关于恒成立问题的求解策略

谢晓强

2013年的高考已然结束，但余热尚存，它留给我们的不仅仅是过去，更是给我们2014年的高考提供了复习的方向和思考的空间.回顾2013年的高考，在众多省市的考卷当中，我们依然可以发现与“f（x）>g（x）”这类题目相关的存在性和恒成立问题，这类题目在考查的知识点上都围绕着函数的单调性、极值和最值问题展开，结合众多数学思想方法，在考查内容方面向纵向深入，而在知识的结构方面向横向扩展，综合考查了学生解决和分析问题的能力.这类题目由于在题面上包含了诸如lnx，sinx，cosx……混合形式以及字母参数，难度陡增，思维量增大.那么如何迅速寻找这类问题的突破口，从而给学生提供行之有效的解决办法是我们复习备考的主要内容之一.

一、掌握通法

所谓通法是指学生容易想到的，使用频率较高的，应用范围较广的一类典型方法.这类方法由于入口容易，过程便于操作而为学生首选.大体上有两种：一种是将f（x）>g（x）转化为h（x）=f（x）-g（x），即求h（x）min>0；而另一种是大家熟悉的“参变量分离”.

【例1】（2013全国新课标卷Ⅱ，理，21）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调区间；

（2）当m≤2时，证明：f（x）>0.

解析：（1）略.

（2）（利用参变量分离）

∵f（x）=ex-ln（x+m）>0，

∴m

令h（x）=eex-x（x>-m），

∵h′（x）=eex·ex-1.

若h′（x）=0，解得ex0=-x0.

如图所示.

①当x0≤-m时，

∴h′（x）≥0，

∴h（x）在（x0，+∞）单调递增，

h（x）>h（-m）=ee-m+m≥eex0+x0=e-x0+ex0≥2（“=”不能同时取到）.

②当x0>-m时，h（x）在（-m，x0）递减，在（x0，+∞）递增，

∴h（x）≥h（x0）=eex0-x0=e-x0+ex0≥2（“=”不能同时取到）.

综上所述，m≤2.

二、熟记结论

在导数学习的这一部分内容当中，有许多被我们熟悉的而且是比较重要的“基本不等式”，这些不等式不仅结构形式简洁，兼有数形结合的特点，而且含有高等数学的知识背景.有些考题正是对这些“高等知识”进行了巧妙地包装和改造，这些含有高等数学知识背景的不等关系，若能对它们进行合理地运用，将会在解题的道路上为我们提供有力的支撑.

【例2】（同例1）

解析：由于ex≥x+1，

且由x-1≥lnx可得x+1≥ln（x+2），

∴ex≥x+1≥ln（x+2）（“=”不能同时取到）.

∴当m≤2时，ln（x+m）≤ln（x+2）

由此可以看出该解题过程的高效和简洁，常见的重要不等式及其转化如下：

在上述关系中，如果对x赋予不同的值或代数式，便会得到其他有用的不等关系：如令x=11n，则会得到ln（1+11n）≤11n及e≥（1+11n）n等.这种代换的技巧在解数列不等式中发挥着重要的作用.

另外，在2013年的辽宁卷压轴题所给出的参考解答中还用到了诸如“1-112x2≤cosx≤1-114x2，x∈（0，1）”这样的不等式.那么我们是否应该在复习的过程中有意识地去归纳和整理这些“基本不等式”呢？

三.合理分拆

整体和局部是同一事物的两个方面.有些数学问题，如果单纯从整体的角度去处理难以解决时，就必须先研究问题的某一部分，对问题进行局部的处理.而局部的调整正是局部处理的一个方面，它能够重新调整原来的题面结构，使得这种结构更加清楚和有序，从而使得解题思路豁然开朗.因此，在上述方法难以奏效的情况下，有必要对原来的式子进行合理分拆和重新组合.

【例3】已知f（x）=1+x1a（1-x）lnx，求证：对x∈（0，1），恒有f（x）<-2.

解析：将f（x）<-2转化为-2a>1+x11-xlnx或11a>2（x-1）1（x+1）lnx，求右侧的最值较难，因此可考虑将原式转化为lnx+2a（1-x）11+x<0.

∵x∈（0，1），

∴当a<0时不合题意，舍去.

当a>0时，

令g（x）=lnx+2a（1-x）11+x，

则g′（x）=x2+（2-4a）x+11x（1+x）2.

令g′（x）=0.

当Δ≤0时，0

g（x）在（0，1）递增，

∴g（x）>g（1）=0.

当Δ>0，即a>1时，

∵两根x1，x2满足x1x2=1，故y=g（x）在（0，x1）递增，（x1，1）递减.

∴x∈（x1，1），g（x）>g（1）=0，矛盾，舍去.

合理分拆有别于通法h（x）=f（x）-g（x）>0，它是在原有的基础上进行改造和加工，将原来混乱的形式结构进行调配，从而使知识的运用更加合理简便.特别是在含有指数、对数、三角等式子的函数当中，将它们分离出来是不错的选择和突破.

四、巧用放缩

放缩是一种解题的技巧，更是一种解题的能力.通过放缩它可以跳过纷繁复杂的运算，回避一些由于字母带来的过多讨论，舍弃一些常规套路的构造思想，在解题中是一种大胆的创新.借助于放缩达到合理的转换，能够将题面所掩盖的信息更直接地表现出来，同时也更能深入地暴露题目的本质.

【例4】已知f（x）=ex-ax-2.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）a=1，k∈Z且当x>0时，（x-k）f′（x）+x+1>0，求k的最大值.

解析：（1）略.

（2）当a=1时，原式化简为（x-k）（ex-1）+x+1>0，

∵x>0，

∴x-k>-x-11ex-1，即k

又∵ex≥x+1，

∴k

令h（x）=x+x+11x≥2，

∴k≤2（“=”不能同时取到）.

若k≥3，则（x-k）（ex-1）+（x+1）<（x-3）（ex-1）+（x+1）.

又当x=1时，右式=4-2e<0，与x∈（0，+∞）都大于0矛盾，

∴k=2.

该题在文献[3]的参考解答中给出的评价是：“本题考查了逻辑推理能力和运算能力以及转化意识，难度很大”.但从上述分析过程中我们看到，通过放缩来确定k的大致范围，再通过反例验证确定k的取值，可以大大缩短解题步骤.当然放缩手段很多，可以借助于上述的基本不等式，也可以通过式子的添项和舍项等来进行，还可以通过取特殊值来缩小参数字母的范围等，需要注意的是放缩要合理恰当.

以上我们谈了四个方面的解题策略，当然策略也不仅仅是上述几个，诸如还有极端化思考：将原题转化为f（x）min>g（x）max，分别求两个函数的最值等.这在处理有些题目中也是可行的.策略只是一种解题的方向且不是孤立的.它需要我们在解题过程中不断调整自己的思维，优化自己的知识结构，提升自己的解题能力.波利亚说过，一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平.

参考文献

[1]吴成强.例谈一种分离函数技巧的应用[J].中学数学教学参考，2013（9）.

[2]薛金星.2013年全国及各省市高考试题全解[M].西安：陕西人民教育出版社，2013.

[3]薛金星.2012年全国及各省市高考试题全解[M].西安：陕西人民教育出版社，2012.

[4]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.

（责任编辑金铃）

【例4】已知f（x）=ex-ax-2.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）a=1，k∈Z且当x>0时，（x-k）f′（x）+x+1>0，求k的最大值.

解析：（1）略.

（2）当a=1时，原式化简为（x-k）（ex-1）+x+1>0，

∵x>0，

∴x-k>-x-11ex-1，即k

又∵ex≥x+1，

∴k

令h（x）=x+x+11x≥2，

∴k≤2（“=”不能同时取到）.

若k≥3，则（x-k）（ex-1）+（x+1）<（x-3）（ex-1）+（x+1）.

又当x=1时，右式=4-2e<0，与x∈（0，+∞）都大于0矛盾，

∴k=2.

该题在文献[3]的参考解答中给出的评价是：“本题考查了逻辑推理能力和运算能力以及转化意识，难度很大”.但从上述分析过程中我们看到，通过放缩来确定k的大致范围，再通过反例验证确定k的取值，可以大大缩短解题步骤.当然放缩手段很多，可以借助于上述的基本不等式，也可以通过式子的添项和舍项等来进行，还可以通过取特殊值来缩小参数字母的范围等，需要注意的是放缩要合理恰当.

以上我们谈了四个方面的解题策略，当然策略也不仅仅是上述几个，诸如还有极端化思考：将原题转化为f（x）min>g（x）max，分别求两个函数的最值等.这在处理有些题目中也是可行的.策略只是一种解题的方向且不是孤立的.它需要我们在解题过程中不断调整自己的思维，优化自己的知识结构，提升自己的解题能力.波利亚说过，一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平.

参考文献

[1]吴成强.例谈一种分离函数技巧的应用[J].中学数学教学参考，2013（9）.

[2]薛金星.2013年全国及各省市高考试题全解[M].西安：陕西人民教育出版社，2013.

[3]薛金星.2012年全国及各省市高考试题全解[M].西安：陕西人民教育出版社，2012.

[4]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.

（责任编辑金铃）

【例4】已知f（x）=ex-ax-2.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）a=1，k∈Z且当x>0时，（x-k）f′（x）+x+1>0，求k的最大值.

解析：（1）略.

（2）当a=1时，原式化简为（x-k）（ex-1）+x+1>0，

∵x>0，

∴x-k>-x-11ex-1，即k

又∵ex≥x+1，

∴k

令h（x）=x+x+11x≥2，

∴k≤2（“=”不能同时取到）.

若k≥3，则（x-k）（ex-1）+（x+1）<（x-3）（ex-1）+（x+1）.

又当x=1时，右式=4-2e<0，与x∈（0，+∞）都大于0矛盾，

∴k=2.

该题在文献[3]的参考解答中给出的评价是：“本题考查了逻辑推理能力和运算能力以及转化意识，难度很大”.但从上述分析过程中我们看到，通过放缩来确定k的大致范围，再通过反例验证确定k的取值，可以大大缩短解题步骤.当然放缩手段很多，可以借助于上述的基本不等式，也可以通过式子的添项和舍项等来进行，还可以通过取特殊值来缩小参数字母的范围等，需要注意的是放缩要合理恰当.

以上我们谈了四个方面的解题策略，当然策略也不仅仅是上述几个，诸如还有极端化思考：将原题转化为f（x）min>g（x）max，分别求两个函数的最值等.这在处理有些题目中也是可行的.策略只是一种解题的方向且不是孤立的.它需要我们在解题过程中不断调整自己的思维，优化自己的知识结构，提升自己的解题能力.波利亚说过，一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平.

参考文献

[1]吴成强.例谈一种分离函数技巧的应用[J].中学数学教学参考，2013（9）.

[2]薛金星.2013年全国及各省市高考试题全解[M].西安：陕西人民教育出版社，2013.

[3]薛金星.2012年全国及各省市高考试题全解[M].西安：陕西人民教育出版社，2012.

[4]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.

（责任编辑金铃）