例谈求动点的轨迹方程

施敏仪

求动点的轨迹方程问题在高中人教A版教科书中必修2第四章第一节及选修2-1第二章第一节中出现，其中选修2-1第二章第一节还给出了求动点的轨迹方程的一般步骤.

求动点的轨迹方程是高考解析几何题目中常常出现的问题之一，而它是高中数学教学中的一个难点，学生对动点的轨迹方程的理解及动点的轨迹方程的求法都存在困难.本文将列举近三年高考中常出现的题型及解题方法，供读者参考.

一、代入法

代入法分为直接代入法和间接代入法两种.在解析几何中，代入法就是要求哪个动点的轨迹方程，就设哪个动点的坐标为（x，y），然后根据动点的坐标（x，y）与已知条件的关系列出动点的轨迹方程.

综观近几年的高考题，利用代入法求动点的轨迹方程是高考中常出现的题型，因此让学生理解并学会运用代入法显得尤为重要.

1.一般来说，所研究的动点与题目所给的方程或等量关系有直接的联系，用直接代入法

直接代入法的步骤可简单归结为五个：建系；设点；列等式；代入；化简.

【例1】（2012，四川，理）如图1，动点M到两定点A（-1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C.求轨迹C的方程.

分析：题目要求轨迹C的方程，给出的等量关系是∠MBA=2∠MAB.根据点的坐标及给出角的等量关系，我们可以利用两点斜率公式求出∠MAB和∠MBA的正切值，然后再根据二倍角公式将两角的正切值联系起来，得到所要求的轨迹方程.

解析：设轨迹C上任意一点M的坐标为（x，y），显然有x>0，y≠0.

图1当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）；

当∠MBA≠90°时，x≠2，

由∠MBA=2∠MAB，

有tan∠MBA=2tan∠MAB11-tan2∠MAB，

即-|y|1x-2=2y1x+111-（|y|1x+1）2，

化简得3x2-y2-3=0，方程经过点（2，±3）.

综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x>1）.

评析：（1）根据M、A、B三点构成三角形可得y≠0，由∠MBA=2∠MAB可得x>0；

（2）当∠MBA=90°时，正切值不存在，而题中∠MBA有可能为90°，因此要分情况讨论；

（3）由于最后得到轨迹C的方程是双曲线方程，又因为由题设知x>0，所以可以进一步得到x的范围为x>1.

2.若所研究的动点与所给的方程或等量关系没有直接联系，可以通过找出既与所给方程或等量关系有直接联系，又与所研究的动点有关系的辅助动点.

如辅助动点Q的坐标可用所研究的动点P的坐标表示，而又找到辅助动点Q的坐标与所给方程或等量关系的联系，那我们只要将点Q的坐标用点P的坐标表示，再将其代入等式即可.这种方法就是间接代入法.

【例2】（2012，湖北，理）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|（m>0，m≠1）.当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.

分析：题中所求为动点M的轨迹方程，选取的辅助动点应为点A，它是所给单位圆x2+y2=1上任意一点M，与所求动点存在着这样的关系：|DM|=m|DA|（m>0，m≠1）.

解析：如图2-1，设M（x，y），A（x0，y0），则D（x0，0），由|DM|=m|DA|（m>0，m≠1），可得x=x0，|y|=m|y0|，所以x0=x，|y0|=11m|y|①，

因为点A在单位圆上运动，所以x20+y20=1②，

将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2+y21m2=1（m>0，m≠1），

因为m∈（0，1）∪（1，+∞），所以当0

两焦点坐标分别为（-1-m2，0），（1-m2，0）.

当m>1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（0，-m2-1），（0，m2-1）.

图2-1图2-2（01）

评析：根据题目所给的m的范围，对曲线C为何种曲线进行分类讨论.

【例3】（2013，辽宁，理）如图3，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p>0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C0的切线，切点为A、B（M为原点O时，A、B重合于O）.当x0=1-2时，切线MA的斜率为-112.

图3（1）求p的值；

（2）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A、B重合于O时，中点为O）.

分析：（1）利用已知条件“当x0=1-2时，切线MA的斜率为-112”及导数的几何意义，求出当x0=1-2时，A点坐标及切线MA的方程，从而求得y0的取值及p的值.

（2）分别设N（x，y），A（x1，x2114），B（x2，x2214），利用点M是切线MA、MB的交点，得出x0、y0与x1、x2的关系，从而再得到x、y与x0、y0的关系，最后通过代入方程x20=-4y0得出关于x，y的方程，即点N的轨迹方程.

解析：（1）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=x12，且切线MA的斜率为-112，所以A点坐标为（-1，114），

故切线MA的方程为y=-112（x+1）+114.

因为点M（1-2，y0）在切线MA及抛物线C2上，

于是y0=-112（2-2）+114=-3-2214，①

y0=-（1-2）212p=-3-2212p.②

由①②得p=2.

（2）设N（x，y），A（x1，x2114），B（x2，x2214），x1≠x2，

由N为线段AB中点知x=x1+x212，③

y=x21+x2218.④

又因为kmA=x112，kMB=x212，所以切线MA、MB的方程分别为

y=x112（x-x1）+x2114，⑤

y=x212（x-x2）+x2214.⑥

由⑤⑥得MA、MB的交点M（x0，y0）的坐标为x0=x1+x212，y0=x1x214.

因为点M（x0，y0）在C2上，

因此x20=-4y0，即（x1+x212）2=-4×x1x214，

所以x1x2=-x21+x2216，即y0=-x21+x22124.⑦

由③④⑦得x0=x，y0=-y13.⑧

将⑧代入方程x20=-4y0，得x2=413y，x≠0.

当x1=x2时，A、B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2=413y，

因此AB中点N的轨迹方程为x2=413y.

评析：根据题设，通过将⑧代入方程x20=-4y0得到的方程x2=413y是要求x1≠x2，即x≠0，注意讨论x1=x2的情况是否也满足方程x2=413y.

二、定义法

当题目给出的等量关系与圆、椭圆、双曲线或抛物线定义相一致，我们可以根据题目的已知条件和这几种圆锥曲线的标准方程直接得出所需要的轨迹方程.

【例4】（2012，湖南，理）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.求曲线C1的方程.

分析：动点M的轨迹与抛物线的定义相似，因此利用抛物线的方程求出曲线C1的方程.

解析：由题设知，点M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，

而点M到圆C2上点的距离的最小值为点M到圆心C2（5，0）的距离减去半径长3，

所以，曲线C1上任意一点M到圆心C2（5，0）的距离等于它到直线x=-5的距离，

因此，曲线C1是以（5，0）为焦点，直线x=-5为准线的抛物线，

故其方程为y2=20x.

【例5】（2011，广东，理）设圆C与两圆（x+5）2+y2=4、（x-5）2+y2=4中的一个内切，另一个外切，求圆C的圆心轨迹L的方程.

分析：设圆C的半径为r，由题可知，圆C的圆心到点（-5，0）的距离为r-2，圆C的圆心到点（5，0）的距离为r+2，因此圆C的圆心到点（-5，0）和点（5，0）的距离之和为4，与椭圆的定义一致.

解析：设圆C的圆心坐标为（x，y），由题设条件知：圆C的圆心到点（-5，0）和点（5，0）的距离之和为4，∴圆C的圆心轨迹L为以（-5，0）和点（5，0）为焦点，2a=4的椭圆.∴圆C的圆心轨迹L的方程为x214-y=1.1endprint

y0=-（1-2）212p=-3-2212p.②

由①②得p=2.

（2）设N（x，y），A（x1，x2114），B（x2，x2214），x1≠x2，

由N为线段AB中点知x=x1+x212，③

y=x21+x2218.④

又因为kmA=x112，kMB=x212，所以切线MA、MB的方程分别为

y=x112（x-x1）+x2114，⑤

y=x212（x-x2）+x2214.⑥

由⑤⑥得MA、MB的交点M（x0，y0）的坐标为x0=x1+x212，y0=x1x214.

因为点M（x0，y0）在C2上，

因此x20=-4y0，即（x1+x212）2=-4×x1x214，

所以x1x2=-x21+x2216，即y0=-x21+x22124.⑦

由③④⑦得x0=x，y0=-y13.⑧

将⑧代入方程x20=-4y0，得x2=413y，x≠0.

当x1=x2时，A、B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2=413y，

因此AB中点N的轨迹方程为x2=413y.

评析：根据题设，通过将⑧代入方程x20=-4y0得到的方程x2=413y是要求x1≠x2，即x≠0，注意讨论x1=x2的情况是否也满足方程x2=413y.

二、定义法

当题目给出的等量关系与圆、椭圆、双曲线或抛物线定义相一致，我们可以根据题目的已知条件和这几种圆锥曲线的标准方程直接得出所需要的轨迹方程.

【例4】（2012，湖南，理）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.求曲线C1的方程.

分析：动点M的轨迹与抛物线的定义相似，因此利用抛物线的方程求出曲线C1的方程.

解析：由题设知，点M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，

而点M到圆C2上点的距离的最小值为点M到圆心C2（5，0）的距离减去半径长3，

所以，曲线C1上任意一点M到圆心C2（5，0）的距离等于它到直线x=-5的距离，

因此，曲线C1是以（5，0）为焦点，直线x=-5为准线的抛物线，

故其方程为y2=20x.

【例5】（2011，广东，理）设圆C与两圆（x+5）2+y2=4、（x-5）2+y2=4中的一个内切，另一个外切，求圆C的圆心轨迹L的方程.

分析：设圆C的半径为r，由题可知，圆C的圆心到点（-5，0）的距离为r-2，圆C的圆心到点（5，0）的距离为r+2，因此圆C的圆心到点（-5，0）和点（5，0）的距离之和为4，与椭圆的定义一致.

解析：设圆C的圆心坐标为（x，y），由题设条件知：圆C的圆心到点（-5，0）和点（5，0）的距离之和为4，∴圆C的圆心轨迹L为以（-5，0）和点（5，0）为焦点，2a=4的椭圆.∴圆C的圆心轨迹L的方程为x214-y=1.1endprint

y0=-（1-2）212p=-3-2212p.②

由①②得p=2.

（2）设N（x，y），A（x1，x2114），B（x2，x2214），x1≠x2，

由N为线段AB中点知x=x1+x212，③

y=x21+x2218.④

又因为kmA=x112，kMB=x212，所以切线MA、MB的方程分别为

y=x112（x-x1）+x2114，⑤

y=x212（x-x2）+x2214.⑥

由⑤⑥得MA、MB的交点M（x0，y0）的坐标为x0=x1+x212，y0=x1x214.

因为点M（x0，y0）在C2上，

因此x20=-4y0，即（x1+x212）2=-4×x1x214，

所以x1x2=-x21+x2216，即y0=-x21+x22124.⑦

由③④⑦得x0=x，y0=-y13.⑧

将⑧代入方程x20=-4y0，得x2=413y，x≠0.

当x1=x2时，A、B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2=413y，

因此AB中点N的轨迹方程为x2=413y.

评析：根据题设，通过将⑧代入方程x20=-4y0得到的方程x2=413y是要求x1≠x2，即x≠0，注意讨论x1=x2的情况是否也满足方程x2=413y.

二、定义法

当题目给出的等量关系与圆、椭圆、双曲线或抛物线定义相一致，我们可以根据题目的已知条件和这几种圆锥曲线的标准方程直接得出所需要的轨迹方程.

【例4】（2012，湖南，理）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.求曲线C1的方程.

分析：动点M的轨迹与抛物线的定义相似，因此利用抛物线的方程求出曲线C1的方程.

解析：由题设知，点M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，

而点M到圆C2上点的距离的最小值为点M到圆心C2（5，0）的距离减去半径长3，

所以，曲线C1上任意一点M到圆心C2（5，0）的距离等于它到直线x=-5的距离，

因此，曲线C1是以（5，0）为焦点，直线x=-5为准线的抛物线，

故其方程为y2=20x.

【例5】（2011，广东，理）设圆C与两圆（x+5）2+y2=4、（x-5）2+y2=4中的一个内切，另一个外切，求圆C的圆心轨迹L的方程.

分析：设圆C的半径为r，由题可知，圆C的圆心到点（-5，0）的距离为r-2，圆C的圆心到点（5，0）的距离为r+2，因此圆C的圆心到点（-5，0）和点（5，0）的距离之和为4，与椭圆的定义一致.

解析：设圆C的圆心坐标为（x，y），由题设条件知：圆C的圆心到点（-5，0）和点（5，0）的距离之和为4，∴圆C的圆心轨迹L为以（-5，0）和点（5，0）为焦点，2a=4的椭圆.∴圆C的圆心轨迹L的方程为x214-y=1.1endprint