问学施教 简中求道

朱占奎

当今社会，繁荣的背后充斥着迷茫与喧嚣，本应宁静的教育也有些飘然。高中校园里，教师快节奏地工作着，不停地备课、上课、批改作业，不停地开展常规教育、找学生交流、处理突发事件……周而复始，整天忙忙碌碌。我们是否好好想过：“我们为什么教？教育的本质是什么？社会需要的是什么样的教育？”我们是否好好思考过：“我们该教什么？教教材、教教辅、教学生考试、教学生经验，还是基于课程标准来教学？”所以，我们忙碌着，有时却无所适从。

事实上，思想决定行为，教师的教学行为常常受制于自己的教学主张。教学是我们每一个教师的生活，生活的体验不断累积，逐渐有了自己对教学的见解；教学的见解不断丰富，逐渐形成体系，于是就有了自己的教学主张。本文尝试浓缩我三十年的教学生活，提炼自己对数学学科、数学教学的理解，初步阐释自己的教学主张——简中求道。

一、“简”中求“数学”之道

数学原本是“善意”的，它源于生活，以“简”的形态高于生活、方便于生活、运用于生活。但是，高中学生中鲜有喜爱数学的，这是什么原因呢？我以为，他们厌恶的“数学”不是真正的“数学”，而是“应试”用的“数学”，他们从数学课堂上感受不到数学的“善意”，真实的体悟往往是负面的：数学太抽象，常常会有“云里雾里”的感觉；数学太繁杂，常常有“又出错，不再做下去了”的念头；数学的技巧太高，常常产生“不是我等可以做的”的无奈。

1.经历数学的抽象过程，让数学具体些。

正是数学的这一“抽象”特征，使得数学不但在自然、社会等方面应用广泛，而且在理性、思维、培养等方面无可替代。学习数学，必须经历数学的“抽象”过程，理解“抽象”的本质，同时会用“已抽象的对象”理解相关问题，否则，学到的不是真正的数学，也就是说，在探索“这看起来比较复杂，抽象后又很简单的问题”中才会学到真正的数学。实际上，数学中有很多破解“抽象”的方法，例如“从特殊到一般”的认识方法，“数形结合”的数学思想等等。下文就通过对“函数概念”抽象过程的分析，从“由特殊到一般”和“数形结合”两个角度入手，试着寻找“数学”的“简”之道。

从特殊到一般，是认识事物的最基本的方法。从大量的特殊问题中，梳理、归纳和提炼出规律性的属性，进一步得到本质属性，这一过程就是抽象，它是数学化的重要过程。函数是高中数学最重要的概念，基于学生认知能力的渐进发展，义务教育阶段和高中基础教育阶段课标中采用螺旋上升的思路进行了整体架构。以苏教版为例，初中教材中，重点以具体的正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数为载体，将函数的概念在学生可以理解的范围内逐步加深。高中教材中，考虑到学生的认知能力的提高，具体的实例中增加了分段函数，进一步又研究了幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等等，并从函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性等角度逐步深入。

“数形结合”是基本的数学思想之一。华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”数学中，“数”和“形”是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，“数”和“形”之间可以相互转化，相互渗透。初中教材中，为了直观，引入直观示意图，如加倍：1→2，2→4，3→6，可以直观地看出函数概念的整体框架；用坐标系下的图象，如气温随时间的变化图，可以直观地显示气温的整体走向。在高中教材中可以进一步突出图形，并研究它们之间的关系。

从以上两方面可以看出：教材为了突破“抽象”，尽可能呈现“不抽象”，通过相关的“特殊”和“直观”，逐步实现“有限度的一般”和“有限度的抽象”，让抽象的数学知识可以感知与体验，从而让认知变得简单。

2.适量删除繁难的数学计算，让数学本质些。

数学计算的繁杂，常常让不少学生厌烦。提到“繁杂”，大家会不约而同地想到平面解析几何中的计算，其实任何一个内容，都可以很繁杂的。下面就有关函数中的字母来试着说明：对于繁杂的数学，其实可以不复杂，总能找到一些“简”的路径。

解决函数问题时，讨论起来有些复杂。函数解析式中有常数，有变量，复杂的式子甚至有多个常数、多个变量。其实，数学试题的编制是有一定目的的，字母多些，是让学生认真分析问题，通过探索理解字母的地位，分清其主次，进而找到解决方法。因此，对于复杂的数学问题，有些我们应该回避，有些应该改编，使数学问题的着力点有利于学生理解。例如字母的含义（是常数还是变量？）；变量的主次（以便抓住主要矛盾，各个击破），即数学题应该是“数学味”浓一点；等等。要对提高学生数学思维能力有帮助，不应该纠缠于复杂的运算和非数学本质上。

3.创设合适的台阶，让数学容易些。

数学技巧的高难，也让大部分学生有“高不可攀”之感。细细剖析，那些高难之处无外乎两个方面：一是难在某一个节点上，如果突破这一点，问题就不难了；二是难在几个小问题的组合上，如果多花一点时间仔细分析，问题就可以解决了。

例如，构造函数问题，先要构造一个定义在实数集上的函数，使其是奇函数，但不是实数集上的单调函数。对于这一问题，如果学生学习了三角函数，直接就可以构造正弦函数，但是在刚刚学习函数时，学生还没有“三角函数”这一概念，从自己熟悉的基本函数中难以解决。其实本题是想让学生构造一个“分段函数”，学生如果有了这一意识，就能突破“难点”，很容易地进行构造：将实数集分成三个区间，中间的区间关于原点对称，在此区间上构成一个奇函数且是增函数，在其余两个带有无穷大端点的区间上构造一个奇函数，且此函数在两个区间上都是减函数。面对这一问题，有的学生可能没有想到分段函数，有的学生想到了，但是对同时满足两个条件的综合，又难以突破。因此教师提出问题时，要注意问题提出的火候，可适当降低难度。例如，增加带有提示性质的信息，添加条件“构造一个分段函数”；或者将原问题设置台阶，先给出上面文中三个区间上的两个函数，再提出这一问题。

二、“简”中求“教学”之道

相比义务教育阶段，由于部分学生分流，普通高中教学的要求要高一些，但仍然属于基础教育阶段，据此，教学的主要任务仍然是“打基础”。有人问：什么是数学教学的基础？数学教学基础从哪里来？我们还得回到《普通高中数学课程标准》上来。应该说，虽然有很多不同的声音，但随着争论的深入，大家认识的交集也在扩大，《普通高中数学课程标准》越来越多地得到大家的理解与认同。

上世纪80年代以来，西方一些国家以“教育质量监控”的名义，将《课程标准》的编制作为基础，并通过落实课程标准，在整个基础教育领域引发了一场“基于课程标准的改革”。我国第八次基础教育改革从本世纪初开始，也同样以《课程标准》的出台为标志，相继加入到这场教育的系统变革之中。可见“基础”来自《课程标准》。有了这一认识，相对于现在的“盲从”，教学便可以简单些了。按照《普通高中数学课程标准》实施教学，必须做到如下三点：教学的出发点应建立在“学生的认知基础”上，教学过程应突出“数学思维能力”的培养，教学的落脚点应关注“数学素养”的提高。

1.找准教学出发点，让学生自主地发展。

教学的出发点应建立在学生的认知基础上。著名美国认知心理学家奥斯贝尔说过：“如果我不得不将教育心理还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要的原因是学生已经知道了什么，也就是说，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学。”《普通高中数学课程标准》中的基本理念的第一条就是：“构建共同基础，提供发展平台。”因此将普通高中数学分“必修”和“选修”两部分，“必修”是共同基础，“选修”是为不同学生提供不同的发展平台。教学中，我们尽量突出课标中的核心部分，以此作为共同基础，否则，由于现在我国仍然是大班教学，虽然可以采用自主学习，但整班推进仍是教学的主流，只有将核心问题作为教学共同基础，教学才能让大部分学生积极参与，形成新的共同基础，教学才能更具针对性，教学才会简单易行，才会良性发展。

2.注重教学过程，让思维自然地生成。

教学过程应突出“数学思维能力”的培养。虽然教学有一个共同指向——让学生学会学习，为学生的终身发展奠基，但作为数学学科的教学，首先是做好分内事，现在数学已不仅仅是工具，而且是培养“理性思维”能力的重要学科，这已成为越来越多普通人的认识。《普通高中数学课程标准》中的基本理念的第四条是：“注重提高学生的数学思维能力。”根据这一理念，教学中，注重基础的同时，必须关注数学思维能力。实际教学中，这一理念没有得到很好的落实，究其原因，还是“应试教育”太强势，教师过分关注考试，往往注重具体试题的解答，学生整天在做题、纠错中循环。由于思维能力的培养需要长期的积累，而实际的课堂教学中被注重不够。

实际上，如果正确协调好两者之间的关系，也能做到两者同步发展。现在的高中数学教学一切以考试成绩为中心，时间安排并不合理，文科学生一年半结束新课，另外一年半就反复机械训练，理科也有一年时间复习。数学的理性思维的培养，学生必须有“悟”的过程，教学必须“慢下来”，只有经历数学的发生和发展过程，学生在“慢节奏”的“火热的思考”中，理解问题的来龙去脉，形成理性的认知结构，才能感受数学“冰冷的美丽”。在这一过程中，不但需要演绎推理，而且需要合情推理，学生在推理中，数学思维能力也就强了。因此，教学不应该功利性太强，不要行走得太匆忙，应该“慢”下来，要让学生有思考的时空，思维才能“活”起来。

3.关注教学的落脚点，逐步地提升数学素养。

教学的落脚点应关注“数学素养”的提高，但这是很多教师都认同的“空话”。“数学素养的提升”如何度量与评价，这是当今的数学课堂难以把控的。然而“提高学生的数学素养”，逐渐为大家所关注，《普通高中数学课程标准》也特别将其作为重中之重，在总目标中明确要求：在学生接受九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展和社会进步需要。那么数学素养如何提高呢？

我认为，首先应该鼓励学生自主学习。学生通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程，数学素养就能得到发展与提升。对于一般学生能够理解的教学内容，教师不包办，由学生自己学习；对于学生不能理解的教学内容，教师提供条件，由学生通过探究，去了解、理解和掌握；对于学生探究过程中出现的难点，必要时教师适当导引，让学生“跳一跳”去解决问题，重要的是让学生经历“体验数学发现和创造”的过程，迸发出数学的火花，数学素养在不知不觉中就得到提高，这其中的关键是舍得腾出时空，尊重学生，相信学生，学生在相对轻松的环境中，各方面的潜能得到充分的开发，数学素养的提高就顺理成章了。

（作者单位：江苏省靖江高级中学）