浅谈类比法在数学教学中的作用

陈仁钟

随着教育教学研究的进一步深入，传统的教学法已不能适应现在教学的要求.如何提高课堂教学效率成为我们教育工作者面临的主要研究课题.我们教师特别是高中数学教师应绞尽脑汁去研究如何提高课堂教学质量，向45分钟的教学要效益，使学生在有限时间内，掌握更多的知识和技能，充分体现教与学的高度统一.数学教学方法很多，关键在于能不能适应学生.比如，在理科和文科的教学中方法不一定相同，特别在理科的教学中，教学生一种学习方法比教会学生解一百道题目效果更好.因为学生要学的科目多，时间非常有限，因此选择恰当的教学方法至关重要.本人经过高中多年的教学，发现现在高中学生，各方面素质虽然提高了，但对于高考的学科来说，学生还是不那么得心应手.怎么解决这些问题？只有在课堂上下工夫.本人从教学中慢慢领悟到，有一些方法较为适应现在的教学，比如类比法.因为数学科是应用学科，数学知识本身不仅存在着前后联系，相互渗透的关系，与其他学科也存在千丝万缕的联系.因此，运用类比法，把知识进行类比，引进新概念、新定理、新的解题方法，不仅会使学生更易掌握新知识，还可以培养学生运算能力、逻辑思维能力和空间想象力.以下谈谈类比法在教学中的作用.

一、运用类比法可以自然引入新概念

对数学概念的理解是学好数学的基础，是培养学生能力的先决条件.课本中的概念有的非常简单，也很抽象，这给课堂教学、学生的理解带来诸多困难.用类比法引入概念，可使学生更容易理解新概念的内涵与外延.数学中许多概念有类似的地方，在新概念提出的过程中，运用类比法教学能使学生更易理解和掌握.比如讲解“概率的基本性质”时，说到事件的关系与运算，就可以类比集合的关系和运算，恰当引入“交事件”“并事件”等有关概念.这样，学生对知识理解就不会感那么困难了.再如，对球的概念的教学可与圆的概念进行比较.“在平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆，定点是圆心，定长是半径”；“在空间中与定点的距离等于定长的集合叫球，定点是球心，定长是半径”.这样我们在讲授“球”这一概念时，可让学生复习“圆”的概念，然后设问：如果我们把概念中的“平面”换成“空间”，会得到什么结果？让学生进行想象、讨论，这样既能充分调动学生的积极性，也能使学生更好地理解与记忆，达到事半功倍的效果.

二、运用类比法有利于例题教学的讲解

数学课范例的讲解是不可缺少的，科学地进行解题教学，可以为学生提供发现创新的机会.类比不仅是一种从特殊到特殊的对比，也是一种解题的有效方法.选择一个类似的、较易的问题去解决它，这对数学教学中培养学生的能力有着极其重要的作用.比如，在讲解“一元二次不等式”时，由于学生刚刚接触不等式，对不等式本来就不是很熟悉，对不等式的解法也感到陌生.如果照本宣科，学生可能会感到有些模糊，甚至无法弄清到底怎样着手.为了让学生从根本上弄清一元二次不等式的解法，能明白其中的算理，真正掌握学习的方法，讲授内容时，我们可以先让学生熟悉一元二次方程的解法和一元二次函数图像，具体如下.例：解不等式x2-2x-3<0，可先让学生解方程x2-2x-3=0，得x1=3，x2=-1，再结合y=x2-2x-3图像，可知y=x2-2x-3在坐标系中与x轴有两个交点，即（-1，0）（3，0），结合图像易得图像下方，即x2-2x-3<0，x的范围是：-1

三、运用类比法有利于提高学生的思维能力

学生要想提高思维能力，一定要有相当的基础知识作为保证，因为知识量越大，则联系、类比、想象的领域也就越宽广，从而产生新思想、新方法的机会也就越多.很难想象，知识狭窄的人能有多大的思维能力.学数学，解数学题目也是如此.因为数学题目之间有些结构极其相似，而将待证的条件和结论类比已知学过的公式，进行适当的代换，从而使问题迎刃而解.比如：已知a2+b2=1，c2+d2=1，求证|c+bd|≤1.解这道题目时，如果我们知道同角三角基本公式中的平方关系式“sin2α+cos2α=1”与其相似，那么很快就会联想，若令a=sinα，b=cosα，c=cosβ，然后进行代换，很快就会证出.数学思维能力的培养与学习其他科学知识一样，首先需要熟练地掌握一些基本知识、基本技能，这样知识与知识之间才能相互联系，形成脉络，把新知识纳入原有知识的结构中，加强了知识间的纵向沟通.而类比法则成为联系新旧知识的纽带.

四、类比法可以有效培养学生的创造能力

一个人要想有所发明、创造，就离不开知识的提升.许多中学生，对教师的依赖性很强，教师教什么，他就学什么，缺乏自己独到的见解。原本的问题稍为改变一些或条件换了一下，学生就感到束手无策，更谈不上发明创造了.教学中，如果能恰当地使用类比法，不仅能突出问题的本质，提高教学质量，而且能培养学生的创造能力.

1.新旧知识可以类比

这种类比，教材中出现比较多，在讲授知识的同时，经常联系旧知识，创造条件进行类比，拓展学生思路，培养学生进行类比推理的习惯.比如，在数列这一章节中，等差数列与等比数列是两个重要的概型.它们的定义、通项公式、前n项和公式的性质都是平行的，等比数列又安排在等差数列之后，为了既能弄清两种数列模型之间的区别与联系，又能准确、灵活地运用数学知识解决问题，在教学中可以类比等差数列的相关知识，创造条件引导学生提出研究等比数列的相关问题.又如，指数函数与对数函数，这两种函数在概念、性质方面也是平行的，也可以进行类比教学，这样有利于弄清它们之间的区别与联系.通过知识与知识之间的类比，既有利于学生对知识的理解，又会使知识之间融会贯通，提高学生的思维能力和解决问题的能力，有利于学生创造能力的发展.

2.“同类问题”可以进行类比

所谓“同类问题”指的是有相同条件、相同结论、相同问题形式、相同数学方法的一类问题.同类问题的类比可以使学生从感性认识出发，认清数学问题的本质特征，形成积极探索问题的心理状态，进而去探索一般结论，达到寻根探源的目的.例如，在△ABC中，若AB⊥AC，AB=a，AC=b，则△ABC的外接圆半径r=a2+b212.将此结论类比到空间几何图形，可以得出这样结论：在四面体S—ABC中，若SA、SB、SC两两互相垂直，且SA=a，SB=b，SC=c，则四面体S—ABC的外接球半径R=a2+b2+c212.又如，在高三数学复习中，经常会遇到这样的填充题：“若两个正实数a1、a2满足a21+a22=1，那么a1+a2≤2，证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2=2x2-2（a1+a2）x+1，因为对一切实数x恒有f（x）≥0，所以Δ≤0，从而得4（a1+a2）2-8≤0，所以a1+a2≤2.根据上述证明方法，若有n个正实数a1，a2，…，an满足a21+a22+…+a2n=1，你能得到的结论是.”对于这种问题，我们只要类比它们的证明过程，找出问题的本质，不难得到结论：a1+a2+…+an≤n.诸如此类，可以真正提高学生的思维能力，提高学生解题的创造力.

3.运用类比有利于运用数形结合方法

数学学习没有一定的速度将是无效学习.慢慢腾腾的学习是训练不出思维速度的，特别在考试中，解题速度至关重要.这就要求学生在学习中一定要掌握恰当的解题方法，否则将功亏一篑.比如，求y=sinx-31cosx-2的最值，可以联想在直线方程的教学中有这样的斜率公式k=y2-y11x2-x1，这时就可以把式子y=sinx-31cosx-2看做是动点P（cosx，sinx）与点（2，3）之间的斜率变化范围，即圆x2+y2=1上的点到定点（2，3）的直线斜率变化范围，问题就易得到解决.再如，对任意实数x1，y1，x2，y2，证明x21+y21+x22+y22≥（x1-x2）2-（y1-y2）2.本题纯粹是代数问题，若用代数方法解之相当繁杂，这时联想到平面上两点间的距离公式，把上式中的式子x21+y21，x22+y22看做是点P1（x1，y1），P2（x2，y2）到原点的距离，那么在△P1OP2中，利用“三角形两边之和大于第三边”，问题就轻而易举地解决了.像这样运用数形结合可以有效提高解题速度.数形结合是一种重要的数学思想，通俗地说就是代数与几何相结合的思想，是学习数学、解决数学问题的重要工具，我们在教学中要适时运用，适当渗透.

总之，在我们教学和生活中处处充满着类比，可以说，类比是探索问题、解决问题的一种卓有成效的方法，也是数学教学中不可缺少的一种手段.我们教师在教学过程中应培养学生运用类比思想进行合理的推理、演算、引申，为国家、社会培养出更多合格的、有创造力的人才.

（责任编辑黄桂坚）