初中数学引导学生自主学习三策略

徐红梅

《数学课程标准》明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.”“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者.”那么，在初中数学教学中，如何引导学生进行自主学习呢？

一、课前，做好前置性预习工作

生本教育的教学原则是先学后教，以学定教.“先学后教”要让每个孩子带着有准备的头脑进入课堂、进行学习.因此，前置性学习是必不可少的.但前置性学习不等于课前预习，它在传统的预习的基础上，拓展了内容，更具科学性和趣味性.学生通过先做后学，对新知识有了初步感受和浅层理解，从而更有目的性地进行课堂的学习，提升课堂教学的有效性.

学生进行前置性预习的重要载体就是作业的设计，要求“为学生的好学而进行的设计”，即简单、浅入、开放.既要“保底”又不“封顶”，使学困生有兴趣，又要使优等生感到有趣味.这样个性化的学习准备才能保证每一个孩子都获得最大限度的发展.

例如，在学习八年级下册第六章《矩形》的第一课时《矩形的概念与性质》时，我在课前布置了这样三个前置任务：第一，找出生活中矩形的例子；第二，画几个矩形，并猜想矩形有哪些性质或结论；第三，如何验证你的猜想.第一个任务很简单，所有的学生都可以找到生活中如门、桌、黑板等例子.对第二个任务，鉴于小学已有知识和生活经验，一般都能得到“矩形的四个角都是直角”和“矩形的对角线相等”这两个性质.经过适当的提示，比如折纸等方式，学生也能得到“矩形既是轴对称图形也是中心对称图形”这一性质.而第三个任务是对学生的挑战.这要求学生能将文字语言转化为图像语言和符号语言，考查了学生对一个命题的逻辑推理能力.经过观察，发现一部分学生能独立完成，一部分学生经过讨论后也能完成，还有一些学习困难的学生，我就引导、协助他们，先画好图形，写出已知，求证这两个过程.这三个任务，学生可以依靠自己的生活经验与已有的知识经验进行观察、探究，自行获取知识，学生拥有自由的探索空间，兴致极高，思维十分活跃.三、交轨法

一般用于求两动曲线（尤其是动直线）交点的轨迹问题.选取适当的参数，表示两动曲（直）线的方程，再联立消参即可得出所求的两动曲（直）线交点的轨迹方程.

【例6】（2010，广东，理）一条双曲线x212-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P（x1，y1），Q（x1，-y1）是双曲线上不同的两个动点.求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程.

分析：所求动点E为两动直线A1P与A2Q的交点，因此考虑交轨法.

解析：由A1、A2为双曲线的左、右顶点知，A1（-2，0），A2（2，0），

A1P：y=y1-01x1+2（x+2），A2Q：y=-y1-01x1-2（x-2），两式相乘得y2=-y211x21-2（x2-2），而点P（x1，y1）在双曲线上，

所以x2112-y21=1，即y211x21-1=112.

故y2=-112（x2-2），即x212+y2=1.

图4【例7】（2012，辽宁，理）如图4，椭圆C0：x21a2+y21b2=1（a>b>0，a，b，为常数），动圆C1：x2+y2=t21，b

分析：所求动点M为两动直线AA1与A2B交点，因此考虑交轨法.

解析：设A（x1，y1），B（x1，-y1），

又知A1（-a，0），A2（a，0），

则直线A1A的方程为y=y11x1+a（x+a），①

直线A2B的方程为y=-y11x1-a（x-a）.②

由①②得y2=-y211x21-a2（x2-a2）.③

由点A（x1，y1）在椭圆C0上，故x211a2+y211b2=1，

从而有y21=b2（1-x211a2），代入y2=b2（1-x211a2）得x21a-y21b2=1（x<-a，y<0）.

（责任编辑金铃）课堂上的精彩缘于学生课前充分的预习和准备.学生在课堂上的突出表现，让我们的数学课堂充满活力.当然，前置性预习的目的并不是完成学习目标，而是完成学生能够独立解决的部分，以使课堂学习能在学生已有认识与体验的基础上继续前进.

二、课中，鼓励学生大胆走上讲台

在课堂教学时，我更愿意把讲台让给学生，而我变成了聆听者，只在适当的时候加以点拨.对一个概念，或是一个性质，或是一个定理等的理解，可以让学生来说说他们的想法，在你争我辩的过程中，得到最合理的答案.这样的形式让每个学生都有思考，在交流中把知识落实，才是真正的学习.对于题目的讲解，更应让学生走上讲台，解说自己的思路、方法，这样比教师在上面讲效果要好得多.试想，教师一整节课都站在讲台上滔滔不绝，学生则在下面昏昏沉沉，学生能接受多少知识？而让学生自己讲，其他学生乐于找老师的差错，也敢于找老师的差错，这样在听的时候，自然就提高了注意力.学生的力量是不能小看的，当一道题目有多种方法可以求解时，他们总能想到你没有想到的解法；甚至能将一道题目进行改变后再解，可谓是杰出的“命题者”.

例如：如图1，已知∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为.

图1学生除了用等腰三角形求等边三角形的边长外，还过B点作垂线段，利用含30°角的直角三角形的两边关系求等边三角形的边长.有位学生还提出可以将这题的图形放入平面直角坐标系（如图2）中来做，于是大家又开始讨论在平面直角坐标系中如何做.

图2受此启发，我问学生还能将此题如何变化.一位学生提出将等边三角形变成直角三角形（如图3）.还有学生提出可将等边三角形变为正方形（图略）、半圆（如图4）等.

图3图4学生又一一解决了假设的问题.一堂习题讲解课变成了一堂变式训练课，我相信通过这样一节课，学生肯定能很好地掌握这一类型的题目.

在上《矩形》的第二课时《矩形的判定》时，我让学生按照自己的意愿，建立合作小组，并提示学生在合作探究过程中要求组内学生相互讨论、交流、提问.每组要尽量用多种方法解决问题，并做好各种解决方案的记录.然后将讲台作为展示的舞台，展示时以小组为单位发言.学生在用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形”来判定时，有一个组就制作了一个可以活动的平行四边形，然后固定其中一个角为直角，先用三角板来验证，再利用平行线的性质进行了理论的推理论证.而对“有三个角是直角的四边形是矩形”和“对角线相等的平行四边形是矩形”这两个判定定理的提出时，除了用一般推理论证的方法说明外，有一个组还提到用木工师傅的角尺和卷尺就能说明两个定理的正确性，并进行了演示，赢得一片掌声.

每一位学生都以自己独特的方式判定一个四边形是矩形，在丰富多彩的个性化交流展示、自由质疑争辩中，学生积极参与了知识形成的过程，通过实践得到了矩形的判定方法，学生在实践中思考，在思考中收获，学习目标就这样悄然无声地完成了.

三、课后，帮助学生总结提高

课后辅导是课堂教学的延伸部分，是教师检查自己课堂教学，巩固教学效果的一个重要手段，也是学生提高学习成绩的一个有效方法.

例如，在上完《矩形》这两个课时后，我让每位学生拿一张纸出来，总结归纳这一课的要点.如图5是一位学生整理的知识结构图.

图5

同时，筛选出不同难度的题目给不同层次的学生做，找到学生存在的问题，看看是对概念理解错误，是计算能力上的问题，还是解题不规范、缺乏逻辑性的问题.这样当面提出，就可以使学生记忆深刻，能力也迅速获得提高.我还鼓励学生多问问题，有不懂的，都可以提出来与同学交流，也可问老师.我经常跟学生说：问了你才会懂，只有会问的人才真正有思考.这样，不仅培养了学生的思维能力，还营造了良好的学习氛围，有效提高了课堂教学效率.

（责任编辑黄桂坚）endprint

图2受此启发，我问学生还能将此题如何变化.一位学生提出将等边三角形变成直角三角形（如图3）.还有学生提出可将等边三角形变为正方形（图略）、半圆（如图4）等.

图3图4学生又一一解决了假设的问题.一堂习题讲解课变成了一堂变式训练课，我相信通过这样一节课，学生肯定能很好地掌握这一类型的题目.

在上《矩形》的第二课时《矩形的判定》时，我让学生按照自己的意愿，建立合作小组，并提示学生在合作探究过程中要求组内学生相互讨论、交流、提问.每组要尽量用多种方法解决问题，并做好各种解决方案的记录.然后将讲台作为展示的舞台，展示时以小组为单位发言.学生在用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形”来判定时，有一个组就制作了一个可以活动的平行四边形，然后固定其中一个角为直角，先用三角板来验证，再利用平行线的性质进行了理论的推理论证.而对“有三个角是直角的四边形是矩形”和“对角线相等的平行四边形是矩形”这两个判定定理的提出时，除了用一般推理论证的方法说明外，有一个组还提到用木工师傅的角尺和卷尺就能说明两个定理的正确性，并进行了演示，赢得一片掌声.

每一位学生都以自己独特的方式判定一个四边形是矩形，在丰富多彩的个性化交流展示、自由质疑争辩中，学生积极参与了知识形成的过程，通过实践得到了矩形的判定方法，学生在实践中思考，在思考中收获，学习目标就这样悄然无声地完成了.

三、课后，帮助学生总结提高

课后辅导是课堂教学的延伸部分，是教师检查自己课堂教学，巩固教学效果的一个重要手段，也是学生提高学习成绩的一个有效方法.

例如，在上完《矩形》这两个课时后，我让每位学生拿一张纸出来，总结归纳这一课的要点.如图5是一位学生整理的知识结构图.

图5

同时，筛选出不同难度的题目给不同层次的学生做，找到学生存在的问题，看看是对概念理解错误，是计算能力上的问题，还是解题不规范、缺乏逻辑性的问题.这样当面提出，就可以使学生记忆深刻，能力也迅速获得提高.我还鼓励学生多问问题，有不懂的，都可以提出来与同学交流，也可问老师.我经常跟学生说：问了你才会懂，只有会问的人才真正有思考.这样，不仅培养了学生的思维能力，还营造了良好的学习氛围，有效提高了课堂教学效率.

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图2受此启发，我问学生还能将此题如何变化.一位学生提出将等边三角形变成直角三角形（如图3）.还有学生提出可将等边三角形变为正方形（图略）、半圆（如图4）等.

图3图4学生又一一解决了假设的问题.一堂习题讲解课变成了一堂变式训练课，我相信通过这样一节课，学生肯定能很好地掌握这一类型的题目.

在上《矩形》的第二课时《矩形的判定》时，我让学生按照自己的意愿，建立合作小组，并提示学生在合作探究过程中要求组内学生相互讨论、交流、提问.每组要尽量用多种方法解决问题，并做好各种解决方案的记录.然后将讲台作为展示的舞台，展示时以小组为单位发言.学生在用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形”来判定时，有一个组就制作了一个可以活动的平行四边形，然后固定其中一个角为直角，先用三角板来验证，再利用平行线的性质进行了理论的推理论证.而对“有三个角是直角的四边形是矩形”和“对角线相等的平行四边形是矩形”这两个判定定理的提出时，除了用一般推理论证的方法说明外，有一个组还提到用木工师傅的角尺和卷尺就能说明两个定理的正确性，并进行了演示，赢得一片掌声.

每一位学生都以自己独特的方式判定一个四边形是矩形，在丰富多彩的个性化交流展示、自由质疑争辩中，学生积极参与了知识形成的过程，通过实践得到了矩形的判定方法，学生在实践中思考，在思考中收获，学习目标就这样悄然无声地完成了.

三、课后，帮助学生总结提高

课后辅导是课堂教学的延伸部分，是教师检查自己课堂教学，巩固教学效果的一个重要手段，也是学生提高学习成绩的一个有效方法.

例如，在上完《矩形》这两个课时后，我让每位学生拿一张纸出来，总结归纳这一课的要点.如图5是一位学生整理的知识结构图.

图5

同时，筛选出不同难度的题目给不同层次的学生做，找到学生存在的问题，看看是对概念理解错误，是计算能力上的问题，还是解题不规范、缺乏逻辑性的问题.这样当面提出，就可以使学生记忆深刻，能力也迅速获得提高.我还鼓励学生多问问题，有不懂的，都可以提出来与同学交流，也可问老师.我经常跟学生说：问了你才会懂，只有会问的人才真正有思考.这样，不仅培养了学生的思维能力，还营造了良好的学习氛围，有效提高了课堂教学效率.

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