对集合论公理化方法悖性的审思

王习胜

（安徽师范大学政治学院，安徽 芜湖 241003）

对集合论公理化方法悖性的审思

王习胜

（安徽师范大学政治学院，安徽 芜湖 241003）

公理化集合论理论的创立，解决了康托尔素朴集合论因其概括原则的前提预设而导致的一系列悖论。在公理化集合论中人们没有发现新的悖论，学界因此而视其为成功的解悖方案。公理化的本质是重构集合论的演绎系统，演绎方法具有保真性，能够导出可靠知识。公理化集合论的两个准等价的系统却是从相互矛盾的前提建构得来的。如果这两个公理系统导出的结论是可靠的，就说明可靠知识可以由不可靠的公理化方法导出的。这就对公理化方法的可靠性构成了质疑。

悖论；罗素悖论；集合论；公理化；科学方法论

为了避免康托尔（G.Cantor）素朴集合论以性质定义集合而导致的悖论，集合论研究者采取了公理化方法，成功地建构了ZFC系统和NBG系统，这两个系统都能够消解以罗素悖论为代表的素朴集合论悖论。然而，这两个准等价的系统却是从导致素朴集合论悖论的相互对立的前提出发建构的，这就不由得我们不对知识与方法的可靠性问题产生疑问。

一、集合论中公理化方法的兴起

集合论的公理化方法的兴起是与以罗素悖论为代表的素朴集合论中出现的一系列悖论密切相关的。虽然“集合”这个概念的使用并非自康托尔开始，但康托尔却在集合论领域作出了突出的贡献：他对无限集合作了定量研究，引进了超限基数和超限序数，划分了无限的层次。超限基数和超限序数理论乃至整个超限集合论的建立，使人类对于无限的认识进入到一个崭新的阶段。因与传统观念相冲突，康托尔的工作受到诸多批评和指责，但康托尔坚信自己的创造对整个数学的重要性，顽强地坚持并发展自己的学说，加之有威尔斯特拉斯（K.Weierstrass）、戴德金（R.Dedekind）和弗雷格（G.Frege）等人的支持，尤其是这个理论本身所显示出的强大的生命力，到19世纪90年代，康托尔的成果已经得到多数数学家的认可。超限集合论不仅因其成为数学理论相对相容性证明的底端而大放异彩，而且因为它在一系列数学领域（如测度论和拓扑学等）成功的应用而备受人们的青睐。

正当人们为集合论理论的成功,也为整个数学大厦找到了坚实基础而庆幸之时，1895年，康托尔在他的序数理论中发现了一个重大矛盾：根据概括原则，可用所有序数构成一个集合W，将其中的元素排列起来，则W是个良序集，其元素便是上面的良序系列中的分子。根据穷竭原则，这个集合也应有一序数Q，它大于W的任一元素。但由于Q本身也是一个序数，故而也是W的一个元素，这就导出了Q＞Q的荒谬结论。

康托尔没有将这个问题立即在学界公开，而是写信告知希尔伯特（D.Hibert），希望希尔伯特能够帮助他找出推导中的问题所在。但后来，布拉里—弗尔蒂（Burali-Forti）独立地发现了这个悖论，并将它公布于众，所以这个悖论又被称为“布拉里—弗尔蒂悖论”。

最大序数悖论尚未解决，康托尔又发现了基

数悖论。1899年，他在给戴德金的一封信中谈到了他的发现：以“集合”作为一特征性质，根据概括原则，可以构成所有集合的集合S，即所谓的“大全集”。康托尔定理告诉我们，任一集合的幂集的基数大于原集合的基数，那么S的幂集的基数大于其自身的基数。既然S是大全集，则PS也是S的子集，子集的元素的个数不可能超过其母集，故有小于或等于。于是，悖论出现了：＞，同时≦。这就是著名的“康托尔悖论”，它比布拉里－弗尔蒂悖论更简单、更明显。

康托尔感到，如果在上述推导中找不出问题，就说明可能并不存在大全集，或者说，没有最大的超限基数。然而，这个结论如果成立，就意味着必须修改超限集合论的某些原则，而在这些原则中变更任何一个，对于康托尔集合论理论都是致命的。

由于这两个悖论的推导牵涉到素朴集合论一系列基础概念，所以，当时的很多数学家并没有为此而多虑。他们相信这两个悖论肯定是由于推导中某些环节出了错误所致，比如，暗含地引入了新概念，或推理中发生了不易察觉的失误，就象过去关于欧氏几何第五公设可以从其余四条公设推出的一系列“证明”一样，那些“证明”后来经过仔细辨析都不成立。人们具有这种乐观信念的另一个原因是，尽管欧氏几何、实数论和自然数论的不矛盾性尚未得到直接证明，但是人们都相信它们不会导致悖论，事实上也从未在其中遇到过悖论。同时，又已经把这些理论的不矛盾性直接或间接地归约到集合论的不矛盾性，而集合论在当时被许多数学家公认为逻辑理论，人们相信逻辑理论是没有矛盾的，所以，人们更加相信集合论中决不会产生悖论。因而，当最大基数悖论和最大序数悖论出现后，并没有影响到数学界对集合论理论安全、乐观的信任气氛，也没有影响到集合论在许多领域中的自由应用。

如果说由于布拉里－弗尔蒂悖论和康托尔悖论涉及的概念较多，使得数学家们对于在集合论的既有形态中解决问题充满希望，那么罗素悖论的发现，使得这种希望彻底破灭。1901年，罗素在试图寻找康托尔悖论之推导的毛病时发现了新的悖论。

我们知道，素朴集合的构成有两种方法，一是列举法，二是概括法。但通过列举法构建的集合也可以用概括的方法去统摄，所以，概括原则是康托尔集合论中统摄任一集合的一条普遍原则。正是这条原则可运用于构造无限集合，甚至不可数的无限集合，集合论作为整个数学的基础理论才成为可能。然而，罗素悖论也正是由这条普遍的基本原则引申出来的。罗素当时的思路是：我们可以把所有集合分成两类，一类是属于自己的集合，即一个集合可以作为一个元素属于自身。另一类是不属于自己的集合，即一个集合不能作为一个元素属于自身。那么，对于“不属于自身的集合”这种性质而言，它将会构成怎样的集合呢？根据概括原则，将出现“不属于自身的集合”当且仅当“属于自身的集合”的矛盾。稍后，意大利数学家策墨罗（E. Zermelo）也独立地发现了这个悖论。于是，人们将这个悖论也称为罗素－策墨罗悖论。

罗素悖论由概括原则直接导出，形式上简洁而明确，这个悖论触及到素朴集合论中最为根本的概念——集合，所以给人以数学大厦之将倾的压力和恐惧。数学，素有最严格的科学之称，是架构其他经验科学理论的重要工具，现在竟然在其基础理论中发现了逻辑矛盾，这使得当时许多数学家感到无所适从。1903年，德国数学家和逻辑学家弗雷格正在出版他的重要著作《论算术的基本法则》第二卷，当他得知罗素悖论之后，便在书的“后记”中沮丧地写道：“对于一个科学工作者来说，最不幸的事情无过于当他完成他的工作时，发现他的知识大厦的一块基石突然动摇了。正当本书的印刷接近完成之际，伯兰特·罗素先生的一封信便使我陷入这种境地……”［1］（P807）另一位数学家戴德金在得知这个悖论之后，把原来打算付印的《连续性与无理数》一书的第三版的稿子抽了回来。罗素本人则如此形容他发现这个悖论时的心绪：“智力活动上的悲哀充分地降到了我的头上”［2］（P64）。数学史家克莱因（M.Kline）描述到：“作为逻辑结构，数学已处于一种悲惨的境地，数学家们以向往的心情回顾这些矛盾被认识以前的美好时代。”［3］（P293）

素朴集合论在根基上出了矛盾，而集合论所具有的地位和作用又不容得人们彻底舍弃这一理论，既然以逻辑直觉方式建构的素朴集合论无法排斥其中的悖论，应该用怎样的方法才能建构一种无矛盾的集合论呢？从科学方法论的角度论，构

造科学理论的方法虽然有很多种，比如，常用的方法有经验直观方法、逻辑直觉方法、公理化方法、逻辑与历史相统一的方法、从抽象上升到具体的方法，等等，但以认知心理学关于问题解决策略方式的二分法，所有方法不外乎只有“算法”（Algorithm）和启发法（Heuristics）之别。由于算法能够精确地指明问题解决的步骤，更少地带有个人偏好与信仰的成分，“使得有限的智力能够处理无限性”［4］（P51）认识对象，这一独特优势，使其成为打造具有严密逻辑形式的数学和逻辑学等演绎科学理论系统的常用方法，亚里士多德的三段论系统，从2个基本公理，4个基本规则，即可推得24个有效式；欧几里得的几何学体系，从5条公设、5条公理和23个定义出发，可以严密地推演出467个数学命题等，都是这一方法的典范产品。公理化方法本质上就是认知心理学意义上的算法。既然由算法构建的科学理论在逻辑相容性方面最能为人们所信服，因此，为了克服素朴集合论的悖论，在现代集合论的建构中公理化方法受到了前所未有的器重。

二、两个前提矛盾的准等价公理化集合论系统

康托尔的素朴集合论将“集合”理解为“我们直觉或者思考的不同对象的总体”，这样理解“集合”，在语义上未免过于含糊和疏漏，而罗素以分支类型论解决罗素悖论又带有很强的特设性，当策墨罗把集合论变成了一个完全抽象的公理化理论时，从方法论的角度说，的确实现了对前人思想粗陋缺陷的克服。策墨罗不再以人们似乎公认的“直觉”作为标准去定义“集合”概念，而是以公理方式将集合的性质一一体现出来，这些公理是：

（1）确定性公理（通称“外延公理”）：每一集合都由它的元素唯一决定。

（2）基本集合存在公理：空集存在，单元素集存在，对偶集存在。

（3）分出公理（又称子集公理）：假如谓词P（代表某一性质）对已知集合B中的所有元素都有意义，则可以从B中分出一个子集A，而A由B中所有满足谓词P的元素组成。

（4）幂集公理：每一集合都存在一幂集。

（5）并集公理：任一集合的所有元素的元素组成一集合。

（6）无限公理：至少存在一集合ω，它具有这样的性质：（a）Φ∈ω；（b）如果x∈ω，则{x}∈ω。就是说，空集是它的元素，而且，如果x是它的元素，那么{x}也是它的元素。

（7）选择公理：若A是由不相交的非空集合组成的集合，则存在一集合，它和A的每一个元素恰有一共同元素。［5］（P64-65）

学界称这些公理为公理系统Z。Z系统回避了用“性质”造集可能造成的体系矛盾，比如说，用所有“对象”、所有“序数”等性质造集，就可能造成大全集悖论和最大序数悖论等，既然Z系统回避了“性质”造集，也就排除了某些不适当的集合，这有利于消除罗素悖论产生的条件。正因如此，策墨罗被学界视为公理化集合论的奠基人。但是，如果仅这些公理去建构集合论也会产生另外的问题，那就是素朴集合论中很多有用的东西，比如，某些超限集合和超限归纳法等就被无情地拒斥在集合论的大门之外了。为了弥补Z系统的缺陷，挪威数学家斯科伦（T.Skolem）和以色列数学家弗兰克尔（A.Fraenkel）给Z系统增加了一条“替换公理”，即“若f是一个函数，而且，对一个已知集合中的任一元素x而言，f(x)也是一个集合，那么，所有这些f(x)就构成一个新的集合。”［6］（P226-228）

学界认为，在Z系统上增加“替换公理”之后，足以弥补Z系统为解决素朴集合论悖论而造成的自身缺陷，但这种“完满”的想法很快被法国数学家米里曼诺夫（D.Mirimannoff）打破，1917年，米里曼诺夫在上述系统中发现了“有根基性悖论”，其主要内容是：如果对一个集合x而言，不存在集合y1，y2等（不必不相同）的无限序列，使得…y3∈y2∈y1∈x，则称x是“有根基的”，否则就是“无根基的”。如果令ω为所有有根基的集合的集合，那么ω是有根基的还是无根基的？假设ω是有根基的，则ω∈ω，因此，可有序列…ω∈ω∈ω∈ω∈ω，而该序列的存在，意味着ω是无根基的；再假设ω是无根基的，则依据定义存在一串集合的无限序列…y3∈y2∈y1∈ω，此时y1也是无根基集合，但它又属于ω，与ω定义矛盾，故而ω又应该是有根基的。为了解决这种“有根基性悖论”，也为了使得Z系统继续发挥应有的价值，1925年，美籍匈牙利数学家冯·诺意曼（J.von

Neumann）提出在Z系统上再增加一个“基础公理”，即“对任一非空集合而言，一定有这样的元素存在，它与原来的集合没有公共元素”，既然与原来的集合没有公共元素，也就不会存在上面的所说的无限序列。基础公理与罗素的类型理论一样，表明了集合与元素之间的层次关系。

学界确认，以一阶逻辑和修补后的Z系统为基础建构的公理化集合论，即人们常说的ZFC系统，既能够发挥素朴集合论作为数学基础的作用，又能够有效消除在素朴集合论中发现的多个悖论，不仅如此，在这个新系统中再未发现新的悖论。为此，人们有理由相信，这个系统是安全可靠的。

冯·诺意曼在为Z系统增加基础公理的同时，也考虑到集合论的哲学基础问题。他认为，素朴集合论造集具有任意性，即一个属性就可以定义一个集合，并不在于它使用了太大的集合，而在于这些集合被任意地用作其他集合或自身的元素。因而，解决问题的方法不应该是限制集合的存在，而应该是限制一个集合作为另一集合元素的资格。既然悖论的产生是由于过大的总体，即大全集引起的，只要不让这类总体再成为集合的元素，就可以避免悖论。他觉得，如果说有的集合的元素，比如大全集，虽然存在但不能再作为另一个集合或它自身的元素，比宣布它不存在更符合人们的直觉。按照这种想法，冯·诺意曼建构了不同于ZFC系统的另一个系统，经贝尔纳斯（P. Bernays）和哥德尔（K.G?del）等人的完善，形成了与ZFC并行的NBG系统。

虽然NBG系统与ZFC系统的构建与表述均不相同，但是后来证明，NBG是ZF的一个保守扩充，即NBG的定理不一定是ZF的定理，但ZF的定理都是NBG的定理，而且，人们还证明了如下相容性，即如果ZF是相容的，则NBG也是相容的。这个结果说明，这两个系统是准等价性的。与ZF一样，NBG同样可以有效地避免已知的集合论悖论，同时在这个系统中也未出现新的悖论。

从形式技术角度看，NBG的成功建构为解除集合论悖论多提供了一种可行方法，但从哲学上却给人们带来了更大的困扰。这是因为，康托尔悖论直接来自素朴集合论中的两个矛盾的论断：（1）存在大全集，即存在以一切集合为自己的元素的集合。（2）任何集合都有幂集，即一切集合都可扩充到一个以它为元素的更大的集合。同时认同这两个原则，必然会导致悖论，而要避免悖论，至少要放弃二者之一。ZF放弃了（1）而保留了（2），实质是以限制集合产生的方式以得到消除悖论的目的。NBG则放弃了（2）而保留了（1）。冯·诺意曼认为，策墨罗限定的条件很严格，但有些条件似乎并不必要，而且还容易造成“误伤”，即将有些有用的而且并没有出现恶性循环的论证抛弃了。所以，他采取的措施不是不让大全集产生，而是不让这类总体再成为元素，藉此避免悖论的生成。如果说ZF与NBG就是两个相互矛盾的系统也有问题，因为分别从矛盾的论断出发，导致两个矛盾的系统，不仅都是“合逻辑”的，而且ZF与NBG还是准等价性的。［5］（P69-71）它们在对“前提”的放弃和保留上采取了相互矛盾的措施，却得到了相同的结果。虽然欧氏几何和非欧几何也曾出现过类似的情况，但非欧几何后来得到了物理的解释，使得它和欧氏几何各司其职，相得益彰。而ZF和NBG却同属基础领域，面对的是同样的对象，解决着同样的问题，这种取舍的任意性谁更合理呢？

三、公理化方法能够保障数学基础的可靠性吗？

数学是演绎科学之典范，数学基础的协调性、严密性和确定性是其作为典范的基本品质，所以，早在19世纪末，德国数学家希尔伯特在对欧几里得几何公理体系作了深入考察之后就指出，一个严格而理想的公理化体系，需要满足三个条件：第一，无矛盾性，即在公理化体系中其逻辑上要求首尾一致，不允许出现相互矛盾的命题。这是科学性的要求。第二，完备性，即所选择的公理应该是足够的。从它们能够推出有关本领域的全部定理、定律；若减少其中任何一条公理，有些定理、定律就会无法推导出来。这是体系完整性的要求。第三，独立性，是指所有公理都是彼此独立的，其中任何一个公理都不可能从其他公理中推导出来，这样就可使公理的数目减少到最低限度。这是公理化体系简单性的要求。按照希尔伯特的标准，ZF与NBG作为各自独立的公理系统都不存在问题，那么，这两个对矛盾论断的不同选择却有相同解题功能的系统，仅仅是方法上的多样性所致吗？问题恐怕不是这样简单。按照哥德尔的说法，在数学向

精密化目标发展的过程中，形式化是实现其精密化的必然步骤，由于数学的高度形式化，人们已经能够使用少量机械规则即可证明任何定理。其中，最为人们称道的形式化系统是两个，其一是《数学原理》，其二就是ZF系统，“这两个系统是如此全面，以至于今天在数学中使用的所有证明方法都已在其中形式化，也就是说，都可化归为少数几条公理和推导规则。”［7］（P596-597）就在人们为这些公理和推导规则所取得的巨大成就感到无比自豪，甚至以为，有了这样的形式系统足以表达的任何数学问题时，他却发现了出乎人们意料的新问题。

哥德尔所谓的《数学原理》和ZF系统等都包含了形式算术，若证明了形式算术不可完全，也就证明了这些系统的不可完全。哥德尔所研究的形式算术系统也就是人们平时所使用的算术或初等数论的形式化。它包括经典的带等词的一阶逻辑系统，加上如下算术公理，即“皮亚诺（G.Peano）公理”的初始公式：

（1）0是自然数。

（2）每个自然数都有一个后继数。

（3）不同的自然数的后继数也不同。

（4）0不是任何自然数的后继数。

（5）数学归纳法，即如果0具有某属性，并且若一个自然数具有该属性则其后继数就具有该属性，那么，所有自然数都具有该属性。

这些公理都能够以一阶逻辑的形式语言表达为形式系统的初始公式。只有同时采用这五个公理才能充分表达人们所使用的加、减、乘、除的算术，缺一不可。哥德尔在PA（皮亚诺算术形式系统）中找到了这样一个合式公式G，该公式和它的否定‘G在系统中都是不可证的，即二者均不可能作为PA的定理。而从语义学角度考虑，经过解释，G和‘G必有一真。真而不可证明，意味着有的算术真理并没有为PA所包容，从而得证PA是不完全的。［5］（P92-93）

哥德尔所发现的问题，用最简单的语言来说就是：一个相容的形式系统不可能证明它自身的相容性。［8］（P29-34）人们将哥德尔的发现命名为哥德尔定理。后来，哥德尔定理的含义被作了更为广泛的表述，即一个形式系统，只要复杂到算术系统的程度，它是完备的，就是不相容的；反之，它是相容的，就是不完备的，而且，这样的形式系统其相容性不可能在其内部得到证明。

1985年，我国学者朱梧槚等人证明，任何一个数学系统，如果同时满足下列五个条件，则此数学系统必包含逻辑悖论：［9］（P146-147）

（1）概括原则成立。

（2）分离规则成立，即有：p，p→q┝q。

（3）同一律成立，即有：p→p。

（4）对无穷多个集合可以构造它们的并集。

（5）包含一个自然数系统N＝{0，1，2，3…n…}。

朱梧槚指出，这五个条件不可能同时存在。若同时使用必导致悖论，但问题是，否定其中的哪一个定理都是困难的。它表明，无论人们是采用二值逻辑、有穷多值逻辑还是无穷多值逻辑，只要承认分离规则和同一律，再保留概括原则和（4）（5）两项基本条件，而这是任何一个内涵丰富的数学系统都必须包含的，那么，悖论就必然能够从中建构出来。既然哥德尔和朱梧槚等人研究的结论适合于任何一个数学系统，我们便可推断，公理化方法并不能保障数学基础的可靠性。

四、简要的哲学反思

众所周知，数学是经验自然科学的工具，正是数学工具的发展才为近代科学深度揭示自然现象及其规律提供了可能，从一定程度上说，正是数学的发展才为经验自然科学的发展提供了可能，因而数学根基的确定性也在一定程度上保障了经验自然科学基础的确定性。当罗素悖论出现时，希尔伯特就曾大为感慨：“数学中人人所学、所教、所应用的那些定义和演绎方法，从来都被认为是真理和确定性的典范，而现在却导致了荒谬。如果连数学思维都是不可靠的话，我们将到何处去寻找真理和确定性呢？”［10］（P141）在一些人看来，公理化集合论已经能够排除以罗素悖论为代表的素朴集合论的一系列悖论，而且在它们之中又没有发现新的悖论，这就充分说明，公理化集合论完全可以承担数学之基石的重任，数学的基础是确定的和可靠的。然而，哥德尔定理的推广意义已经说明：“我们使用任何数学方法都不可能借助于安全的逻辑原理证实相容性，已提出的各种方法概莫能外。”［11］（P269）如果哥德尔定理是可信的，那么，我们就有理由怀疑，作为现代集合论理论基础的NBG系统与ZFC

系统能否证明自身的相容性？长期研究哥德尔思想的华裔学者王浩也曾转述过哥德尔类似的质疑：“我们没有任何绝对确定的知识。”［12］（P402）其实，很多学者都持有类似的看法，比如波兰尼就曾经表达过这样的观点：我们无法避免为某个公理系统所肯定的，却为另一个公理系统所否定的东西，不同系统之间的一致性无法得到保障，因为“较广泛的体系的一致性将总是不可判定的。”［13］（P369）

在数学发展史上，第一个引发数学基础理论“危机”的希帕索斯悖论，其直接后果是数学家们承认了一种不同于可公度量的无理量，它的间接后果是导致古希腊欧几里得《几何原本》和亚里士多德《工具论》的问世，这两大成果不仅对数学自身，而且对西方经验自然科学的研究风格都产生了重大影响。在数学科学发展到现代阶段的今天，我们是否应该回过头来反思这样的问题：以消除素朴集合论中的悖论为出发点而研制的公理系统，虽然力图避免素朴集合论以“性质”造集的直觉合理性的弊端，但公理化集合论的初始公式采用的任意性，是否仍然具有直觉合理性的成分？换句话说，以数学家们“信以为真”的数学事实为依据而确定一组公理，以其为初始公式，凭借演绎逻辑规则而推导出所需的理论体系，这种公理化方法的可靠性真的是勿庸置疑的吗？

［1］W.涅尔，M.涅尔.逻辑学的发展[M].张家龙，洪汉鼎译.北京：商务印书馆，1985.

［2］B.罗素.我的哲学的发展[M].温锡增译.北京：商务印书馆，1982.

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［4］Hao Wang.Rrom Mathematics to Philosophy[M].New York Humanities Press,1974.

［5］张建军.逻辑悖论研究引论[M].南京：南京大学出版社，2002.

［6］张家龙.数理逻辑发展史：从莱布尼兹到哥德尔[M].北京：社会科学文献出版社，1993.

［7］K.Gödel.On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related SystemsⅠ.Translated by J.van Heijenoot,in J.van Heijenoot,ed.,From Frege to Gödel.Harvard University Press,1967.

［8］刘晓力.哥德尔对心——脑——计算机问题的解[J].自然辩证法研究，1999（11）.

［9］朱梧槚，肖奚安.数学基础概论[M].南京：南京大学出版社，1996.

［10］D.Hilbert.“On the Infinite”.Philosophy of Mathematics,Selected Readings.by P.Benacerraf and H.Putnam ed,.New Jersey:Prentice-Hall,Inc.1964.

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［12］王浩.哥德尔[M].上海：上海译文出版社，1997.

［13］M.波兰尼.个人知识：迈向后批判哲学[M].许泽民译.贵阳：贵州人民出版社，2000.

Speculation on the Methodical Paradox of Axiomatic Set Theory

WANG Xi-sheng
（School of Politics and Law,Anhui Normal University,Wuhu 241003,China）

The axiomatic set theory solves the paradoxes of Cantor's naive set theory due to its generalization principle of presupposition.As no new paradox has been found within,the axiomatic set theory is regarded by the academic circle as a successful solution.However,though the nature of axiomatic is to reconstruct the set theory's deductive system which,due to its fidelity,yields to reliable knowledge,the two equivalent systems of axiomatic set theory is derived from contradictory premises.If conclusions of the both system were reliable,it would suggest that reliable knowledge may be deduced from unreliable axiomatic method,which is a questioning to the reliability of axiomatic method.

paradox;Russell's paradox;set theory;axiomatic;scientific methodology ?

O144

A

10．3969／j．issn．1674－8107．2014．01．009

1674－8107（2014）01－0052－06

（责任编辑：吴凡明）

2013－09-22

国家社科基金后期资助项目“泛悖论与科学理论创新机制研究”（项目编号：10FZX036）;安徽省学术和技术带头人后备人选科研资助项目。

王习胜（1965-），男,安徽舒城人，教授，博士生导师，博士后,主要从事悖论、辩证法、意识形态和思想分析研究。