1维光子晶体中两种偏振光的场分布

蒋和伦，刘启能

（重庆工商大学计算机科学与信息工程学院，重庆400067）

1维光子晶体中两种偏振光的场分布

蒋和伦，刘启能

（重庆工商大学计算机科学与信息工程学院，重庆400067）

为了研究1维光子晶体中光强的分布，采用特征矩阵法推导出TM波在1维光子晶体中光强的分布公式，进行了TM波和TE波在1维光子晶体中光强分布的理论分析。结果表明，在禁带范围内，随着TM波和TE波在1维光子晶体中传播深度的增加，其光强迅速衰减；在导带范围内，随着TM波和TE波在1维光子晶体中传播深度的增加，其光强不会衰减。这一结果对1维光子晶体中TM波和TE波的禁带和导带的形成的认识是有帮助的。

光电子学；光子晶体；偏振光；光强；位相差

引 言

光子晶体的概念自JOHN和YABLONOVITCH于1987年提出来后，由于利用光子晶体的带隙可以十分方便地控制光波的传播，对光子晶体的研究很快成为光学的前沿领域内一个活跃的课题。在光子晶体的研究中由于1维光子晶体的结构最简单、研究最方便，但它却具有其它高维光子晶体的基本属性。因此，对1维光子晶体的研究成为光子晶体研究领域内的重要内容。

1 公式推导

首先推导光通过厚度为a、折射率为n的介质层的位相差δa。当平面波通过厚度为a、折射率为n的介质层时，其位相差由通过观察点A1和A2的等相面间的距离决定，如图1所示［14］。设通过观察点A1的等相面为∑1（虚线），通过观察点A2的等相面为∑2（虚线）。由图1可知，∑1和∑2间的光程差为nacosθ，∑1和∑2间的位相差δa为：

除了在理论上研究平面波通过介质层的位相差是以通过上下表面法线上的两点A1和A2作为观察点外，实际的光信号检测中也是以通过上下表面法线上的两点A1和A2作为观察点即检测点，这样才不会使检测点A2随入射角的变化而改变。而按参考文献［13］中观点会使检测点随入射角的变化而改变，如果同时有多个入射角不同的光入射就需要多个不同的检测点，这显然是不可行的。

下面推导TM波在1维光子晶体中的光场分布公式，如图2所示。

设TM波在入射空间磁矢量为H0（它包含入射磁矢量H0i和反射磁矢量H0r）、电矢量的切向分量为E0∥（它包含入射电矢量E0i和反射电矢量E0r），TM波通过1维光子晶体中任意一层Δzm后的磁矢量为H、电矢量的切向分量为E∥。根据特征矩阵的关系有：

式中，Mi为TM波通过第i层介质中的特征矩阵，M为TM波通过前m层介质中的特征矩阵。由（2）式得：

展开（3）式有：

式中，r是该1维光子晶体对TM波的反射系数，n为折射率，n0为真空折射率，μ0为介电常数，ε0为磁导率。

由图2可知：

由（7）式得出TM波在1维光子晶体中任意一层Δzm后的光强分布公式：

对于TE波的光场公式，参考文献［13］中的推导是正确的，只不过要将特征矩阵中的位相差换为δa=nacosθ就可以了。这里直接给出：

（9）式中的r是该1维光子晶体对TE波的反射系数，M为TE波通过前m层介质中的特征矩阵。利用（8）式和（9）式就可以研究1维光子晶体中两种偏振光的光强分布规律了。

2 光强分布

设1维光子晶体的A层介质为Si，B层介质为Al2O3，A和B的折射率分别n1=3.42和n2= 1.766，周期数N=8，光学厚度n1d1=n2d2=λ0/4。中心波长λ0=679nm，对应的中心圆频率ω0=2πc/ λ0，c为真空中光速。由特征矩阵法计算出TE波和TM波以入射角θ0=15°入射该1维光子晶体时，其反射率R随圆频率的响应曲线，如图3和图4所示。由图3和图4可知，在圆频率ω分别为ω0，3ω0附近出现了TE波和TM波的禁带，在圆频率ω为2ω0，4ω0附近出现了TE波和TM波的导带。下面将研究禁带和导带内TE波和TM波的光强在1维光子晶体中的。

2.1 TE波的光强分布

取入射角θ0=15°，由（9）式计算出TE波在ω分别为ω0，2ω0，3ω0和4ω0这4种情况下光强在该1维光子晶体中随周期的分布曲线，如图5、图6、图7和图8所示。其中图5和图7是禁带内TE波的光强分布情况，图6和图8是导带内TE波的光强分布情况。由图5、图6、图7和图8可得TE波的光强分布规律。

2.1.1 禁带内光强的分布特征 当ω=ω0时，光强在每个周期内都出现了1个峰，第一周期内的峰值为0.32，第二周期内的峰值迅速降为0.08，第五周期内的峰值已经降为0，第五周期以后的各个周期内光强的分布恒为0。当ω=3ω0时，光强在每个周期内都出现了3个峰，第一周期内的3个峰值均为0.32，第二周期内的3个峰值迅速降为0.08，第五周期内的3个峰已经降为0，第五周期以后的各个周期内光强的分布也恒为0。正是由于光强在1维光子晶体内迅速衰减，使TE波不能通过光子晶体，从而形成光子的禁带。

2.1.2 导带内光强的分布特征 当ω=2ω0时，光强在每个周期内出现了两个峰，第一周期内的两个峰值均为0.84，第二周期内的两个峰值增加为0.87，之后随着周期的增加两个峰值逐渐增加，在第八周期内峰值增加为0.93。当ω=4ω0时，光强在一个周期内出现了4个峰值，第一周期内的4个峰值均为0.6，第二周期内的4个峰值增加为0.65，之后随着周期的增加4个峰值也逐渐增加，在第八周期内峰值增加为0.85。正是由于光强在1维光子晶体内逐渐增加使TE波能顺利通过光子晶体，从而形成光子的导带。

2.2 TM波的光强分布

取入射角θ0=15°，由（8）式计算出TM波在ω分别为ω0，2ω0，3ω0和4ω0这4种情况下光强在该1维光子晶体中随周期的分布曲线，如图9、图10、图11和图12所示。其中图9和图11是禁带内TM波的光强分布情况，图10和图12是导带内TM波的光强分布情况。由图9、图10、图11和图12可得TM波的光强分布规律。

2.2.1 禁带内光强的分布特征 当ω=ω0时，光强在每个周期内都出现了一个凹谷，周期的边界处出现极大值。第一周期内的极大值为0.34，第二周期内的极大值迅速降为0.09，第五周期内的极大值已经降为0，第五周期以后的各个周期内光强的分布恒为0。当ω=3ω0时，光强在每个周期内都出现了3个凹谷，周期的边界处出现极大值。第一周期内的极大值为0.34，第二周期内的极大值迅速降为0.09，第五周期内的极大值已经降为0，第五周期以后的各个周期内光强的分布恒为0。正是由于光强在1维光子晶体内迅速衰减，使TM波不能通过光子晶体，从而形成光子的禁带。禁带内TM波的光强分布与TE波的光强分布也存在一些区别，TM波在周期的边界处光强分布是不连续的，而TE波在周期的边界处光强分布是连续的。

2.2.2 导带内光强的分布特征 当ω=2ω0时，光强在每个周期内出现两个峰，第一周期内的2个峰值均为0.83，第二周期内的2个峰值增加为0.85，之后随着周期的增加2个峰值逐渐增加，在第八周期内的峰值增加为0.9。当ω=4ω0时，光强在每个周期内出现了4个峰，第一周期内4个峰值均为0.6，第二周期内的4个峰值增加为0.64，之后随着周期的增加4个峰值也逐渐增加，在第八周期内的峰值增加为0.72。正是由于光强在1维光子晶体内逐渐增加使TM波能顺利通过光子晶体，从而形成光子的导带。导带内TM波的光强分布与TE波的光强分布也存在一些区别，TM波的光强在周期的边界处出现极小值，而TE波的光强在周期的边界处出现极大值。

3 结 论

利用平面波在介质层中传播的等相面的关系，推导光通过厚度为a、折射率为n的介质层其位相差δa=nacosθ，纠正了参考文献［13］中的瑕疵。并利用TM波在界面切向分量连续的条件，推导出TM波在1维光子晶体中光强的分布公式。利用这些公式研究了TM波和TE波在1维光子晶体中光强的分布规律。得出了在禁带范围内随着TM波和TE波在1维光子晶体中传播深度的增加其光强迅速衰减的特征，在导带范围内随着TM波和TE波在1维光子晶体中传播深度的增加其光强不会衰减的特征。TM波和TE波在1维光子晶体中光强的分布规律的获得，使对1维光子晶体中TM波和TE波的禁带和导带的形成有了更深刻的认识。

［1］ LIU Q N.The defect mode of electromagnetic wave in flat-panel doping photonic crystal［J］.Laser Technology，2010，34（3）：363-367（in Chinese）.

［2］ LI R，REN K，REN X B.Angular and wavelength selectivity of band gaps of holographic photonic crystals for different polarizations［J］.Acta Physica Sinica，2004，53（8）：2520-2523（in Chinese）.

［3］ LIU Q N.A new simple and convenient method for study of properties forbidden band of one-dimensional photonic crystal［J］.Acta Photnica Sinica，2007，36（6）：1031-1034（in Chinese）.

［4］ LIU Q N，HU Ch H.Polarization and total reflection tunnel effect of flat-panel photonic crystal［J］.Laser Technology，2012，36（1）：114-118（in Chinese）.

［5］ LIU Q N.The mode and defect mode of electromagnetic wave in rectangular doped photonic crystal［J］.Acta Physica Sinica，2010，59（4）：2551-2555（in Chinese）.

［6］ LIU Q N.The defect mode and the quantum effect of light wave in cylindrical anisotropic photonic crystal［J］.Acta Physica Sinica，2011，60（1）：0142171（in Chinese）.

［7］ DAI H X，LIU Q N.Dispersion characteristics of defect mode in 1-D square doped photonic crystal waveguide［J］.Laser Technology，2013，37（3）：338-342（in Chinese）.

［8］ LIU Q N.Design of novel kind of polarization filter on high grade photonic crystal［J］.Piezoelectrics&Acoustooptics，2010，32（4）：642-645（in Chinese）.

［9］ SHANG T Y，ZHENG Y，ZHANG H Y.Omnidirectional gap and defect mode of one-dimensional photonic crystals with negative-index materials［J］.Acta Photonica Sinica，2007，36（4）：663-666（in Chinese）.

［10］ LIU Q N.Defect modes of Ag-doped photonic crystal［J］.Semiconductor Optoelectronics，2009，30（5）：703-707（in Chinese）.

［11］ LIU Q N.Analytical study on total reflection tunnel effect of 1-D photonic crystal［J］.Acta Optica Sinica，2012，32（2）：193-196（in Chinese）.

［12］ LIU Q N.Comb filtering properties of total reflection tunnelling in cylindrical photonic crystals［J］.Chinese Journal of Computational Physics，2012，29（1）：133-137（in Chinese）.

［13］ LIU X J，ZHANG B J，WANG J.The analysis on the properties of light field distribution in one-dimensional photon crystals［J］.Acta Physica Sinica，2012，61（23）：2378011（in Chinese）.

［14］ JI J R.Higher optical tutorial［M］.Beijing：Science Press，2007：133-134（in Chinese）.

［15］ BORN M，WOLF E.Principles of optics［M］.Beijing：Electronic Industry Press，2005：52-55（in Chinese）.

Field distribution of two kinds of polarized light in 1-D photonic crystal

JIANG Helun，LIU Qineng
（College of Computer Science and Information Engineering，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China）

In order to study the field distribution of 1-D photonic crystal，the formula of the light intensity distribution of TM wave in 1-D photonic crystal was deduced based on the characteristic matrix and the intensity of TM wave and TE wave in 1-D photonic crystal was analyzed.The results show that the light intensity of TM wave and TE wave decreases with the increase of propagation depth in forbidden band of 1-D photonic crystal.The light intensity of TM wave and TE wave does not decrease with the increase of propagation depth in conductive band of 1-D photonic crystal.The study is helpful for the understanding of forbidden band and conductive band in TM wave and TE wave.

optoelectronics；photonic crystal；polarized light；light intensity；phase difference

O436.3

A

10.7510/jgjs.issn.1001-3806.2014.05.030

1001-3806（2014）05-0718-05

重庆市教委科技项目基金资助项目（KJ130713）

蒋和伦（1965-），男，副教授，从事光电子学方面的研究。

E-mail：jianghelun@sina.com

2013-08-30；

2013-10-30