“等效法”在电学中的应用

钱宏春

中学物理很多问题都可以用“等效思想”，学会灵活运用“等效法”处理问题，可以有效提高解题质量和速度.本文以案例分析的形式介绍几种利用“等效法”处理电学问题的思路，以供各位读者借鉴.

1.“等效重力”在复合场中的应用

例1 一条长为 l的细线上端固定在O点，下端系一个质量为m 的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为E，方向水平向右，已知小球在B点时平衡，细线与竖直线的夹角为α如图1所示.求：（1）当悬线与竖直方向夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零；（2）当细线与竖直方向成α角时，至少要给小球一个多大的速度，才能使小球做圆周运动？

图1 图2 图3

解析 （1）小球是在匀强电场和重力场的复合场中运动，与小球仅在重力场中围绕最低点来回摆动类似，根据“等效思想”：由于题目交代小球在B点时平衡，故B点即为振动的平衡位置，A、C点为最大位移处，如图2所示，由对称性即可得出结论φ=2α.很明显，利用等效思想解决这类问题要方便得多.

（2）绳系着小球在复合场中做圆周运动的条件与在重力场中类似，即经过最高点时，要满足mg=mv2r，图4也就是v=gr.只不过在复合场中的最高点是等效“

最高”点，重力加速度g也应为等效重力加速度g′.本题等效“最低”点为B ，故等效“最高”点为D， （如图3）.其等效重力加速度g′=g/cosα见图4）.

由mg′=mv2Dl

mv2B=2mg′l+12mv2D

vB=5g′l=5glcosα

2.“等效电源”在误差分析中的应用

例2 如图5所示，甲、乙分别为利用电流表和电压表测量电源电动势和内阻的两种实验电路图，请对这两种实验方案进行系统误差分析.

图5

图6

解析 对该实验在进行系统误差分析时，教师一般利用定量计算法和图像法分析.如果利用“等效法”来分析，过程会更清晰明了.对于甲图电路，实验误差来自于电压表的分流作用，它导致电流表测得的电流并不是电源的干路电流.如果把电源和电压表看成一个整体，即“等效电源”，如图6中虚线框所示.这样就消除了由于电压表的分流而引起的误差，但这样测得的就是“等效电源”的电动势和内电阻.即测得的电动势相当于负载开路时虚线框两端的电压，内电阻相当于电源内阻和电压表内阻的并联值.即：

E′=RVRV+rE

r′=RVrRV+r

显而易见有 E′

r′

对于乙图电路，实验误差来自于电流表的分压作用，它导致电压表测得的电压并不是电源的路端电压.如果把电源和电流表看成一个整体，即“等效电源”，如图7中虚线框所示.这样就消除了由于电流表分压而引起的误差，但这样测得的就是“等效电源”的电动势和内电阻.即测得的电动势相当于负载开路时虚线框两端的电压，内电阻相当于电源内阻和电流表的内阻之和.即：

E′=E

r′=r+RA

测量值与真实值相比，结果显而易见.

3.“等效电路”在电磁感应中的应用

图8

例3 如图8所示，同一平面内的三条平行导线串有两个电阻R和r，导体棒PQ与三条导线接触良好；匀强磁场的方向垂直纸面向里.导体棒的电阻可忽略.当导体棒向左滑动时，下列说法中正确的是（ ）

A.流过R的电流为由d到c，流过r的电流为由b到a

B.流过R的电流为由c到d，流过r的电流为由b到a

C.流过R的电流为由d到c，流过r的电流为由a到b

D.流过R的电流为由c到d，流过r的电流为由a到b

解析 本题考察电磁感应部分的相关知识，可以先画出其等效电路（如图9）.由于等效电路中涉及多个电源，所以常规思路学生不易理解.可以利用等效电源定理进一步画出其等效电路.根据等效电源定理：考虑E1时，E2置零并将E2处用理想导线短接，这样r将被短路，如图10所示，通过R的电流为c到d；考虑E2时，E1置零并将E1处用导线短接，如图11所示，通过R的电流方向仍为c到d，通过r的方向为b到a.所以两个电源同时存在时，通过R的电流方向仍为c到d，通过r的电流方向为b到a.

图9 图10 图11

中学物理很多问题都可以用“等效思想”，学会灵活运用“等效法”处理问题，可以有效提高解题质量和速度.本文以案例分析的形式介绍几种利用“等效法”处理电学问题的思路，以供各位读者借鉴.

1.“等效重力”在复合场中的应用

例1 一条长为 l的细线上端固定在O点，下端系一个质量为m 的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为E，方向水平向右，已知小球在B点时平衡，细线与竖直线的夹角为α如图1所示.求：（1）当悬线与竖直方向夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零；（2）当细线与竖直方向成α角时，至少要给小球一个多大的速度，才能使小球做圆周运动？

图1 图2 图3

解析 （1）小球是在匀强电场和重力场的复合场中运动，与小球仅在重力场中围绕最低点来回摆动类似，根据“等效思想”：由于题目交代小球在B点时平衡，故B点即为振动的平衡位置，A、C点为最大位移处，如图2所示，由对称性即可得出结论φ=2α.很明显，利用等效思想解决这类问题要方便得多.

（2）绳系着小球在复合场中做圆周运动的条件与在重力场中类似，即经过最高点时，要满足mg=mv2r，图4也就是v=gr.只不过在复合场中的最高点是等效“

最高”点，重力加速度g也应为等效重力加速度g′.本题等效“最低”点为B ，故等效“最高”点为D， （如图3）.其等效重力加速度g′=g/cosα见图4）.

由mg′=mv2Dl

mv2B=2mg′l+12mv2D

vB=5g′l=5glcosα

2.“等效电源”在误差分析中的应用

例2 如图5所示，甲、乙分别为利用电流表和电压表测量电源电动势和内阻的两种实验电路图，请对这两种实验方案进行系统误差分析.

图5

图6

解析 对该实验在进行系统误差分析时，教师一般利用定量计算法和图像法分析.如果利用“等效法”来分析，过程会更清晰明了.对于甲图电路，实验误差来自于电压表的分流作用，它导致电流表测得的电流并不是电源的干路电流.如果把电源和电压表看成一个整体，即“等效电源”，如图6中虚线框所示.这样就消除了由于电压表的分流而引起的误差，但这样测得的就是“等效电源”的电动势和内电阻.即测得的电动势相当于负载开路时虚线框两端的电压，内电阻相当于电源内阻和电压表内阻的并联值.即：

E′=RVRV+rE

r′=RVrRV+r

显而易见有 E′

r′

对于乙图电路，实验误差来自于电流表的分压作用，它导致电压表测得的电压并不是电源的路端电压.如果把电源和电流表看成一个整体，即“等效电源”，如图7中虚线框所示.这样就消除了由于电流表分压而引起的误差，但这样测得的就是“等效电源”的电动势和内电阻.即测得的电动势相当于负载开路时虚线框两端的电压，内电阻相当于电源内阻和电流表的内阻之和.即：

E′=E

r′=r+RA

测量值与真实值相比，结果显而易见.

3.“等效电路”在电磁感应中的应用

图8

例3 如图8所示，同一平面内的三条平行导线串有两个电阻R和r，导体棒PQ与三条导线接触良好；匀强磁场的方向垂直纸面向里.导体棒的电阻可忽略.当导体棒向左滑动时，下列说法中正确的是（ ）

A.流过R的电流为由d到c，流过r的电流为由b到a

B.流过R的电流为由c到d，流过r的电流为由b到a

C.流过R的电流为由d到c，流过r的电流为由a到b

D.流过R的电流为由c到d，流过r的电流为由a到b

解析 本题考察电磁感应部分的相关知识，可以先画出其等效电路（如图9）.由于等效电路中涉及多个电源，所以常规思路学生不易理解.可以利用等效电源定理进一步画出其等效电路.根据等效电源定理：考虑E1时，E2置零并将E2处用理想导线短接，这样r将被短路，如图10所示，通过R的电流为c到d；考虑E2时，E1置零并将E1处用导线短接，如图11所示，通过R的电流方向仍为c到d，通过r的方向为b到a.所以两个电源同时存在时，通过R的电流方向仍为c到d，通过r的电流方向为b到a.

图9 图10 图11

中学物理很多问题都可以用“等效思想”，学会灵活运用“等效法”处理问题，可以有效提高解题质量和速度.本文以案例分析的形式介绍几种利用“等效法”处理电学问题的思路，以供各位读者借鉴.

1.“等效重力”在复合场中的应用

例1 一条长为 l的细线上端固定在O点，下端系一个质量为m 的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为E，方向水平向右，已知小球在B点时平衡，细线与竖直线的夹角为α如图1所示.求：（1）当悬线与竖直方向夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零；（2）当细线与竖直方向成α角时，至少要给小球一个多大的速度，才能使小球做圆周运动？

图1 图2 图3

解析 （1）小球是在匀强电场和重力场的复合场中运动，与小球仅在重力场中围绕最低点来回摆动类似，根据“等效思想”：由于题目交代小球在B点时平衡，故B点即为振动的平衡位置，A、C点为最大位移处，如图2所示，由对称性即可得出结论φ=2α.很明显，利用等效思想解决这类问题要方便得多.

（2）绳系着小球在复合场中做圆周运动的条件与在重力场中类似，即经过最高点时，要满足mg=mv2r，图4也就是v=gr.只不过在复合场中的最高点是等效“

最高”点，重力加速度g也应为等效重力加速度g′.本题等效“最低”点为B ，故等效“最高”点为D， （如图3）.其等效重力加速度g′=g/cosα见图4）.

由mg′=mv2Dl

mv2B=2mg′l+12mv2D

vB=5g′l=5glcosα

2.“等效电源”在误差分析中的应用

例2 如图5所示，甲、乙分别为利用电流表和电压表测量电源电动势和内阻的两种实验电路图，请对这两种实验方案进行系统误差分析.

图5

图6

解析 对该实验在进行系统误差分析时，教师一般利用定量计算法和图像法分析.如果利用“等效法”来分析，过程会更清晰明了.对于甲图电路，实验误差来自于电压表的分流作用，它导致电流表测得的电流并不是电源的干路电流.如果把电源和电压表看成一个整体，即“等效电源”，如图6中虚线框所示.这样就消除了由于电压表的分流而引起的误差，但这样测得的就是“等效电源”的电动势和内电阻.即测得的电动势相当于负载开路时虚线框两端的电压，内电阻相当于电源内阻和电压表内阻的并联值.即：

E′=RVRV+rE

r′=RVrRV+r

显而易见有 E′

r′

对于乙图电路，实验误差来自于电流表的分压作用，它导致电压表测得的电压并不是电源的路端电压.如果把电源和电流表看成一个整体，即“等效电源”，如图7中虚线框所示.这样就消除了由于电流表分压而引起的误差，但这样测得的就是“等效电源”的电动势和内电阻.即测得的电动势相当于负载开路时虚线框两端的电压，内电阻相当于电源内阻和电流表的内阻之和.即：

E′=E

r′=r+RA

测量值与真实值相比，结果显而易见.

3.“等效电路”在电磁感应中的应用

图8

例3 如图8所示，同一平面内的三条平行导线串有两个电阻R和r，导体棒PQ与三条导线接触良好；匀强磁场的方向垂直纸面向里.导体棒的电阻可忽略.当导体棒向左滑动时，下列说法中正确的是（ ）

A.流过R的电流为由d到c，流过r的电流为由b到a

B.流过R的电流为由c到d，流过r的电流为由b到a

C.流过R的电流为由d到c，流过r的电流为由a到b

D.流过R的电流为由c到d，流过r的电流为由a到b

解析 本题考察电磁感应部分的相关知识，可以先画出其等效电路（如图9）.由于等效电路中涉及多个电源，所以常规思路学生不易理解.可以利用等效电源定理进一步画出其等效电路.根据等效电源定理：考虑E1时，E2置零并将E2处用理想导线短接，这样r将被短路，如图10所示，通过R的电流为c到d；考虑E2时，E1置零并将E1处用导线短接，如图11所示，通过R的电流方向仍为c到d，通过r的方向为b到a.所以两个电源同时存在时，通过R的电流方向仍为c到d，通过r的电流方向为b到a.

图9 图10 图11