灰色系统理论在建筑物变形分析和预报中的应用*

2014-04-14鲁明军崔金勇陈泓吉

地矿测绘 2014年3期

鲁明军，崔金勇，陈熙，陈泓吉

(1．上海华测导航技术有限公司，上海 200233； 2．云南登润科技有限公司，云南昆明 650034； 3．中国人民解放军62106 部队，辽宁大连 116000)

0 引言

变形现象以各种各样的形式存在于自然界中，比如塌方，滑坡，地壳形变，工程建筑物的沉降和位移等。当变形体的变形量超过一定的范围，就会导致灾害的发生，危及人类的生命财产安全，给人类社会带来巨大的损失和伤害。这些灾害的发生都与变形有关，因此，变形监测的研究受到了世界各国的广泛关注。

变形监测是对监视对象或物体(简称变形体)进行测量以确定其空间位置随时间的变化特征。变形监测是为变形分析和预报提供基础数据，在变形监测的工作中，监测是为了获得相关的数据，是变形监测的基础;分析是对所获取的数据进行合理化的处理，是变形监测的手段;预报是根据之前的工作，来推测变形体的变化趋势，确定是否会引发灾害以及在灾害发生前采取措施来尽可能阻止灾害的发生或者减少灾害带来的损失，是变形监测的最终目的。因此，变形分析与预报一直是测绘专业研究的热点问题，具有重要的现实意义［1-5］。

1 研究方法及技术路线

本文对某高层建筑的沉降观测数据运用灰色系统理论模型来处理，进行变形监测的分析和预报。观测数据为3 个监测点的12 期沉降值，分别采用每个点的前n 期(n 大于或等于4)数据作为样本数据建立GM(1，1)模型，并检验模型精度，作出n期以后的沉降预报，并与实际测量值进行比较，评定预报效果，并得出一些有益的结论。

2 灰色系统理论概况及模型

灰色系统理论指出用离散的随机数，经过生成变为随机性被显著削弱的较有规律的生成数，这样便可以对变化过程做较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型。灰色模型的建立有以下几个步骤:

2．1 原始数据的预处理(累加生成)

记原始数据序列X(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}，对其进行一次累加生成，得到生成列X(1)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}。

2．2 计算灰参数a，b(对生成列建立一阶微分方程并求解)

式中:a，b 是灰参数，其白化值为^a = a，[ ]bT。运用最小二乘原理，可解得:

式(2)中:

将式(3)、(4)结合式(2)可解出^a，由此即可确定灰参数a，b 的值。

2．3 建立模型

将^a 代入式(1)，便可解出微分方程式，得:

式(5)即为GM(1，1)模型的具体表达式，至此，模型建立完毕。

对^x(1)(k +1)作累减生成，可以还原数据:

式(5)、式(6)即为灰色系统分析与预报的两个基本模型，当k≤n 时，称^x(0)(k)为模型模拟值;当k=n，称^x(0)(k)为模型滤波值;当k ＞n 时，称^x(0)(k)为模型预测值。

2．4 模型的检验

模型的检验方法有关联度检验，残差检验和后验检验3 种方法。关联度检验是考察模型值与建模序列曲线的相似程度;残差大小检验是对模型值和实际值的误差进行逐点的检验;后验差检验则是对残差分布的统计特性进行的检验，用后验差比值C 和小误差概率P 来共同描述。根据式(6)可以得到:^x(0)={^x(0)(1)，^x(0)(2)，…，^x(0)(n)}，计算残差e(k)= x(0)(k)－^x(0)(k)，k=1，2，…，n。

再计算原始系列x(0)及残差序列e 的方差:式中

得出S1和S2后，计算后验差比值C=S2/S1，以及小误差概率P。P 的计算公式为:

根据模型精度等级(见表1)判别式，模型等级精度=max{C 所在的级别，P 所在的级别}。

表1 模型精度等级Tab．1 Model accuracy class

3 灰色系统在某建筑物沉降监测数据处理中的应用

以某高层写字楼为例，介绍灰色系统在建筑物沉降监测中的应用。该高层写字楼为框架结构，总建筑面积2 586 m2，基础土层为高压缩土，其中地下2 层，地面20 层。根据建筑物变形观测规范要求，在建筑物施工及运营的一段时间内(观测时间见数据记录表2)，对其进行了沉降观测，布置了3 个水准基点(点位均位于地基稳定区域)，组成水准网，在主楼一层柱墙+0．2 m ～+0．5 m标高处埋设观测点24 个。采用视线高法对各个观测点进行高程测量。观测路线，如图1 所示。部分数据记录，如表2 所示。

图1 观测平面图Fig．1 Observation plane figure

表2 数据记录Tab．2 Data record sheet

表2 ( 续) 数据记录

3．1 常规灰色模型的数据处理

选择1 号点的前5 期观测数据，Y(0)={0，-6，-11，-14，-16}。令X(0)=KY(0)，K = -1，则X(0)={0，6，11，14，16}，对X(0)进行一次累加生成得，X(1)={0，6，17，31，47}，对此生成序列建立一阶微分方程dX(1)/dt +aX(1)=b，由X(1)可得数据矩阵B:，则

^a = ［a，b］T= (BTB)－1BTYN，代入数据得^a =［-0．2632 6．654］T，代入微分方程。计算得:^x(1)(k +1)= 25．27e0．2632k－25．27，对^x(1)(k+1)做累减生成(IAGO)可得还原数据^x(0)(k+1)=^x(1)(k+1)-x(1)(k)，因为Y(0)(k)=K0X(0)(k)，K0= -1，则Y(0)的还原数据具体如下:y(0)(1)=0，y(0)(2)= -7．6，y(0)(3)= -9．9，y(0)(4)= -12．9，y(0)(5)= -16．8。

3．1．1 后验差检验

由残差计算公式可得:e(1)=0，e(2)=1．6，e(3)= -1．1，e(4)= -1．1，e(5)=0．8。记原始数列Y(0)及残差数列e 的方差分别为S21、S22。由¯e(k)= 0．04 ，¯x(0)= － 9．4 可得:S21=33．44，S1=5．7827;S22 =1．1224，S2=1．0594;验差比值C = S2/S1=0．18;小概率误差P={|e(k)| ＜0．6745·S1}=1;模型精度等级=max{P 所在的级别，C 所在的级别}，将计算得出的C 和P与模型精度等级表比较，判定出该模型的精度为1 级。

3．1．2 利用模型进行预报

利用模型对1 号点的6 -12 期沉降值进行预测，后7 期数据预报结果，见表3。

表3 后7 期数据预测结果Tab．3 Seven periods of data forecast results of that followed

3．1．3 对1 号点选择不同期数建模并进行预报并比较

观察图2 可以发现:建模期数越多，模型预测曲线就越接近于测量值曲线，预测趋势越理想。注意到对该建筑物进行变形监测时，还处于工程建设阶段。7 期以后，工程竣工，建筑物的沉降进入另一个阶段。固也侧面反映出，建模采用的数据样本所包含的工程变形的情况越全面，模型的预报精度越高。对于第7 期，选择前6 期建模所得的预测值相对误差要比选择前5期建模所得的预测值相对误差要小，也就是精度更高。观察其他组，也有相同情况。因此，可以得出:对同一期而言，建模所选用的数据样本越大，所得的预报精度越高。对于常规GM 模型来说，若要尽可能高精度地预测第n 期的变形值时，就需尽量选择前n -1 期来建模。当n 值比较大时，该方法虽然预测精度高，但是数据计算量也较大。

图2 不同期数建模预测结果比较Fig．2 Comparison of forecast results modeled by using the different periods of data

3．2 基于灰色系统的等维滚动预测

3．2．1 灰色系统的等维滚动预测概念

选择前n 期观测数据，按照灰色系统理论建立模型并进行预报，然后再去掉第一期数据，选择第n +1 期测量值作为第二次建模的数据样本，建模的维度依然为n，依次进行下去，这就是灰色系统的等维滚动预测。

3．2．2 等维滚动预测

通过具体分析与预报来对比该方法与常规灰色系统建模方法的预报精度及优缺点。选择5 维、6 维、7 维，分别做4 次滚动预测，由于篇幅限制，具体演算过程不再详述。

3．2．3 预报值的分析对比

3．2．3．1 常规预测与滚动预测的分析对比

通过3 组数据进行对比可以发现:对于同一期预测，滚动预测值的相对误差均要比常规预测值的相对误差小很多。但也要注意到，3 组对比中，常规预测的建模样本序列与滚动预测的建模样本序列中仅有1 个数据不一样:第一组中，常规预测建模序列为1 -5 期，滚动预测建模序列为2 -6 期;第二组中，常规预测建模序列为1 -6 期，滚动预测建模序列为2 -7 期;第三组中，常规预测建模序列为1 -7 期，滚动预测建模序列为2 -8期。固可以得出，在建模样本的维度相同，建模所选择的期数仅有1 期不相同时，滚动预测的预测效果要比常规预测好很多。

选择前5 期的常规预测与维度为5 的第一次滚动预测比较，见表4。

表4 常规模型预测与滚动预测的对比Tab．4 Comparison of forecast results between routine and rolling

用选择前6 期、选择前7 期的常规预测分别与维度为6、维度为7 的滚动预测相比较，也得出相同结论。

3．2．3．2 等维滚动预测之间的分析对比

5 维滚动预测间的比较:第一次滚动预测值的中误差为9．339 mm，第二次预测中误差为7．753 mm，第三次预测中误差为7．100 mm，第四次预测中误差为4．712 mm。可以看出:随着滚动次数的增加，预测中误差越小，也就是预测效果越好。

表5 滚动预测的相互比较Tab．5 Comparison among rolling forecast results

通过计算，6 维、7 维也具有同样的规律。由此，可以得出:在维度相同的情况下，滚动预测的次数越多，其总体上预测的效果越好。同时，也要注意到，对单期预报来说，并不是滚动预测次数越多预测值越好。

3．2．3．3 滚动预测值坐标图

下面给出滚动预测的坐标图，见图3 -5。在前文中，通过对点1、点2、点3 分别以前5 期、前6 期、前7 期、前8 期、前9期、前10 期、前11 期数据为数据样本建模进行比较，发现以前11 期数据建立的模型预报效果最好，但是，它的建模序列也是最大的，达到11 维，而本文所做的滚动预测所采用的样本序列最大为7 维。若用前11 期的建模预测值与滚动预测的预测值进行比较，显然不合理。所以，这里选用以前8 期为基础数据所建立模型的预测值曲线与滚动预测值曲线相比较。

由图3 -5 可知:在1 到8 期内，前8 期建模的预测值(常规预测)与测量值相符合，但在9 到12 期间，滚动预测都比前8 期建模的预测值更趋近于测量值。对于滚动预测4 而言，在9 到12 期间中，它的预测效果最好，而在5 到8 期间预测的效果却一般。就预报测量值的总体变化趋势而言，滚动预测4 更接近于实际情况，考虑到变形体的变形现象可能具有阶段性，而滚动预测是不断的更新建模的样本数据，这恰恰能够将变形现象的阶段性吸纳进来，最终体现在模型的预测值上。

图3 维度为5 的滚动预测与以前8 期建模的预测曲线图Fig．3 Graphs between 5 dimensions of rolling forecast results and forecast results modeled by the data of first eight observation periods

图4 维度为6 的滚动预测与以前8 期建模的预测曲线图Fig．4 Graphs between 6 dimensions of rolling forecast results and forecast results modeled by the data of first eight observation periods

图5 维度为7 的滚动预测与以前8 期建模的预测曲线图Fig．5 Graphs between 7 dimensions of rolling forecast results and forecast results modeled by the data of first eight observation periods

另外，从图3 -5 中也可以看出:曲线图体现出的规律与本文3．2．3．1 节与3．2．3．2 节中所得到得结论相符。另外，还可以看出，滚动预测在短期预报中，只需要较少的数据就能获得较高的预测精度，当然，所选用的数据必须能体现变形体的变形现象的阶段性。