遥感图像点线元位置不确定性的可视化研究*

梁敏中，洪友堂，钟永松

(1．陕西省地质矿产勘查开发局 第二综合物探大队，陕西 西安 710016； 2．中国地质大学(北京) 土地科学技术学院，北京 100083)

0 引言

空间数据质量的不确定性研究伴随着GIS 的问世而开始，不确定性是指客观世界或现象本身的不精确性、随机性和模糊性，主要包括位置不确定性、属性不确定性、时域不确定性等［1，9］。

近年来，空间数据的位置不确定性成为研究热点，位置不确定性指表示空间实体的真实位置与实际位置之间的差别。位置不确定性研究主要集中在数据源不确定性的研究、不确定性模型的研究、不确定性可视化和不确定性传播模型的研究。随着计算机可视化技术的发展，不确定性的可视化研究成为专家学者们的研究热点，因为不确定性的可视化表达能够辅助GIS 用户根据应用需要简单明确的掌握空间信息的确定程度，也有助于缺乏不确定性知识的GIS 用户了解和解决不确定性有关的问题［2，6］。

在矢量GIS 空间数据中，点、线、面是其基本要素，空间数据位置不确定性研究也主要是针对点元、线元和面元定位的不确定性研究。因此，本文研究的主要内容为:一方面是用误差椭圆、矢量箭头和等高线3 种方法对点元误差不确定性进行可视化表达，分析其优缺点;另一方面是用G-带模型展示任意两点连线的误差。

1 点元位置不确定性的可视化表达

1．1 误差椭圆表示法

点元位置不确定性的可视化表达相对简单，点的置信域就是一种简洁的表示方法，常用的置信域有圆形置信域、矩形置信域和椭圆置信域，其中以椭圆置信域应用更为广泛，它是建立在点元周围用于显示不同概率所对应的精度区域［3］。

图1 表示一个长半轴为2，短半轴为1 的误差椭圆。

图1 误差椭圆Fig．1 Error ellipse

设点元P = (x，y)的协方差矩阵为:

误差椭圆的长半轴和短半轴分别等于如下方程两个解的平方根:

同时，误差椭圆的方向可以通过计算x 轴与误差椭圆长半轴之间的角度决定:

如果落入椭圆内的概率值为0．393 5，则该误差椭圆也被称作标准误差椭圆。通过乘以某一尺度系数，可以扩大标准误差椭圆以获得不同的概率值。点元对应的误差椭圆数学表达式如下:

式中:(μx，μy)为点元P 的坐标期望值;χ2p(α)是自由度为p、置信度为1 -α 的卡方分布值。

误差椭圆方法是用于描述矢量图中空间特征位置不确定性的一种可视化方法。不确定性的大小由误差描述符的大小决定。误差描述符的范围越大，位置不确定性越大［4］。误差椭圆方法是基于位置不确定性服从正态分布的假设条件下推导出来的，对应GIS 中的空间数据，基于中心极限定理，该假设可以通常认为是成立的。GIS 中空间特征的某一个观测值可能是通过多次现场观测获得，且每一次观测值都含有量值相约的随机误差。因此，该观测量的位置不确定性趋于正态分布的假设有其合理性的一面。

本实例选取北京地区Aster 遥感数据，如图2 所示。图2中，星形标记为在实地用大地测量型GPS 观测得到的高精度控制点，对于Aster 15 m的分辨率来说，这些厘米级精度的观测值可视为零误差值，也即是准确值。首先用专业遥感软件ENVI4．3 对Aster 遥感数据进行正射校正。校正完毕后，利用误差传播定律即可得到图像中任意点的协方差阵，知道该协方差阵后也就不难得到这些点的误差椭圆。为了便于观察和减少数据的计算量，试验中选取了X ∈［1 000，20 000］，Y ∈［-18 000，-1 000］的区域来研究点位误差的可视化，其中X 与Y 方向均以1 000作为间隔。这样就得到了20 ×18 个实验点。最后利用Matlab 的矩阵计算功能和绘图功能来实现这20 ×18 个点的误差分布图，如图3 所示。

图2 北京Aster 遥感数据Fig．2 Aster remote sensing data of Beijing

图3 误差分布图Fig．3 Error distribution map

图3 中，椭圆代表误差椭圆，椭圆的大小就表示了误差的大小。星形标记为控制点的位置。从误差椭圆图中可以清晰看出:该幅遥感图像校正后点位误差的分布以及误差的大小。这对遥感的后续工作如矿山边界量算工作等也有较好的指导作用。

误差椭圆方法不仅具有单独显示某一空间特征位置不确定性的能力，而且具有同时显示同一幅地图上所有空间目标位置不确定性的能力。后一特性可以提供地图上所有空间特征的总体精度描述，使用户对空间特征的不确定性空间分布有初步的比较。其缺点是:当空间特征及其相应的误差椭圆描述符同时显示在一张地图上时，地图可能会变得令人眼花缭乱，某些空间特征可能与其他的空间特征误差描述符相互重叠。这一弱点可以通过每次只显示1 个或几个空间特征的误差描述符的方法加以克服。

1．2 矢量箭头表示法

矢量箭头描述方法是将每个点的误差标绘出来，即用二维空间矢量来可视化表达点位的不确定性。每一箭头受两个制图变量——箭头方向和长度的制约。方向用以表达与模型或假设的方向值的差异，而长度则表示误差值的大小。矢量箭头法表示点位误差，如图4 所示。图4 中星形标记代表控制点，箭头代表插值点的误差矢量。

图4 矢量箭头法表示点位误差Fig．4 The point position errors indicated by vector arrow method

1．3 等高线表示法

等高线表示法是以等高线和空间彩色格网法(DEM)展示点位不确定性的方法。要用等高线法表示误差的大小，需得到插值点的点位中误差。将每一插值点的点位中误差作为高程数据，加上插值点的坐标就可以得到一幅DEM 影像。根据该DEM 在XOY 平面绘制等高线。与误差椭圆法和矢量箭头法不同的是，等高线法得到的是图像上的点位误差的分布趋势，这一点是其他方法无法比拟的。配合矢量箭头不仅可以看出误差的分布还可以得到任意点的误差分布方向和大小。等高线法表示点位误差，见图5。

图5 等高线法表示点位误差Fig．5 The point position errors indicated by contour line method

图5 中，星号表示控制点，彩色格网高度代表点位误差的大小，同时用颜色来表示。位于XOY 平面上的彩色线条代表不同的误差大小。随着颜色由蓝色向红色变化，点位误差越来越大，这一点也可以从网格的高度上看出来。

2 线元位置不确定性的可视化表达

虽然点元是空间数据的基本要素，由点构成线，再由线构成面，但现实世界中点元是很少存在的，因此线元位置不确定性的可视化研究是至关重要的［5-8］。

目前，国内外对线元的误差模型已有很多研究，主要是从误差带的概念来描述，从最初的ε 带模型(Chrisman，1982)到后来的E-带模型(Honeycutt，1986)、置信域误差模型、S -带模型(Shi，1994)、G-带模型(Shi ＆ Liu，2000)、误差熵不确定带模型等［6，7］，本文主要以G-带模型对线元位置不确定进行可视化表达。

根据纠正方程列出误差方程组:

进行间接平差后即可得到图像任意点转换到地面坐标后点的坐标，同时得到转换参数［TxTya b］的协方差阵Q。式(5)中［xiyi］为地面控制点坐标，［x～i y～i］为对应的图面点坐标。

任意选取图面上两点A =［x1y1］，B =［x2y2］，即可得到方程:

运用误差传播定律很容易就得到A、B 两点的互协方差阵QAB，绘出A、B 两点连线形成的误差带，如图6 所示。

图6 任意两点连线的误差带Fig．6 The error band of the line between any two points

图6 中，星号为控制点。选定了［6 000，-4 000］，［18 000，-12 000］两点。将直线长度作为1 时，按照0．015 的比例间隔画误差椭圆。由于误差椭圆相比于图面坐标显得太小，本实例中将误差椭圆放大500 倍显示，这样便于读者观察。从该误差带中可以看出:该直线的误差呈两端大中间小的趋势。

G-带模型的理论基础是随机过程理论，它提供了在给定线元端点误差及相关性情形下误差带形状与大小的解析关系。G-带模型考虑了线元是由线元上无数待定点集合而成的事实。当随机过程各向独立时，G -带模型退化为以往的误差带模型;当线元目标各向同性且各向独立时，G-带模型退化为沿线元方向的平行带即带模型。因此，G -带模型提供了线元误差带建模的更一般性的方法。

G-带模型是针对几何实体基本单元——线元提出的。其他几何实体的位置不确定性都可以基于该基本单元(线元)的误差模型来描述。利用G -带模型的可视化操作，可以清楚地看到线元上单个点和几何实体的不确定性。

3 结论

通过本文研究，笔者得出如下结论:

1)分别采用误差椭圆法、矢量箭头法和等高线法对点元位置不确定性进行可视化表达，通过对比3 种方法后发现:误差椭圆法适用于用误差椭圆法描述每个点的误差大小;而矢量箭头法则是根据控制点的误差分量用插值法得到点元的误差分量，该方法适用于对误差方向和大小有需求的用户;等高线法得到的是图像上的点位误差，是从整体上描述误差的分布。

2)采用G -带模型对线元位置不确定性进行可视化表达，指出G-带模型考虑了线元是由线元上无数待定点集合而成的事实，是针对几何实体基本单元——线元提出的。从文中实例可以看出，利用G-带模型的可视化操作可以清楚地看到线元上单个点和几何实体的不确定性。

［1］ 郭同德．GIS 中空间数据位置不确定性的模型与试验研究［D］．郑州:解放军信息工程大学，2004:4 -24．

［2］ 戴洪磊，夏宗国，黄杏元．GIS 中衡量位置数据不确定性的可视化度量指标族探讨［J］．中国图象图形学报，2002，7(2):165 -169．

［3］ 张菊清，杨元喜．空间数据不确定性研究现状分析［J］． 地理空间信息，2009，7(3):4 -8．

［4］ 蓝悦明，陶本藻．以点位误差描述线元位置不确定性的误差带方法［J］．测绘学报，2004，33(4):289 -292．

［5］ 卢代军，夏学知，张子鹤，等．目标位置不确定性的图形描述［J］．火力与指挥控制，2006，31(9):58 -60．

［6］ 戴洪磊，吴守荣，徐泮林，等．GIS 中平面线位误差带的可视化表达［J］．中国图象图形学报，1999，4(3):256 -260．

［7］ 戴洪磊，刘文宝，徐泮林．矢量GIS 中随机折线定位不确定性的可视化模型［J］．测绘学报，1999，28(3):239 -243．

［8］ 戴洪磊，陈兰森，徐泮林，等．矢量GIS 中位置不确定性在目标间的拓扑关系判定中的应用［J］． 解放军理工大学学报:自然科学版，2004，5(5):94 -97．

［9］ 史文中．空间数据与空间分析不确定性原理［M］．北京:科学出版社，2005．