， 1816.

[5] 郜舒竹. “变教为学”说备课[J]. 教学月刊小学版（数学）， 2014（1～2）.

（首都师范大学初等教育学院 100070）endprint

计算“1554÷37”实际是求1554中包含有多少个37。计算的基本思路是用1554反复减去37，直到剩余不够减为止。减法的次数就是除法的结果。为了使减法的次数尽量少，因此首先从1554的高位看，哪一位开始的两位数比37大，就从哪里开始减。

图6就是从1554中的“55”开始依次反复减去37（实际上是减去370）。第一次减法后的结果是118，实际上应当是1184，其中的个位数字“4”省略没写。说明已经从1554中减去10个37。以下类推，四次后减得的结果是7（实际上是剩余74，其中的4省略没写），这个剩余的7已经不够继续减37了。此时从1554中减去40个37后还剩余74。接下来连续两次减法就恰好减完，说明1554中一共包含了（40+2）42个37，也就是“1554÷37”的商是42。

类似于此的方法如今在欧洲部分国家的数学课程中仍在使用，在首都师范大学初等教育学院留学的瑞士学生就将“24÷2”写成图7的形式（见图7）。

其中是用比号“：”表示除号“÷”。计算过程与前面图6的算法思路是一样的，从被除数高位看起，首先能够减去除数2的就是24的十位数字2，因此第一步从十位减去2，相当于减去10个2，剩余4。第二步从4中减去4，相当于减去2个2，恰好减完，说明24中包含了（10+2）12个2，也就是“24÷2”的结果是12。在德国的小学数学教科书中可以看到类似的计算过程，比如“945÷5”计算过程的写法为（见图8）：

图9的计算过程是首先在最左边纵向罗列出除数423的1至9倍，而后从被除数高位看，发现除数423的5倍2115最接近被除数的前四位2202，这时就（上接第6页）

将2115写在2202下做减法，同时将“5”记录在右侧；减得的结果是878，在左侧除数的倍数中发现除数423的2倍846最接近878，所以重复前面的过程，将846写在878下面做减法，将2记录在右侧5的旁边，依次类推。这个过程直到减法结果为0，说明被除数22028148中包含了52076个除数423，也就是这个除法的结果是52076。这个除法竖式与现在数学课程中的除法竖式并没有本质的差别，只不过现在的写法中将罗列除数的倍数这个过程省略了，将商写在了被除数的上方。

以上例子说明，除法竖式实际上来源于减法，其本质是从被除数中逐次减去除数的倍数，最后将减去的次数统计出来就是除法的结果。因此在除法竖式的教学中首先应当建立除法与减法的关系，而后从减法竖式引出除法竖式的学习。

竖式是笔算的工具，属于人发明的知识[5]，其作用是减轻计算过程中的思维负担。按照“变教为学”的观点，学生学习的过程应当是经历发明活动的过程。发明的结果一定是多样的，教师应当对这种多样的结果给予鼓励，运用联系的观点引导学生自主评判、自主选择，让学生的发明从“多样”逐步走向“统一”。

参考文献

[1] John Leslie， F. R. S. E. The Philosophy of Arithmetic. Edinburgh： Printed By Abernethy & Walker.

[2] 郜舒竹. 什么是“探索规律”[J]. 教学月刊小学版（数学）， 2013（11）.

[3] 郜舒竹. 由此及彼，探索规律[J]. 教学月刊小学版（数学），2013（12）.

[4] Bhascara Achary. A Treatise on Arithmetic and Geometry . Bombay： Printed by Samurl Rans， 1816.

[5] 郜舒竹. “变教为学”说备课[J]. 教学月刊小学版（数学）， 2014（1～2）.

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计算“1554÷37”实际是求1554中包含有多少个37。计算的基本思路是用1554反复减去37，直到剩余不够减为止。减法的次数就是除法的结果。为了使减法的次数尽量少，因此首先从1554的高位看，哪一位开始的两位数比37大，就从哪里开始减。

图6就是从1554中的“55”开始依次反复减去37（实际上是减去370）。第一次减法后的结果是118，实际上应当是1184，其中的个位数字“4”省略没写。说明已经从1554中减去10个37。以下类推，四次后减得的结果是7（实际上是剩余74，其中的4省略没写），这个剩余的7已经不够继续减37了。此时从1554中减去40个37后还剩余74。接下来连续两次减法就恰好减完，说明1554中一共包含了（40+2）42个37，也就是“1554÷37”的商是42。

类似于此的方法如今在欧洲部分国家的数学课程中仍在使用，在首都师范大学初等教育学院留学的瑞士学生就将“24÷2”写成图7的形式（见图7）。

其中是用比号“：”表示除号“÷”。计算过程与前面图6的算法思路是一样的，从被除数高位看起，首先能够减去除数2的就是24的十位数字2，因此第一步从十位减去2，相当于减去10个2，剩余4。第二步从4中减去4，相当于减去2个2，恰好减完，说明24中包含了（10+2）12个2，也就是“24÷2”的结果是12。在德国的小学数学教科书中可以看到类似的计算过程，比如“945÷5”计算过程的写法为（见图8）：

图9的计算过程是首先在最左边纵向罗列出除数423的1至9倍，而后从被除数高位看，发现除数423的5倍2115最接近被除数的前四位2202，这时就（上接第6页）

将2115写在2202下做减法，同时将“5”记录在右侧；减得的结果是878，在左侧除数的倍数中发现除数423的2倍846最接近878，所以重复前面的过程，将846写在878下面做减法，将2记录在右侧5的旁边，依次类推。这个过程直到减法结果为0，说明被除数22028148中包含了52076个除数423，也就是这个除法的结果是52076。这个除法竖式与现在数学课程中的除法竖式并没有本质的差别，只不过现在的写法中将罗列除数的倍数这个过程省略了，将商写在了被除数的上方。

以上例子说明，除法竖式实际上来源于减法，其本质是从被除数中逐次减去除数的倍数，最后将减去的次数统计出来就是除法的结果。因此在除法竖式的教学中首先应当建立除法与减法的关系，而后从减法竖式引出除法竖式的学习。

竖式是笔算的工具，属于人发明的知识[5]，其作用是减轻计算过程中的思维负担。按照“变教为学”的观点，学生学习的过程应当是经历发明活动的过程。发明的结果一定是多样的，教师应当对这种多样的结果给予鼓励，运用联系的观点引导学生自主评判、自主选择，让学生的发明从“多样”逐步走向“统一”。

参考文献

[1] John Leslie， F. R. S. E. The Philosophy of Arithmetic. Edinburgh： Printed By Abernethy & Walker.

[2] 郜舒竹. 什么是“探索规律”[J]. 教学月刊小学版（数学）， 2013（11）.

[3] 郜舒竹. 由此及彼，探索规律[J]. 教学月刊小学版（数学），2013（12）.

[4] Bhascara Achary. A Treatise on Arithmetic and Geometry . Bombay： Printed by Samurl Rans， 1816.

[5] 郜舒竹. “变教为学”说备课[J]. 教学月刊小学版（数学）， 2014（1～2）.

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