课后拓展材料的运用策略

冯东敏

在人教版的各册数学教材中，编者均有针对性地设置了课后拓展材料。主要有 “你知道吗”和思考题两种形式。第一种形式主要包含四个方面：数学史、数学知识介绍、生活中的数学以及生活常识与信息；第二种形式是数学思考题。这些思考题一般出现在课后巩固练习题或练习课之中，主要是对书本知识的拓展与提高。这些拓展材料丰富了教材内容，增加了知识容量，扩大了学生的知识面，在激发学生学习兴趣和提高学生能力上，起到了不可小视的作用。但由于教材篇幅有限，涉及的内容较少，只能起到一种导引的作用，因此，就需要教师在面上加以补充，在量上适度增加，在深度上加以拓展。

那么，教师如何在课堂教学中创造性地使用课后材料，并进行有效的拓展，使课堂因拓展而流光溢彩呢？笔者结合自己平时的教学实践，谈一些具体做法。

一、溯根追源，丰富学生的情感与视野

数学是一门有着悠久历史的学科，它的好多知识往往有着其特有的背景知识。课后的“你知道吗”就是试图通过让学生接触有关数学家的故事、数学趣题与数学史料，帮助学生了解数学知识的产生与发展。但由于教材的篇幅有限，教师不可能长篇介绍。那么，这些课后材料该以怎样的形式走进课堂与学生对话，让学生在学习的过程中感受数学呢？

（一）融于新知教学

“你知道吗”通常安排在教材的“做一做”或练习的最后部分，因为一般不作为考查的内容，所以在实际教学中往往被一带而过，这样，它所肩负的数学史教育价值功能就无法落到实处。其实，有相当一部分的“你知道吗”可以结合新知教学，作为新知的引入，也可以穿插在新知教学过程中，帮助学生对新知的理解。如在“年、月、日”一课的教学中，学生在认识时间单位年、月、日时，可利用手头的年历探究平年、闰年，得出一般规律。

例如，教师可用课件出示相关资料：

我们现在用的日历叫阳历，也叫太阳历，把地球绕太阳一周的时间定为一年，而地球绕太阳一周的时间是365天5小时48分46秒，这样按365天来计算的话，每年将近多出6小时，积4年就加1天在2月份。这样平年一年365天，4年一闰年，这年是366天。但是每年如果均按多6小时计算，这样就多算了11分14秒，为了避免积累的误差，就规定碰到整百年时，只有除以400没余数的才是闰年。概括起来说，就是：“四年一闰，百年不闰，四百年又一闰。”

在巩固练习小结后再出示资料：

我们现在用的阳历，是从西方传来的。最早采用阳历的是罗马。每年12个月，大月31天，小月30天，是人定的，2月有时28天、有时29天也是人定的，这人就是罗马皇帝。他们不喜欢2月，2月要杀犯人，所以天数少一些。7月、8月都是大月，那是因为它们是两个皇帝出生的月份。只有一年365天5小时48分46秒是大自然定的。

全课总结时出示：

聪明的人总是善于利用时间，愚昧的人则善于消磨时间。

勤奋的人抓紧时间，懒惰的人浪费时间。

严律的人珍惜时间，散漫的人虚度时间。

在上述的教学中，笔者就是把课后材料“你知道吗”有机整合到教学中，并补充罗马历与惜时教育，整个教学过程有效地促进了学生对数学知识的深刻理解，也使课堂更具有启迪智慧与传承文化的意蕴。

（二）另辟阅读时空

看书阅读，似乎与数学课八竿子打不着，但数学作为科学的皇后，她有着深厚的历史背景、文化底蕴。课堂中进行拓展材料的阅读只是微微打开一扇通往数学世界的窗口，而倡导课外阅读，能让学生真正在数学世界中遨游。

要开展数学阅读，首先需要解决阅读材料的问题。但教材中出现的阅读材料次数可以说是屈指可数，因此可根据学生所处的年级段，订阅相匹配的数学杂志或报纸，如《数学大王》《数学小灵通》《小学生数学报》等；也可向学生推荐数学的专著与书籍，如《小学生学好数学教材的新数学课资料大王》、张景中院士的《数学家的眼光》《帮你学数学》《新概念几何》和李毓佩教授的《爱克斯探长》《荒岛历险》《奇妙的数王国》等等。有了阅读材料，学生会自觉地、饶有趣味地利用课余时间进行阅读。同时，结合阅读开展一些展示活动，如展示自编的“数学小报”“数学剪贴本”，在每期黑板报中开辟数学专栏“我+数学=聪明”等，也可每一学期安排几节数学阅读课，组织学生进行专题阅读和主题交流，使数学阅读的资源更加丰富。

二、题组推进，拓展思维的广度与深度

数学知识不是孤立存在的，这些课后材料往往是所学知识与能力的拓展与提升。倘若让学生就题解题，那估计有多数学生找不到北，一部分学生虽能解答，但对“为什么这么做”还模模糊糊。如果教师能把握教材，善于利用观察和联想，引领学生从一个点生发出去，连点成线，那在整合的过程中，学生的思维将变得更加缜密与深刻。

（一）沟通联系，拓展广度

挖掘习题中隐含的思维价值，做到以一题带出一片，尽可能让练习价值得到最大化的发挥，使学生储存在大脑中休眠的知识被激活，得到有效的融合。如五年级上册“多边形的面积”课后设计了这么一道题：

你能在一组平行线间画出与△ABC面积相等的三角形吗？

拿到这类题，学生首先想到的就是同底等高、等底等高的两个三角形面积相等。这时，教师只要顺势引导，学生就不难想到的是图1、图2两种。

这个时候，教师还可将习题中隐含的思维价值加以挖掘：“要是让你画一个形状、大小相同的三角形，你有哪些方法可以做到？”这样就打开了学生的思路。在教师的进一步引导下，学生还会想到利用学过的平移、对称等知识来解决出现的新问题，这样就打通了各知识点之间的通路。

（二）开放改编，拓展深度

拓展题往往带有一定开放性，如果把其中的条件或问题稍加改编，便可改造出一组由易到难、由浅入深的习题，达到以点带面、循序渐进地训练学生思维的目的。如五年级下册第37页带“﹡”的题。endprint

“如何把这个长方体木块分成两个棱长为4厘米的正方体？两个棱长为4cm的正方体总表面积与这个长方体的表面积相等吗？”

改编1：计算长方体的表面积与体积。

改编2：将“如何把这个长方体木块分成两个棱长为4厘米的正方体”改为“切一刀，把这个长方体分成两个完全相同的小长方体，有几种切法？哪种切法表面积增加得最多，是多少”。

改编3：将教材中把长方体木块分成两个完全相同的正方体，求表面积增加了多少，改编成“两个完全相同的正方体拼成一个长方体，表面积有什么变化”，这样一正一反、一增一减，学生的发散性思维得到了很好的锻炼。

改编4：如果在这个长方体木块上挖去一个小正方体，表面积会有什么变化？

改编5：至少要拿几块这样的长方体才能拼成一个较大的正方体？

像这样，将一道题经过改造带出了一组题。并且这组题，不同思维层次的学生均能找到属于他的那片天空，通过层层演练，思维被诱向纵深地带。

三、深度挖掘，渗透数学的思想与方法

思考题往往蕴含丰富的数学思想、方法和解题技巧，其核心价值在于引发学生的数学思考，提升学生的数学思维水平。实际教学中，往往需要教师“借题发挥”，巧妙改编，适度引申，开启学生的思考之门，提升学生的数学素养。

如人教版新教材一年级上册有这样一道思考题：在○里分别填上3、4、5、6、7，使每条线上的三个数相加都得12。

师：对呀！因为三角形每个顶点上的数都要用到两次，因此，填数时先确定三个角上的数就比较方便。

师：刚才，同学们都很棒，闯过了第一关，现在到了第二关：如果每条线上的三个数相加和是13，你会填吗？

因为有了刚刚的经验，学生也知道先确定顶点上的三个数，边上的数再进行微调，不久就得出了答案。

师：要是不固定2的位置，只要每条线上的三个数相加和都相等，你还能想出几种办法？你又有什么发现？

学生经过尝试、讨论、交流、观察、概括等过程，发现三个顶点上的数无非有这么几种情况：一是放开头或结尾的三个数，即2、3、4或5、6、7；二是三个连续的双数或单数，即2、4、6或3、5、7。每条线中间的那个数需要根据顶点上那两个数来放，如果顶点上的数是两个比较小的，那中间就放剩下数中最大的那一个；顶点上两个数比较大的就放剩下数中最小的那一个。

一开始，因为数据较小，加上又是教材中的题，学生可能事先就已经进行过多次尝试，所以基本上都能得出正确答案。可是好多学生基本上处于凑数的阶段，他们在不断的失败中方才获得成功。除了训练了学生的计算能力外，思维层面还没有得到很好的锻炼。随着问题的一个个推进，学生靠凑数已经很难解决问题，必须寻找题目中隐含的规律。最终，在学生建立了模型后，教师再提出“把3～8分别填入……”这样的练习，从而进一步巩固刚刚建立的模型思想。像这样，将函数、模型、推理等思想融入习题中，学生从简单的数学问题中探索出一般数学规律和方法，习题的价值将更加彰显，学生的思维水平将得以更大的提升，并自然真切地享受到成功的喜悦。

总之，教材中的每一个拓展材料的安排都有一定的目的和意图。只要教师多思考它对丰富学生的情感、提升学生思维、促进学生发展的价值，在教学中根据材料特点和内容灵活处置，再通过一定的教学手段，就使课后材料中的隐性内容显性化，嵌入到学生的认知体系中，真正为学生所领悟。

（浙江省临海市汛桥镇中心校 317024）endprint

“如何把这个长方体木块分成两个棱长为4厘米的正方体？两个棱长为4cm的正方体总表面积与这个长方体的表面积相等吗？”

改编1：计算长方体的表面积与体积。

改编2：将“如何把这个长方体木块分成两个棱长为4厘米的正方体”改为“切一刀，把这个长方体分成两个完全相同的小长方体，有几种切法？哪种切法表面积增加得最多，是多少”。

改编3：将教材中把长方体木块分成两个完全相同的正方体，求表面积增加了多少，改编成“两个完全相同的正方体拼成一个长方体，表面积有什么变化”，这样一正一反、一增一减，学生的发散性思维得到了很好的锻炼。

改编4：如果在这个长方体木块上挖去一个小正方体，表面积会有什么变化？

改编5：至少要拿几块这样的长方体才能拼成一个较大的正方体？

像这样，将一道题经过改造带出了一组题。并且这组题，不同思维层次的学生均能找到属于他的那片天空，通过层层演练，思维被诱向纵深地带。

三、深度挖掘，渗透数学的思想与方法

思考题往往蕴含丰富的数学思想、方法和解题技巧，其核心价值在于引发学生的数学思考，提升学生的数学思维水平。实际教学中，往往需要教师“借题发挥”，巧妙改编，适度引申，开启学生的思考之门，提升学生的数学素养。

如人教版新教材一年级上册有这样一道思考题：在○里分别填上3、4、5、6、7，使每条线上的三个数相加都得12。

师：对呀！因为三角形每个顶点上的数都要用到两次，因此，填数时先确定三个角上的数就比较方便。

师：刚才，同学们都很棒，闯过了第一关，现在到了第二关：如果每条线上的三个数相加和是13，你会填吗？

因为有了刚刚的经验，学生也知道先确定顶点上的三个数，边上的数再进行微调，不久就得出了答案。

师：要是不固定2的位置，只要每条线上的三个数相加和都相等，你还能想出几种办法？你又有什么发现？

学生经过尝试、讨论、交流、观察、概括等过程，发现三个顶点上的数无非有这么几种情况：一是放开头或结尾的三个数，即2、3、4或5、6、7；二是三个连续的双数或单数，即2、4、6或3、5、7。每条线中间的那个数需要根据顶点上那两个数来放，如果顶点上的数是两个比较小的，那中间就放剩下数中最大的那一个；顶点上两个数比较大的就放剩下数中最小的那一个。

一开始，因为数据较小，加上又是教材中的题，学生可能事先就已经进行过多次尝试，所以基本上都能得出正确答案。可是好多学生基本上处于凑数的阶段，他们在不断的失败中方才获得成功。除了训练了学生的计算能力外，思维层面还没有得到很好的锻炼。随着问题的一个个推进，学生靠凑数已经很难解决问题，必须寻找题目中隐含的规律。最终，在学生建立了模型后，教师再提出“把3～8分别填入……”这样的练习，从而进一步巩固刚刚建立的模型思想。像这样，将函数、模型、推理等思想融入习题中，学生从简单的数学问题中探索出一般数学规律和方法，习题的价值将更加彰显，学生的思维水平将得以更大的提升，并自然真切地享受到成功的喜悦。

总之，教材中的每一个拓展材料的安排都有一定的目的和意图。只要教师多思考它对丰富学生的情感、提升学生思维、促进学生发展的价值，在教学中根据材料特点和内容灵活处置，再通过一定的教学手段，就使课后材料中的隐性内容显性化，嵌入到学生的认知体系中，真正为学生所领悟。

（浙江省临海市汛桥镇中心校 317024）endprint

“如何把这个长方体木块分成两个棱长为4厘米的正方体？两个棱长为4cm的正方体总表面积与这个长方体的表面积相等吗？”

改编1：计算长方体的表面积与体积。

改编2：将“如何把这个长方体木块分成两个棱长为4厘米的正方体”改为“切一刀，把这个长方体分成两个完全相同的小长方体，有几种切法？哪种切法表面积增加得最多，是多少”。

改编3：将教材中把长方体木块分成两个完全相同的正方体，求表面积增加了多少，改编成“两个完全相同的正方体拼成一个长方体，表面积有什么变化”，这样一正一反、一增一减，学生的发散性思维得到了很好的锻炼。

改编4：如果在这个长方体木块上挖去一个小正方体，表面积会有什么变化？

改编5：至少要拿几块这样的长方体才能拼成一个较大的正方体？

像这样，将一道题经过改造带出了一组题。并且这组题，不同思维层次的学生均能找到属于他的那片天空，通过层层演练，思维被诱向纵深地带。

三、深度挖掘，渗透数学的思想与方法

思考题往往蕴含丰富的数学思想、方法和解题技巧，其核心价值在于引发学生的数学思考，提升学生的数学思维水平。实际教学中，往往需要教师“借题发挥”，巧妙改编，适度引申，开启学生的思考之门，提升学生的数学素养。

如人教版新教材一年级上册有这样一道思考题：在○里分别填上3、4、5、6、7，使每条线上的三个数相加都得12。

师：对呀！因为三角形每个顶点上的数都要用到两次，因此，填数时先确定三个角上的数就比较方便。

师：刚才，同学们都很棒，闯过了第一关，现在到了第二关：如果每条线上的三个数相加和是13，你会填吗？

因为有了刚刚的经验，学生也知道先确定顶点上的三个数，边上的数再进行微调，不久就得出了答案。

师：要是不固定2的位置，只要每条线上的三个数相加和都相等，你还能想出几种办法？你又有什么发现？

学生经过尝试、讨论、交流、观察、概括等过程，发现三个顶点上的数无非有这么几种情况：一是放开头或结尾的三个数，即2、3、4或5、6、7；二是三个连续的双数或单数，即2、4、6或3、5、7。每条线中间的那个数需要根据顶点上那两个数来放，如果顶点上的数是两个比较小的，那中间就放剩下数中最大的那一个；顶点上两个数比较大的就放剩下数中最小的那一个。

一开始，因为数据较小，加上又是教材中的题，学生可能事先就已经进行过多次尝试，所以基本上都能得出正确答案。可是好多学生基本上处于凑数的阶段，他们在不断的失败中方才获得成功。除了训练了学生的计算能力外，思维层面还没有得到很好的锻炼。随着问题的一个个推进，学生靠凑数已经很难解决问题，必须寻找题目中隐含的规律。最终，在学生建立了模型后，教师再提出“把3～8分别填入……”这样的练习，从而进一步巩固刚刚建立的模型思想。像这样，将函数、模型、推理等思想融入习题中，学生从简单的数学问题中探索出一般数学规律和方法，习题的价值将更加彰显，学生的思维水平将得以更大的提升，并自然真切地享受到成功的喜悦。

总之，教材中的每一个拓展材料的安排都有一定的目的和意图。只要教师多思考它对丰富学生的情感、提升学生思维、促进学生发展的价值，在教学中根据材料特点和内容灵活处置，再通过一定的教学手段，就使课后材料中的隐性内容显性化，嵌入到学生的认知体系中，真正为学生所领悟。

（浙江省临海市汛桥镇中心校 317024）endprint