例谈巧用图像法解题

梁耀

利用图像反映物理规律、分析物理问题，是研究和学习物理的一种重要方法，这种方法称为图像法。掌握了这种方法对中学物理学习有很大的帮助。如牛顿运动定律的实验数据处理、振动和波、气体性质、欧姆定律和交流电的描述等等，都要用到图像法。在解答物理问题时，特别是解答比较复杂、偏难的物理题时，如果只套用公式，则计算相当繁琐，若改用图像法解题，则形象直观，且可以化难为易，而对那些中间过程的变化不明显，又没有现成公式可用的问题，图像法更有其独到之处。

【例1】某鸵鸟饲养员，早上出发到离家分别为20km和40km的A、B两个喂养点。若其出发后保持直线运动，速度的大小与其离家的距离成反比，上午11点钟到达A点时速度为v1=5km/h。问其何时到达B点？

分析和解答：如图1，题目要求的是饲养员从A点到B点的时间，而题给条件是饲养员的速度随位移变化的关系，即v=k/x，其中k=L1·v1。经分析可知，其运动显然不是匀变速直线运动。所以很难用运动学公式和初等数学方法来直接求解。在这种情况下，如能巧妙地运用图像法解题，便会取得意想不到的效果。

图1用图像法解运动学问题，作关于速度的图像，通常是作物体的v—x图像，而根据题意，仅可作出v—x图像。如图2所示，v—x图为一条双曲线，且图像中的曲线斜率和曲线与x轴所围面积并无确切的物理意义，所以，直接通过v—x图也无法求得t。

图2为此，必须变换坐标系。根据题意，重新画出一个适当的图像，使其斜率或所围面积具有时间或与时间有关的物理意义。由v=x/t得t=x/v，显然，（1/v）-x图像（如图3）中的图线（1/v）=（x/k）与横轴x所围的面积的数值即为饲养员经过一定的位移所需要的时间。

图3如图3，在任意的x处取一窄条（阴影处），其高为（1/v）=（x/k），宽为Δx，令Δx→0，必然有此段位移所需的时间Δx→0，则v为x处的即时速度。由图3可知，图中窄条的面积S=Δx·（1/v）=Δx/v，这正表示饲养员在x处经过位移Δx所需的时间。即

t=（1/2）×（L1/k+L2/k）×（L2-L1）

=（L22-L21）/2k

把L1=20km，L2=40km，v1=5km/h代入，可得t=6h。即从A点开始6小时后（即下午5点）饲养员到达B点。

从本题的解析可知，只要注意到图线的斜率和所围面积的物理意义，利用图像能直观地解决实际问题，并且能收到很好的效果。

（责任编辑易志毅）endprint

利用图像反映物理规律、分析物理问题，是研究和学习物理的一种重要方法，这种方法称为图像法。掌握了这种方法对中学物理学习有很大的帮助。如牛顿运动定律的实验数据处理、振动和波、气体性质、欧姆定律和交流电的描述等等，都要用到图像法。在解答物理问题时，特别是解答比较复杂、偏难的物理题时，如果只套用公式，则计算相当繁琐，若改用图像法解题，则形象直观，且可以化难为易，而对那些中间过程的变化不明显，又没有现成公式可用的问题，图像法更有其独到之处。

【例1】某鸵鸟饲养员，早上出发到离家分别为20km和40km的A、B两个喂养点。若其出发后保持直线运动，速度的大小与其离家的距离成反比，上午11点钟到达A点时速度为v1=5km/h。问其何时到达B点？

分析和解答：如图1，题目要求的是饲养员从A点到B点的时间，而题给条件是饲养员的速度随位移变化的关系，即v=k/x，其中k=L1·v1。经分析可知，其运动显然不是匀变速直线运动。所以很难用运动学公式和初等数学方法来直接求解。在这种情况下，如能巧妙地运用图像法解题，便会取得意想不到的效果。

图1用图像法解运动学问题，作关于速度的图像，通常是作物体的v—x图像，而根据题意，仅可作出v—x图像。如图2所示，v—x图为一条双曲线，且图像中的曲线斜率和曲线与x轴所围面积并无确切的物理意义，所以，直接通过v—x图也无法求得t。

图2为此，必须变换坐标系。根据题意，重新画出一个适当的图像，使其斜率或所围面积具有时间或与时间有关的物理意义。由v=x/t得t=x/v，显然，（1/v）-x图像（如图3）中的图线（1/v）=（x/k）与横轴x所围的面积的数值即为饲养员经过一定的位移所需要的时间。

图3如图3，在任意的x处取一窄条（阴影处），其高为（1/v）=（x/k），宽为Δx，令Δx→0，必然有此段位移所需的时间Δx→0，则v为x处的即时速度。由图3可知，图中窄条的面积S=Δx·（1/v）=Δx/v，这正表示饲养员在x处经过位移Δx所需的时间。即

t=（1/2）×（L1/k+L2/k）×（L2-L1）

=（L22-L21）/2k

把L1=20km，L2=40km，v1=5km/h代入，可得t=6h。即从A点开始6小时后（即下午5点）饲养员到达B点。

从本题的解析可知，只要注意到图线的斜率和所围面积的物理意义，利用图像能直观地解决实际问题，并且能收到很好的效果。

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利用图像反映物理规律、分析物理问题，是研究和学习物理的一种重要方法，这种方法称为图像法。掌握了这种方法对中学物理学习有很大的帮助。如牛顿运动定律的实验数据处理、振动和波、气体性质、欧姆定律和交流电的描述等等，都要用到图像法。在解答物理问题时，特别是解答比较复杂、偏难的物理题时，如果只套用公式，则计算相当繁琐，若改用图像法解题，则形象直观，且可以化难为易，而对那些中间过程的变化不明显，又没有现成公式可用的问题，图像法更有其独到之处。

【例1】某鸵鸟饲养员，早上出发到离家分别为20km和40km的A、B两个喂养点。若其出发后保持直线运动，速度的大小与其离家的距离成反比，上午11点钟到达A点时速度为v1=5km/h。问其何时到达B点？

分析和解答：如图1，题目要求的是饲养员从A点到B点的时间，而题给条件是饲养员的速度随位移变化的关系，即v=k/x，其中k=L1·v1。经分析可知，其运动显然不是匀变速直线运动。所以很难用运动学公式和初等数学方法来直接求解。在这种情况下，如能巧妙地运用图像法解题，便会取得意想不到的效果。

图1用图像法解运动学问题，作关于速度的图像，通常是作物体的v—x图像，而根据题意，仅可作出v—x图像。如图2所示，v—x图为一条双曲线，且图像中的曲线斜率和曲线与x轴所围面积并无确切的物理意义，所以，直接通过v—x图也无法求得t。

图2为此，必须变换坐标系。根据题意，重新画出一个适当的图像，使其斜率或所围面积具有时间或与时间有关的物理意义。由v=x/t得t=x/v，显然，（1/v）-x图像（如图3）中的图线（1/v）=（x/k）与横轴x所围的面积的数值即为饲养员经过一定的位移所需要的时间。

图3如图3，在任意的x处取一窄条（阴影处），其高为（1/v）=（x/k），宽为Δx，令Δx→0，必然有此段位移所需的时间Δx→0，则v为x处的即时速度。由图3可知，图中窄条的面积S=Δx·（1/v）=Δx/v，这正表示饲养员在x处经过位移Δx所需的时间。即

t=（1/2）×（L1/k+L2/k）×（L2-L1）

=（L22-L21）/2k

把L1=20km，L2=40km，v1=5km/h代入，可得t=6h。即从A点开始6小时后（即下午5点）饲养员到达B点。

从本题的解析可知，只要注意到图线的斜率和所围面积的物理意义，利用图像能直观地解决实际问题，并且能收到很好的效果。

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