二次函数图象在解题中的应用

刘晓辉

二次函数是一种重要的函数，它有很多重要的性质，其中对称性和根的存在性就是其中的两个重要的性质.本文基于这两个重要的性质得出两个推论，旨在抛砖引玉，引起大家对二次函数图象的探究.

一、基本理论1

根据对称性知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若对称轴为x=x0，则f（x0-t）=f（x0+t）（其中t为常数）.

推论：对于f（x）=ax2+bx+c，若对称轴为x=x0，则

（1）当a>0时，若|t1-t0|>|t2-x0|，则f（t1）>f（t2）；

（2）当a<0时，若|t1-x0|>|t2-x0|，则f（t1）

【例1】已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-3）=f（2），求a与b的关系.

解：∵f（-3）=f（2），

∴|-3-b12a|=|2-b12a|且-3<-b12a<2.

∴b12a=-3+212.

∴b1a=-1，即b=-a.

【例2】已知函数f（x）=3x2+2x+b，试比较5+b与b+1的大小关系.

解：由题意可知5+b=f（1），b+1=f（-1）.

又∵f（x）=3x2+2x+b的对称轴为x=-213，

显然有|1-213|<|-1-213|.

故由理论可知f（1）

二、基本理论2

若f（x）为[a，b]上的连续函数，且f（a）·f（b）<0，则必存在x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

推论：若f（x）=0为一元二次方程，且x=x1根的范围是a

【例3】若方程ax2-2x+1=0的两根满足条件：较小的根小于1，较大的根在1和3之间，求a的取值范围.

解：设f（x）=ax2-2x+1，则f（x）在（-∞，+∞）上连续，当然在（-∞，1），及（1，3）上也连续，由基本理论2知，必有f（1）·f（3）<0，即（a-1）（9a-5）<0，∴519

评析：本题的解法避免了用判别式的繁杂计算，使解题过程大大简化.

【例4】若方程x2-mx-m+3=0的两根满足条件：一根在0与1之间，另一根在1与2之间，求m的集合.

分析：由上述理论可知，应有f（0）·f（1）<0，

f（1）·f（2）<0，

即（3-m）·（4-2m）<0，

（4-2m）·（7-3m）<0，

解得2

三、利用二次函数图象的对称性特征还可求一些可化为二次函数型的函数的值域

【例5】求函数y=3cos2x-4cosx+1的值域.

分析：若令cosx=t，则y=3t2-4t+1，这是一个关于t的二次函数，从而可求值域.

解：令cosx=t，则-1≤x≤1，y=3t2-4t+1，这是一个关于t的二次函数，从而可利用图象求值域.

由前述理论可知，当t=-1时，ymax=3×（-1）2-4×（-1）+1=8；

当t=213时，ymin=-113.

∴函数y=3cos2x-4cosx+1的值域为[-113，8].

评析：对于定义域不全为全体实数集的二次函数，若用配方法求值域，尚需分类讨论，显然不如用图象来得简便.

（责任编辑金铃）

二次函数是一种重要的函数，它有很多重要的性质，其中对称性和根的存在性就是其中的两个重要的性质.本文基于这两个重要的性质得出两个推论，旨在抛砖引玉，引起大家对二次函数图象的探究.

一、基本理论1

根据对称性知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若对称轴为x=x0，则f（x0-t）=f（x0+t）（其中t为常数）.

推论：对于f（x）=ax2+bx+c，若对称轴为x=x0，则

（1）当a>0时，若|t1-t0|>|t2-x0|，则f（t1）>f（t2）；

（2）当a<0时，若|t1-x0|>|t2-x0|，则f（t1）

【例1】已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-3）=f（2），求a与b的关系.

解：∵f（-3）=f（2），

∴|-3-b12a|=|2-b12a|且-3<-b12a<2.

∴b12a=-3+212.

∴b1a=-1，即b=-a.

【例2】已知函数f（x）=3x2+2x+b，试比较5+b与b+1的大小关系.

解：由题意可知5+b=f（1），b+1=f（-1）.

又∵f（x）=3x2+2x+b的对称轴为x=-213，

显然有|1-213|<|-1-213|.

故由理论可知f（1）

二、基本理论2

若f（x）为[a，b]上的连续函数，且f（a）·f（b）<0，则必存在x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

推论：若f（x）=0为一元二次方程，且x=x1根的范围是a

【例3】若方程ax2-2x+1=0的两根满足条件：较小的根小于1，较大的根在1和3之间，求a的取值范围.

解：设f（x）=ax2-2x+1，则f（x）在（-∞，+∞）上连续，当然在（-∞，1），及（1，3）上也连续，由基本理论2知，必有f（1）·f（3）<0，即（a-1）（9a-5）<0，∴519

评析：本题的解法避免了用判别式的繁杂计算，使解题过程大大简化.

【例4】若方程x2-mx-m+3=0的两根满足条件：一根在0与1之间，另一根在1与2之间，求m的集合.

分析：由上述理论可知，应有f（0）·f（1）<0，

f（1）·f（2）<0，

即（3-m）·（4-2m）<0，

（4-2m）·（7-3m）<0，

解得2

三、利用二次函数图象的对称性特征还可求一些可化为二次函数型的函数的值域

【例5】求函数y=3cos2x-4cosx+1的值域.

分析：若令cosx=t，则y=3t2-4t+1，这是一个关于t的二次函数，从而可求值域.

解：令cosx=t，则-1≤x≤1，y=3t2-4t+1，这是一个关于t的二次函数，从而可利用图象求值域.

由前述理论可知，当t=-1时，ymax=3×（-1）2-4×（-1）+1=8；

当t=213时，ymin=-113.

∴函数y=3cos2x-4cosx+1的值域为[-113，8].

评析：对于定义域不全为全体实数集的二次函数，若用配方法求值域，尚需分类讨论，显然不如用图象来得简便.

（责任编辑金铃）

二次函数是一种重要的函数，它有很多重要的性质，其中对称性和根的存在性就是其中的两个重要的性质.本文基于这两个重要的性质得出两个推论，旨在抛砖引玉，引起大家对二次函数图象的探究.

一、基本理论1

根据对称性知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若对称轴为x=x0，则f（x0-t）=f（x0+t）（其中t为常数）.

推论：对于f（x）=ax2+bx+c，若对称轴为x=x0，则

（1）当a>0时，若|t1-t0|>|t2-x0|，则f（t1）>f（t2）；

（2）当a<0时，若|t1-x0|>|t2-x0|，则f（t1）

【例1】已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-3）=f（2），求a与b的关系.

解：∵f（-3）=f（2），

∴|-3-b12a|=|2-b12a|且-3<-b12a<2.

∴b12a=-3+212.

∴b1a=-1，即b=-a.

【例2】已知函数f（x）=3x2+2x+b，试比较5+b与b+1的大小关系.

解：由题意可知5+b=f（1），b+1=f（-1）.

又∵f（x）=3x2+2x+b的对称轴为x=-213，

显然有|1-213|<|-1-213|.

故由理论可知f（1）

二、基本理论2

若f（x）为[a，b]上的连续函数，且f（a）·f（b）<0，则必存在x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

推论：若f（x）=0为一元二次方程，且x=x1根的范围是a

【例3】若方程ax2-2x+1=0的两根满足条件：较小的根小于1，较大的根在1和3之间，求a的取值范围.

解：设f（x）=ax2-2x+1，则f（x）在（-∞，+∞）上连续，当然在（-∞，1），及（1，3）上也连续，由基本理论2知，必有f（1）·f（3）<0，即（a-1）（9a-5）<0，∴519

评析：本题的解法避免了用判别式的繁杂计算，使解题过程大大简化.

【例4】若方程x2-mx-m+3=0的两根满足条件：一根在0与1之间，另一根在1与2之间，求m的集合.

分析：由上述理论可知，应有f（0）·f（1）<0，

f（1）·f（2）<0，

即（3-m）·（4-2m）<0，

（4-2m）·（7-3m）<0，

解得2

三、利用二次函数图象的对称性特征还可求一些可化为二次函数型的函数的值域

【例5】求函数y=3cos2x-4cosx+1的值域.

分析：若令cosx=t，则y=3t2-4t+1，这是一个关于t的二次函数，从而可求值域.

解：令cosx=t，则-1≤x≤1，y=3t2-4t+1，这是一个关于t的二次函数，从而可利用图象求值域.

由前述理论可知，当t=-1时，ymax=3×（-1）2-4×（-1）+1=8；

当t=213时，ymin=-113.

∴函数y=3cos2x-4cosx+1的值域为[-113，8].

评析：对于定义域不全为全体实数集的二次函数，若用配方法求值域，尚需分类讨论，显然不如用图象来得简便.

（责任编辑金铃）