载荷强度相关的机械零件动态可靠性分析

杨 智， 王术新， 董华玉， 田纪云

(镇江船艇学院船艇装备保障系，江苏 镇江212003)

载荷-强度干涉模型是机械可靠性分析的基础，国内外基于该模型对机械零件的可靠性分析做了大量的研究。这里载荷和强度是广义的：载荷可以是温度、磨损、腐蚀和载荷的作用次数等；相应的，强度可以是抗热性、耐磨性、抗腐蚀性和零件的失效次数等[1-2]。但该模型存在2个问题：1)它是一个“静态”的可靠度计算模型，通常假设载荷和强度均为随机变量，而实际上，载荷和强度均应为随机过程，从“动态”角度对可靠度进行计算更加具有现实意义；2)该模型通常的思路是将载荷和强度看作2个相互独立的随机变量，而实际上，载荷与强度是相关的，随着加载次数的增加，强度通常会降低，这一点符合预期，也早已得到相关实验的验证[3-4]。

对于第1个问题，研究者已对此进行诸多的研究。如国外J.M.Noortwijk等[5]将强度的退化、载荷分别用Gamma过程和广义的Pareto分布描述，得到了堤防的动态可靠性；E.E.Charles[6]分多种情况建立了动态可靠性模型。国内左勇志等[7]提出了考虑结构动态可靠性的“全随机过程模型”方法；王正等[8]运用泊松随机过程描述载荷的作用过程，研究了强度在不同的退化形式下零件可靠度和失效率随时间的变化规律。

对于第2个问题，关于强度退化的理论与实验研究虽然较多，但这些研究一般基于强度与载荷相互独立的基本假设[6,9-10]；考虑了强度与载荷相关性的研究较少，其中，高鹏等在文献[1]中，通过定义载荷作用次数等效系数和参考载荷，分析了随机载荷作用下强度退化时零件的可靠性，又在文献[2]中进行引申，提出了机械系统可靠度的计算方法。但上述研究存在一定的不足：1)文中关于强度的退化公式引自文献[9-10]，此公式的理论依据是连续介质损伤力学理论，是非线性的，能否如文中所述，以传统的线性Miner累积损伤公式进行代替是值得商榷的；2)文中假设零件所承受的载荷为各态历经载荷，每次载荷作用时的概率密度函数均相同，这一假设没有考虑时间的影响，载荷的随机过程特征被随机变量特征所代替。

本文基于Miner累积损伤理论，建立了随机过程载荷下随载荷加载而退化的强度模型，进而对零件的动态可靠性进行了分析。

1 动态可靠性分析

1.1 强度退化模型

假设零件承受的载荷幅度服从某随机过程，已作用n次(n≥1)，设为s1，s2，…，sn。设载荷作用时刻非随机，为已知量，作用时刻为t1，t2，…，tn，在tn+1时刻，将有第n+1次载荷sn+1作用于零件上。

经疲劳试验，设该零件疲劳性能曲线满足

smN=C，

(1)

式中：N为载荷幅度s作用下的零件使用寿命；m、C为2个常数，与材料性质等有关。

所以，载荷作用n次后，零件的累积损伤D(n)为

(2)

零件在第n+1次载荷sn+1作用时不失效，即要求

(3)

为安全起见，式(3)右端也可设为一个小于1的数(受多种因素影响，该值实际上应为分布在1附近的随机变量，为简单起见，这里取为确定值1)。将式(2)代入式(3)得

(4)

所以，作用n次后，临界载荷S(n)为

(5)

注意，对于第1次加载，由式(1)可知S(0)=C1/m。从广义上，将临界载荷称为强度。可见，零件强度随着已施加载荷作用次数的增加而退化。

1.2 动态可靠性分析

从可靠性的角度，零件在tn+1时刻不失效的可靠度为

Rn=P(s1

(6)

式中：f(s1,…,sn+1)为该随机过程有限维概率分布密度函数。

由于涉及多维概率分布密度函数的积分，因此要从式(6)得到理论值是比较困难的。为此，笔者基于蒙特卡罗仿真方法对此进行了分析。

2 基于蒙特卡罗的仿真分析

2.1 算法设计

笔者基于蒙特卡罗理论进行了如下设计。

1) 由专家经验给定或由已有载荷数据拟合获得载荷服从的随机过程模型。

2) 按规定的载荷加载时刻和零件使用期限T(T>tn+1)，产生M个载荷加载历程序列(M值应足够大，应使最终获得的R(t)-t图形不至于因M的增加而发生较大变化)，Tn为零件使用期限T内载荷的加载数。针对不同的随机过程模型，随机载荷历程产生方法会有不同，2.2节将针对本文用到的Gamma过程阐述具体步骤。

4) 对其他载荷加载历程序列按上述步骤同样进行，找到零件的多个失效时刻。

5) 绘制R(t)-t图形，得到零件在tn+1时刻的可靠度。

2.2 Gamma过程随机载荷历程的产生

在应用实例中，笔者以Gamma随机过程作为示例进行了阐述。Gamma过程增量单调非负，适合描述不可逆转单调变化的随机过程，近年来得到很多应用[11-12]，如上文所列载荷,温度、磨损、腐蚀和载荷的作用次数等均是单调变化的。在可靠性试验中，为减少时间，也有逐渐增加载荷的方法，称之为逐级加压加速寿命试验[13-14]。

Gamma过程{X(t)，t≥0}满足[11-12]：

1) 具有独立增量；

2) 对任意t>s≥0，增量X(t)-X(s)～Ga(a(t)-a(s),b)；

3)X(0)=0。

其中：Ga(·)表示Gamma分布；a(t)和b分别为形状参数和尺度参数，且a(t)(t≥0)为递增连续函数，a(0)=0，b>0。当a(t)为线性函数时，Gamma过程为平稳过程，当a(t)为非线性函数时，其为非平稳过程。本文采用平稳的Gamma过程，有a(t)=at，其中a为常数。设X(t)为零件t时刻承受的载荷，其概率密度函数为

(7)

产生随机数的过程主要利用上述的独立增量特性。首先,利用逆变换法，按Ga(at1,b)分布产生t1时刻的M个随机载荷(很多数值计算软件如Matlab、Maple等均有现成函数可调用);其次,按Ga(a(t2-t1),b)分布产生t2时刻相比t1时刻的M个随机载荷增量，再将其与t1时刻的M个随机载荷对应叠加，可得t2时刻的M个随机载荷。同理依次进行，最终产生M个零件使用期限T内的随机载荷历程。

3 应用实例

某装备关键零件疲劳性能曲线满足smN=C，其中m=2，C=109。工作0.5 h后第1次加载，然后每隔0.5 h加载1次。载荷加载历程服从平稳Gamma过程，a=10，b=10。求该零件工作1 000 h时的可靠度，并判断能否完成预期的1 500 h工作。

首先产生随机数。设X(t)为零件t时刻承受的载荷，其概率密度函数为

fX(t)(x)= Ga(x|10t,10)=

(8)

利用逆变换法，按Ga(10×0.5,10)分布产生0.5 h时的1 500个随机载荷(注：这里提 1 500个随机载荷，主要原因是通过仿真比较，即使增加此值，最终获得的R(t)-t曲线也基本无变化)，按Ga(10×0.5,10)分布产生1 h时相比0.5 h时的1 500个随机载荷增量，再将其与0.5 h时的1 500个随机载荷对应叠加，可得1 h时的1 500个随机载荷。同理依次进行，最终产生1 500个零件预期使用期限1 500 h的随机载荷历程。

其次按照前述动态可靠度仿真分析模型，可得可靠度R(t)-t曲线，如图1所示。

图1 可靠度曲线

由图1可见：随着使用时间的延长，该零件可靠度单调递减，符合预期；从细节上看，该零件工作1 000 h时的可靠度为1，是可靠的。但当达到1 120 h后，在50 h内可靠度降到0，所以，其不能完成预期的1 500 h工作，从安全性角度来看，该装备最好在1 120 h内工作。

4 结论

本文提出了一种随机过程载荷下载荷-强度相关的零件动态可靠度分析方法，建立了相应的仿真分析模型。实例结果表明: 该方法有效且简单易行，具有一定的工程指导意义。进一步的研究可从以下2方面进行。1) 本文提到的强度只是广义上的强度，其实际意义是“临界载荷”。当疲劳性能曲线给定时，其实已假定零件的疲劳强度不变。下一步,可从疲劳强度下降的角度以及从疲劳性能曲线变化的角度进行分析。2) 本文提到的载荷实际上

是一种静态的载荷，所以涉及的疲劳也是一种静态的疲劳，下一步可从动态疲劳角度，对振动零部件的可靠性进行分析。

参考文献：

[1] 高鹏，谢里阳. 基于相关性分析的载荷-强度干涉模型[J]. 东北大学学报: 自然科学版，2010, 31(12): 1753-1756.

[2] 高鹏，谢里阳. 考虑强度退化的零件及系统可靠性分析[J]. 机械工程学报，2010, 46(24): 162-167.

[3] Talreja R. On Fatigue Reliability under Random Loads[J]. Engineering Fracture Mechanics, 1979, 11: 712-732.

[4] Talreja R. Fatigue Reliability under Multiple Amplitude Loads[J]. Engineering Fracture Mechanics, 1979, 11: 839-849

[5] Van Noortwijk J M, Van Der Weide J A M, Kallen M J, et al. Gamma Processes and Peaks-over-threshold Distributions for Time-dependent Reliability[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2007, 92: 1651-1658.

[6] Charles E E. 可靠性与维修性工程概论[M]. 康锐，李瑞莹，王乃超，等译. 北京：清华大学出版社，2010: 99-112.

[7] 左勇志，刘西拉. 结构动态可靠性的全随机过程模型[J]. 清华大学学报：自然科学版，2004, 44(3): 395-397，405.

[8] 王正，康锐，谢里阳. 以载荷作用次数为寿命指标的失效相关系统可靠性建模[J]. 机械工程学报，2010，46(6)：188-194.

[9] 顾永维，安伟光，安海. 静载和疲劳载荷共同作用下的结构可靠性分析[J]. 兵工学报，2007，28(12)：1473-1477.

[10] 欧进萍，段忠东，肖议清. 海洋平台结构安全评定：理论、方法与应用[M]. 北京：科学出版社，2003：89-91.

[11] Van Noortwijk J M. A Survey of the Application of Gamma Processes in Maintenance[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2009, 94: 2-21.

[12] 李常有，徐敏强，郭耸，等. 基于Gamma过程及贝叶斯估计的实时可靠性评估[J]. 宇航学报，2009，30(4)：1722-1726.

[13] Tseng S T, Wen Z C. Step-stress Accelerated Degradation Analysis of Highly-reliable Products[J]. Journal of Quality Technology, 2000, 32: 209-216.

[14] Tseng S T, Balakrishnan N, Tsai C C. Optimal Step-stress Accelerated Degradation Test Plan for Gamma Degradation Processes[J]. IEEE Transactions on Reliability, 2009, 58(4): 611-618.