聚焦高考中导数的“交汇性”

岳亚军

导数是学习高等数学的基础，作为解决数学问题的一种工具，它为高中数学注入了新的活力.导数方法的基础性、工具性作用，凸现了它在整个教材中的地位.在高考数学试卷中是必然要出现的题型.笔者在平时的教学过程中总结发现：导数与函数、数列、三角、概率、不等式、解析几何等其他知识的交汇进行命题考查应用数学知识，解决综合问题的能力已成为高考的一大亮点.本文结合近几年全国高考试题，解析导数与相关知识的“交汇性”，供同学们复习参考.

一、导数与函数的交汇

例1 （2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知函数f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值.

解 （Ⅰ） f ′（x）=e2（ax+a+b）-2x-4，由已知得f（0）=4，f ′（0）=4，故b=4，a+b=4，从而a=b=4.

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知， f（x）=4ex（x+1）-x2-4x， f ′（x）=4ex（x+2）-2x-4=4（x+2）（ex-12）.

令f ′（x）=0得，x=-ln2或x=-2.

从而当x∈（-∞，-2）∪（-ln2，+∞）时，f ′（x）>0；当x∈（-2，-ln2）时，f ′（x）<0.

故f （x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）单调递增，在（-2，-ln2）单调递减.

当x=-2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（-2）=4（1-e-2）.

评注 利用导数研究函数的单调性、求函数的切线方程、求函数的极值（最值），一直是高考的重点和热点，且常考常新.

二、导数与数列的交汇

例2 （2013年高考大纲版（理））已知函数f（x）=ln（1+x）-x（1+λx）1+x.

（Ⅰ）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；

（Ⅱ）设数列{an}的通项an=1+12+13+…+1n，证明：a2n-an+14n>ln2.

解 （Ⅰ）由已知f（0）=0， f ′（x）=（1-2λ）x-λx2（1+x）2，f ′（0）=0.

若λ≤0，则当x>0时，f ′（x）>0，所以f（x）>0.（不合）

若0<λ<12，则当00，所以f（x）>0.（不合）

若λ≥12，则当x>0时，f ′（x）<0，所以当x>0时，f（x）<0.

综上，λ的最小值是12.

（Ⅱ）证明：令λ=12.由（Ⅰ）知，当x>0时，f（x）<0，即x（2+x）2+2x>ln（1+x）. 取x=1k，则2k+12k（k+1）>ln（k+1k）.

于是a2n-an+14n=2n-1k=n（12k+12（k+1））

=2n-1k=n

2k+12k（k+1）

2n-1k=nlnk+1k=ln2n-lnn=ln2.

所以a2n-an+14n>ln2.

评注 本题考查应用导数证明函数问题，再利用数列与函数的关系证明数列问题的结论.

三、导数与概率的交汇

例3 （2011年全国卷理）（Ⅰ）设函数f（x）=ln（1+x）-2xx+2，证明：当x>0时，f（x）>0；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：p<（910）19<1e2.

解 （Ⅰ）f ′（x）=x2（x+1）（x+2）2.

当x>0时，f ′（x）>0，所以f（x）在R上为增函数，又f（0）=0，因此当x>0时，f（x）>0.

（Ⅱ）由已知p=100×99×98×…×8110020.又99×81<902，98×82<902，…91×89<902，所以p<（910）10.

由（Ⅰ）知： 当x>0时，ln（1+x）>2xx+2.因此（1+2x）ln（1+x）>2.

在上式中，令x=19，则19ln109>2，即（109）10>e2. 所以p<（910）19<1e2.

点评 导数常作为高考的压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，但用概率作为载体，求解数学问题时，学生还不适应，这也是难点之所在.

四、导数与不等式的交汇

例4 （2013年高考辽宁卷（文）部分）证明：当x∈[0，1]时，22x≤sinx≤x；

解 记F（x）=sinx-22x，则F′（x）=cosx-22.

当x∈（0，π4）时，F′（x）>0，F（x）在[0，π4]上为增函数；

当x∈（π4，1）时，F′（x）<0，F（x）在[π4，1]上为减函数.

又F（0）=0，F（1）>0，所以当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥22x.

同理，记H（x）=sinx-x，则当x∈（0，1）时，H′（x）=cosx-1<0，所以H（x）在[0，1]上为减函数，则H（x）≤H（0），即sinx≤x.

综上，当x∈[0，1]时， 22x≤sinx≤x.

评注 本题是利用导数求函数的图形性质及运用比较法证明不等式的综合问题，考查学生推理能力、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力.

五、导数与解析几何的交汇

例5 （2012高考辽宁文12）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（ ）

A. 1 B. 3 C. -4 D. -8

解 已知P点（4，8）、Q点（-2，2）.由y′=x得过P点的抛物线的切线为4x-y-8=0，

过Q点的抛物线的切线为2x+y+2=0，

所以A点的纵坐标为-4， 故选C.

评注 本题以函数与抛物线为载体，利用导数解决切线问题.

导数与三角的交汇，导数与立体几何的交汇命题考查也常有出现，这里不再例举.

导数是学习高等数学的基础，作为解决数学问题的一种工具，它为高中数学注入了新的活力.导数方法的基础性、工具性作用，凸现了它在整个教材中的地位.在高考数学试卷中是必然要出现的题型.笔者在平时的教学过程中总结发现：导数与函数、数列、三角、概率、不等式、解析几何等其他知识的交汇进行命题考查应用数学知识，解决综合问题的能力已成为高考的一大亮点.本文结合近几年全国高考试题，解析导数与相关知识的“交汇性”，供同学们复习参考.

一、导数与函数的交汇

例1 （2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知函数f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值.

解 （Ⅰ） f ′（x）=e2（ax+a+b）-2x-4，由已知得f（0）=4，f ′（0）=4，故b=4，a+b=4，从而a=b=4.

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知， f（x）=4ex（x+1）-x2-4x， f ′（x）=4ex（x+2）-2x-4=4（x+2）（ex-12）.

令f ′（x）=0得，x=-ln2或x=-2.

从而当x∈（-∞，-2）∪（-ln2，+∞）时，f ′（x）>0；当x∈（-2，-ln2）时，f ′（x）<0.

故f （x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）单调递增，在（-2，-ln2）单调递减.

当x=-2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（-2）=4（1-e-2）.

评注 利用导数研究函数的单调性、求函数的切线方程、求函数的极值（最值），一直是高考的重点和热点，且常考常新.

二、导数与数列的交汇

例2 （2013年高考大纲版（理））已知函数f（x）=ln（1+x）-x（1+λx）1+x.

（Ⅰ）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；

（Ⅱ）设数列{an}的通项an=1+12+13+…+1n，证明：a2n-an+14n>ln2.

解 （Ⅰ）由已知f（0）=0， f ′（x）=（1-2λ）x-λx2（1+x）2，f ′（0）=0.

若λ≤0，则当x>0时，f ′（x）>0，所以f（x）>0.（不合）

若0<λ<12，则当00，所以f（x）>0.（不合）

若λ≥12，则当x>0时，f ′（x）<0，所以当x>0时，f（x）<0.

综上，λ的最小值是12.

（Ⅱ）证明：令λ=12.由（Ⅰ）知，当x>0时，f（x）<0，即x（2+x）2+2x>ln（1+x）. 取x=1k，则2k+12k（k+1）>ln（k+1k）.

于是a2n-an+14n=2n-1k=n（12k+12（k+1））

=2n-1k=n

2k+12k（k+1）

2n-1k=nlnk+1k=ln2n-lnn=ln2.

所以a2n-an+14n>ln2.

评注 本题考查应用导数证明函数问题，再利用数列与函数的关系证明数列问题的结论.

三、导数与概率的交汇

例3 （2011年全国卷理）（Ⅰ）设函数f（x）=ln（1+x）-2xx+2，证明：当x>0时，f（x）>0；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：p<（910）19<1e2.

解 （Ⅰ）f ′（x）=x2（x+1）（x+2）2.

当x>0时，f ′（x）>0，所以f（x）在R上为增函数，又f（0）=0，因此当x>0时，f（x）>0.

（Ⅱ）由已知p=100×99×98×…×8110020.又99×81<902，98×82<902，…91×89<902，所以p<（910）10.

由（Ⅰ）知： 当x>0时，ln（1+x）>2xx+2.因此（1+2x）ln（1+x）>2.

在上式中，令x=19，则19ln109>2，即（109）10>e2. 所以p<（910）19<1e2.

点评 导数常作为高考的压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，但用概率作为载体，求解数学问题时，学生还不适应，这也是难点之所在.

四、导数与不等式的交汇

例4 （2013年高考辽宁卷（文）部分）证明：当x∈[0，1]时，22x≤sinx≤x；

解 记F（x）=sinx-22x，则F′（x）=cosx-22.

当x∈（0，π4）时，F′（x）>0，F（x）在[0，π4]上为增函数；

当x∈（π4，1）时，F′（x）<0，F（x）在[π4，1]上为减函数.

又F（0）=0，F（1）>0，所以当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥22x.

同理，记H（x）=sinx-x，则当x∈（0，1）时，H′（x）=cosx-1<0，所以H（x）在[0，1]上为减函数，则H（x）≤H（0），即sinx≤x.

综上，当x∈[0，1]时， 22x≤sinx≤x.

评注 本题是利用导数求函数的图形性质及运用比较法证明不等式的综合问题，考查学生推理能力、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力.

五、导数与解析几何的交汇

例5 （2012高考辽宁文12）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（ ）

A. 1 B. 3 C. -4 D. -8

解 已知P点（4，8）、Q点（-2，2）.由y′=x得过P点的抛物线的切线为4x-y-8=0，

过Q点的抛物线的切线为2x+y+2=0，

所以A点的纵坐标为-4， 故选C.

评注 本题以函数与抛物线为载体，利用导数解决切线问题.

导数与三角的交汇，导数与立体几何的交汇命题考查也常有出现，这里不再例举.

导数是学习高等数学的基础，作为解决数学问题的一种工具，它为高中数学注入了新的活力.导数方法的基础性、工具性作用，凸现了它在整个教材中的地位.在高考数学试卷中是必然要出现的题型.笔者在平时的教学过程中总结发现：导数与函数、数列、三角、概率、不等式、解析几何等其他知识的交汇进行命题考查应用数学知识，解决综合问题的能力已成为高考的一大亮点.本文结合近几年全国高考试题，解析导数与相关知识的“交汇性”，供同学们复习参考.

一、导数与函数的交汇

例1 （2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知函数f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值.

解 （Ⅰ） f ′（x）=e2（ax+a+b）-2x-4，由已知得f（0）=4，f ′（0）=4，故b=4，a+b=4，从而a=b=4.

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知， f（x）=4ex（x+1）-x2-4x， f ′（x）=4ex（x+2）-2x-4=4（x+2）（ex-12）.

令f ′（x）=0得，x=-ln2或x=-2.

从而当x∈（-∞，-2）∪（-ln2，+∞）时，f ′（x）>0；当x∈（-2，-ln2）时，f ′（x）<0.

故f （x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）单调递增，在（-2，-ln2）单调递减.

当x=-2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（-2）=4（1-e-2）.

评注 利用导数研究函数的单调性、求函数的切线方程、求函数的极值（最值），一直是高考的重点和热点，且常考常新.

二、导数与数列的交汇

例2 （2013年高考大纲版（理））已知函数f（x）=ln（1+x）-x（1+λx）1+x.

（Ⅰ）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；

（Ⅱ）设数列{an}的通项an=1+12+13+…+1n，证明：a2n-an+14n>ln2.

解 （Ⅰ）由已知f（0）=0， f ′（x）=（1-2λ）x-λx2（1+x）2，f ′（0）=0.

若λ≤0，则当x>0时，f ′（x）>0，所以f（x）>0.（不合）

若0<λ<12，则当00，所以f（x）>0.（不合）

若λ≥12，则当x>0时，f ′（x）<0，所以当x>0时，f（x）<0.

综上，λ的最小值是12.

（Ⅱ）证明：令λ=12.由（Ⅰ）知，当x>0时，f（x）<0，即x（2+x）2+2x>ln（1+x）. 取x=1k，则2k+12k（k+1）>ln（k+1k）.

于是a2n-an+14n=2n-1k=n（12k+12（k+1））

=2n-1k=n

2k+12k（k+1）

2n-1k=nlnk+1k=ln2n-lnn=ln2.

所以a2n-an+14n>ln2.

评注 本题考查应用导数证明函数问题，再利用数列与函数的关系证明数列问题的结论.

三、导数与概率的交汇

例3 （2011年全国卷理）（Ⅰ）设函数f（x）=ln（1+x）-2xx+2，证明：当x>0时，f（x）>0；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：p<（910）19<1e2.

解 （Ⅰ）f ′（x）=x2（x+1）（x+2）2.

当x>0时，f ′（x）>0，所以f（x）在R上为增函数，又f（0）=0，因此当x>0时，f（x）>0.

（Ⅱ）由已知p=100×99×98×…×8110020.又99×81<902，98×82<902，…91×89<902，所以p<（910）10.

由（Ⅰ）知： 当x>0时，ln（1+x）>2xx+2.因此（1+2x）ln（1+x）>2.

在上式中，令x=19，则19ln109>2，即（109）10>e2. 所以p<（910）19<1e2.

点评 导数常作为高考的压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，但用概率作为载体，求解数学问题时，学生还不适应，这也是难点之所在.

四、导数与不等式的交汇

例4 （2013年高考辽宁卷（文）部分）证明：当x∈[0，1]时，22x≤sinx≤x；

解 记F（x）=sinx-22x，则F′（x）=cosx-22.

当x∈（0，π4）时，F′（x）>0，F（x）在[0，π4]上为增函数；

当x∈（π4，1）时，F′（x）<0，F（x）在[π4，1]上为减函数.

又F（0）=0，F（1）>0，所以当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥22x.

同理，记H（x）=sinx-x，则当x∈（0，1）时，H′（x）=cosx-1<0，所以H（x）在[0，1]上为减函数，则H（x）≤H（0），即sinx≤x.

综上，当x∈[0，1]时， 22x≤sinx≤x.

评注 本题是利用导数求函数的图形性质及运用比较法证明不等式的综合问题，考查学生推理能力、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力.

五、导数与解析几何的交汇

例5 （2012高考辽宁文12）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（ ）

A. 1 B. 3 C. -4 D. -8

解 已知P点（4，8）、Q点（-2，2）.由y′=x得过P点的抛物线的切线为4x-y-8=0，

过Q点的抛物线的切线为2x+y+2=0，

所以A点的纵坐标为-4， 故选C.

评注 本题以函数与抛物线为载体，利用导数解决切线问题.

导数与三角的交汇，导数与立体几何的交汇命题考查也常有出现，这里不再例举.