张家口市万全县统一高斯平面直角坐标系的建立*

王文栋，杨久东

(1．河北联合大学，河北 唐山 063009； 2．河北省地质测绘院，河北 廊坊 065000)

0 引言

按照河北省国土资源厅的工作部署，河北全省正在以县域为单位开展“三权”(即集体土地所有权、集体建设用地使用权、农村宅基地使用权)调查工作，为了统一全省地籍调查的技术路线和工作方法，河北省国土资源厅组织制定了《河北省地籍调查技术细则》，该细则针对坐标系的选择提出了如下要求:

1)农村集体土地所有权调查，应采用统一3°带高斯—克吕格投影。

2)土地使用权调查，当长度变形值不大于2．5 cm/km 时，采用统一3° 带高斯—克吕格投影;当长度变形值大于2．5 cm/km时，按下列顺序选择坐标系:①选择高斯—克吕格投影统一1．5°带的平面直角坐标系统;②选择高斯—克吕格投影任意带平面直角坐标系统。

3)坐标系选择的参考椭球，投影面必须与1980 西安坐标系或2000 国家大地坐标系统保持一致。

4)一个县级行政区的坐标系、中央子午线尽可能统一。

同时，为了满足一个县域内的工程建设、城乡规划和测图控制的需要，由控制点平面坐标反算的边长应与实测平距相接近，即由边长的高程归化及投影改化引起的总的长度相对变形值应小于1/40 000(2．5 cm/km)，这是建立平面坐标系的基本原则。

本文分别以万全县城乡建设和“三权”调查的角度为出发点，分析如何合理地建立万全县统一高斯平面直角坐标系统。

1 万全县基本地理情况

万全县地处河北省西北部，张家口市西北部，地理位置位于东经114°20'24″～114°50'32″，北纬40°40'14″～41°01'08″，西北以明长城为界与尚义、张北西县接壤，南隔洋河与怀安县相望，东临张家口市，总面积1 161．48 km2，全境东西长约38 km，南北长约35 km。万全县是川、丘、山并存的县份，地形特点是北高南低，西高东低，其中县境南东部河川区盆地面积317．95 km2，海拔在600 ～800 m之间;中部丘陵浅山区面积200．8 km2，海拔在800 ～1200 m之间;北部为高中山区，海拔在1200 ～1540 m之间。全县平均海拔为890 m，最低680 m，最高1540 m。

根据万全县的地理情况特点可知，该县位于标准3°带统一中央子午线东侧，且面积广，地形起伏高差大，全县最低、最高海拔相差860 m，这对选择建立平面坐标系时因高差引起的投影变形将非常明显。因此，如何在该县建立统一的平面直角坐标系值得认真探讨。

2 有关高斯投影变形的基本原理

众所周知，平面控制测量平面坐标系的选择，即是投影面和中央子午线的选择，主要是解决长度变形问题。这种投影变形主要由以下两种因素引起:

1)实测边长归算到参考椭球面上的变形影响，其值为ΔS1，计算公式为:

式中:Hm为实测边高出参考椭球面的平均高程;S 为实测边长;R 为实测边方向参考椭球法截弧的曲率半径(取6 371 km)。由式(1)变换，可得每公里实测边长投影相对变形值为:

根据式(1)、(2)，计算得到不同高程面上的每公里长度变形，见表1。

表1 不同高程面投影到参考椭球面上的每公里长度变形Tab．1 The projection length distortion per kilometer from different elevation plane to reference ellipse plane

2)将参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的边长变形，其值为ΔS2，计算公式为:

式中:S0= S+ΔS1;ym为实测边两端点横坐标平均值;Rm为参考椭球面平均曲率半径(取6 375 km)。

由式(2)变换得到投影边长的相对变形为:

依式(3)、(4)计算得到每公里的长度投影变形，见表2。

表2 参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的每公里投影变形Tab．2 The projection length distortion per kilometer from reference ellipse plane to Gauss projection plane

3 几种常用的平面直角坐标系

在城乡规划建设及国土资源部门土地利用现状调查中，主要有以下几种常用的平面直角坐标系。

3．1 国家统一3°带高斯平面直角坐标系

自东经1．5°开始，每个3°为1 带，投影面为参考椭球面，全球共划分120 带，由表1 、表2 可见，当测区平均高程在100 m以下，且ym值不大于40 km时，每公里边长投影变形值均小于2．5 cm，可以满足大比例尺测图和工程放样的精度要求，此时可以直接采用国家统一3°带高斯投影平面直角坐标系。

3．2 带抵偿投影面的统一3°带高斯平面直角坐标系

在这种坐标系中，仍采用国家统一3°带高斯投影，但是投影的高程面不是参考椭球面，而是依据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参考面，在这个高程参考面上，长度变形为零。即由上述ΔS1+ ΔS2= 0 ，可导出:

式中:ΔH 为测区海拔高程面与所选择的抵偿高程面之间的高差。

3．3 任意带高斯投影平面直角坐标系

投影面仍选择参考椭球面，但投影带的中央子午线不按国家统一3°带的划分方法，而是依据补偿高程面投影长度变形而选择的某一条子午线作为中央子午线，即由上述ΔS1+ ΔS2=0，保持Hm不变，导出:

式中:y 为测区与选择的中央子午线的距离。

3．4 具有高程抵偿面的任意带高斯投影平面直角坐标系

通常是，投影的中央子午线选在测区的中央，投影面选择测区平均高程面，按高斯正形投影计算平面直角坐标，是综合3．2节、3．3 节两种坐标系长处的一种任意带高斯平面直角坐标系。

4 万全县建立统一高斯平面直角坐标系的技术分析

4．1 建立标准国家统一3°带高斯平面直角坐标系

按照万全县所处的地理位置，位于3°带第38 带内，中央子午线为114°，县城最西部距中央子午线约29 km，即y西=29 km，西部平均高程1 000 m，即Hm=1 000 m，则实测每公里边长投影变形用上面公式计算为:

ΔS1= -0．157 m ΔS2=0．010 m

ΔS西=ΔS1+ΔS2= -0．147 m

县城最东部距中央子午线约67 km，即y东=67 km，东部平均高程为800 m，即Hm= 800 m，则实测每公里边长投影变形为:

ΔS1= -0．126 m ΔS2=0．055 m

ΔS东=ΔS1+ΔS2= -0．071 m

根据计算结果分析可知，此坐标系全县城范围内的投影变形均大于2．5 cm/km。

4．2 建立带有抵偿高程面的国家统一3°带高斯平面直角坐标系

根据万全县的地理海拔情况，选择全县平均高程890 m作为投影面，则县域西部，y西=29 km，按照投影变形公式计算得:

ΔS1= -0．017 m ΔS2= +0．010 m ΔS= -0．007 m

县域东部，y东=67 km，Hm东= -90 m，则:

ΔS1= +0．014 m ΔS2= +0．055 m ΔS= +0．069 m

县域中部，y中=48 km，Hm中=60 m(中部平均高程约为950 m)，则:

ΔS1= -0．009 m ΔS2= +0．028 m ΔS= +0．019 m

县域中北部，y中=48 km，Hm中北=460 m(中北部平均高程约为1350 m)，则:

ΔS1= -0．072 m ΔS2= +0．028 m ΔS= -0．044 m

县域东北部，y东=67 km，Hm东北=460 m(东北部平均高程约为1350 m)，则:

ΔS1= -0．072 m ΔS2= +0．055 m ΔS= -0．017 m

根据计算结果分析可知，此坐标系在全县域约60%的范围内能保证投影变形小于2．5 cm/km。

4．3 建立任意带高斯投影平面直角坐标系

4．3．1 全县域建立一个任意带高斯平面直角坐标系

以横坐标ym的影响产生的投影变形抵消高差影响产生的投影变形。以县域中部作为测区中心，取平均高程Hm=890 m，则按公式:

根据y 值，反算出该任意带的中央子午线为113°19'43″。

此坐标系，县域中部(东西向)投影变形定小于2．5 cm/km。

县域西部，ym西=87．5 km，平均高程Hm=1 000 m，则:

ΔS1= -0．157 m ΔS2=0．094 m ΔS= -0．063 m

县域东部，ym东=125．5 km，平均高程Hm=800 m，则:

ΔS1= -0．126 m ΔS2= +0．194 m ΔS= +0．068 m

经分析比较，此坐标系能保证投影变形小于2．5 cm/km 的范围小于整个县域的1/2。

4．3．2 全县域分东西两半部分，各建立一个任意带高斯平面直角坐标系

坐标系建立原理与上面一致，只是将县域按东西方向一分为二。每个坐标系只覆盖东西19 km的宽度，取平均高程Hm=890 m，也是用向西偏移中央子午线加大横坐标y 值引起的投影变形抵消高差引起的投影变形。按这种方法分别建立县域西部和县域东部任意带高斯平面直角坐标系，中央子午线分别为113°12'15″和113°27'15″。

覆盖县域西半部的坐标系，西边缘ym西= 97 km，Hm=1 000 m，则投影变形:

ΔS1= -0．157 m ΔS2= +0．116 m ΔS= -0．041 m

东边缘，ym东=116 km，Hm=950 m，则投影变形:

ΔS1= -0．149 m ΔS2= +0．165 m ΔS= +0．016 m

覆盖县域东半部分的坐标系，西边缘ym西=97 km，Hm=950 m，则投影变形:

ΔS1= -0．149 m ΔS2= +0．116 m ΔS= -0．033 m

东边缘，ym东=116 km，Hm=800 m，则投影变形:

ΔS1= -0．126 m ΔS2= +0．165 m ΔS= +0．039 m

经分析比较，此坐标系只能保证全县域70%以上的区域投影变形小于2．5 cm/km，但能保证全县域90%以上的区域投影变形小于4．0 cm/km。

4．4 建立带有高程抵偿面的任意带平面直角坐标系

4．4．1 全县域建立一个带有高程抵偿面的任意带高斯投影平面直角坐标系

以全县域平均高程面890 m 为投影面，取县域中部114°35'28″为中央子午线，则县域西部ym西= -19 km，Hm=110 m，则投影变形为:

ΔS1= -0．017 m ΔS2= +0．004 m ΔS= -0．013 m

县域东部ym东=19 km，Hm= -90 m，则投影变形为:

ΔS1= +0．014 m ΔS2= +0．004 m ΔS= +0．018 m

县域北部最大投影变形的情况为，ym=0，Hm=460 m(1350- 890)，则:

ΔS1= -0．072 m ΔS2=0 ΔS= -0．068 m

县域南部最大投影变形的情况为，ym= 19 km，Hm=-210 m(680 - 890)，则:

ΔS1= +0．033 m ΔS2= +0．004 m ΔS= +0．037 m

经分析得知，此坐标系能保证全县域70%以上的区域投影变形小于2．5 cm/km。

4．4．2 全县域南、北半部分别建立一个带有不同高程抵偿面的任意带高斯平面直角坐标系

根据万全县的地形特点，将县域分成南、北两半部分，北半部分取平均高程1150 m，南半部分取平均高程800 m，中央子午线均取县域中部114°35'28″，南、北半部分各建立一个坐标系。

县域北半部分坐标系，东、西边缘，ym= ± 19 km，Hm=200 m(1350 -1150)，则投影变形:

ΔS1= -0．031 m ΔS2= +0．004 m ΔS= -0．027 m

最北部，Hm=390 m(1540 - 1150)，取ym=0，则投影变形:

ΔS1= -0．061 m ΔS2=0 ΔS= -0．061 m

县域南半部分坐标系，东、西边缘，ym= ±19 km，Hm=0，则投影变形:

ΔS1=0 ΔS2= +0．004 m ΔS= +0．004 m

最南部，Hm= -120 m(680 - 800)，取ym=19 km，则投影变形:

ΔS1= +0．019 m ΔS2= +0．004 m ΔS= +0．023 m

经分析得知，按此方法建立的坐标系，能保证整个县域90%以上的区域投影变形小于2．5 cm/km。

5 结论

根据万全县的地形地理特点，通过全文的分析，可以得出如下结论:

1)万全县县域面积较大、东西跨度较大、地形南高北低、西高东低、县域内高差大，所以全县域建立一个投影变形小于2．5 cm/km的高斯平面直角坐标系是不可能的。

2)如果为了尽量达到《河北省地籍调查技术细则》的要求(坐标系的投影面必须与1980 西安坐标系或2000 国家大地坐标系统保持一致)，又使投影变形尽可能的小，可以考虑将全县域按东西向等分成两部分，各建立一个任意带高斯平面直角坐标系。

3)如果从为了满足万全县城乡规划和工程建设的需要，可以选择全县域建立一个带有高程抵偿面的任意带高斯投影平面直角坐标系，如果为了达到更高的投影精度，可以选择将全县域等分成南北两半部分，分别建立一个带有不同抵偿高程面的任意带高斯平面直角坐标系。

［1］ 孔祥元，郭际明． 控制测量学［M］． 下册． 武汉:武汉大学出版社，2006:124 -127．

［2］ 施一民． 现代大地控制测量［M］． 北京:测绘出版社，2008:154-158．

［3］ 中华人民共和国住房和城乡建设部． CJJ/T8—2011 城市测量规范［S］．北京:中国建筑工业出版社，2012:32 -33．

［4］ 中华人民共和国建设部． GB50026—2007 工程测量规范［S］． 北京:中国计划出版社，2008:18 -19．

［5］ 河北省国土资源厅．河北省地籍调查技术细则［Z］． 石家庄:河北省国土资源厅，2014:1 -2．

［6］ 曾波．第二次土地调查省级GPS D 级控制网与区域独立坐标系统建立技术研究［J］．测绘通报，2013(6):45 -47．

［7］ 喻永平．投影长度变形对广州地铁21 号线线路设计的影响［J］．测绘通报，2014(1):77 -78．

［8］ 畅开狮． 建立城市独立坐标系相关问题的探讨［J］． 城市勘测，2008(1):86 -90．