抽象函数的概念及应用

刘艳英

抽象函数能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养和提高学生的发散思维和创造性思维等能力有很好的促进作用。因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现，它涉及函数、方程、不等式等多方面的知识，它渗透着换元、递推、赋值、猜想、数形结合、一般到特殊等思想方法，综合性强，体现了高考加大对理性思维能力考查的命题思想。本文结合例题说明抽象函数的应用。

一、抽象函数在求解定义域方面的应用

求抽象函数的定义域一般表现为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，有三种常见题型：

例1：若函数y=f（x）的定义域为[-1，1]， 则函数y=f（2x-1）的定义域为 。

例2：若函数y=f（2x-1）的定义域为[-1，1]，则函数y=f（x）的定义域为 。

例3：若函数y=f（x2-2）的定义域为[1，3]，则y=f（3x+2）定义域为 。

解：1.∵f（x）的定义域为[-1，1]，∴-1≤2x-1≤1，解得0≤x≤1。

∴f（2x-1）的定义域为[0，1]。

2.∵f（2x-1）的定义域为[-1，1]，∴-1≤x≤1，∴-3≤2x-1≤1 ∴f（x）的定义域为[-3，1]。

3.∵f（x2-2）的定义域为[1，3]，∴1≤x≤3，1≤x2≤9.∴-1≤x2-2≤7，

∴-1≤3x+2≤7，-1≤x≤■∴f（3x+2）的定义域为[-1，■]。

解决好这类问题关键抓好两点：一是明确函数的定义域是指自变量的范围；二通俗地讲就是“谁占了谁的地方，原本的地方大小不变”。

二、抽象函数在求解值域方面的应用

求函数的值域是函数教学的重点和难点，与抽象函数结合其解法更显灵活，而且体现了“换元”法的运用。

例4：已知f（x）的值域为[■，■]，试求y=f（x）+■的值域。

解：∵f（x）∈[■，■] ∴■≤1-2f（x）≤■ 即■≤■≤■

令■=t （■≤t≤■）

则 f（x）=■（1-t2），

函数化为y=■（1-t2）+t=-■（t-1）2+1

∴t=■时，y最小为■；t=■时y最大为■。

∴y=f（x）+■值域为[■，■]。

抓住求值域即求y的范围的本质，换元法把f（x）看做一个整体，运用“整体性”思想，把问题转化为熟悉的二次函数来解决，降低了难度。

三、抽象函数在求解析式方面的应用

抽象函數没有具体的解析式，而它在与解析式的综合方面体现了由抽象到具体的思想，通过“赋值法”把抽象的与具体的联系起来。

例5：设f（x）满足f（0）=1，f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），求f（x）解析式。

（法一）∵f（0）=1，令x-y=0得f（0）=f（x）-x（2x-x+1）

∴f（x）=x2+x+1

（法二）∵f（0）=1，令x=0得f（-y）=f（0）-y（-y+1）

∴f（-y）=1-y（-y+1）

用x代替-y，得 f（x）=1+x（x+1）

即f（x）=x2+x+1

利用已知条件，合理赋值（赋具体值或代数式）是解决抽象函数问题的基本方法。

四、抽象函数在考查函数性质方面的应用

函数的单调性、周期性、奇偶性是函数的重要性质，也是函数的“核心”。抽象函数是只给出了一些体现函数特征的一类函数，由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下以学过的常见函数的背景对函数性质通过代数表述给出。

例6：已知函数f（x）定义域为实数集R，满足对任意x，y∈R都有f（xy）=f（x）f（y）且f（-1）=1。当0≤x<1时f（x）∈[0，1）。

（1）判断f（x）的奇偶性。

（2）判断f（x）在[0，∞）上的单调性。

解：（1）令y=-1，则f（-x）=f（x）f（-1）

∵f（-1）=1 ∴f（-x）=f（x）

∴f（x）为偶函数。

（2）对任意x≥0，有f（x）=f（■×■）=f（■）f（■）=f2（■）≥0

设0≤x1

∴f（x1）-f（x2）=f（x2·■）-f（x2）=f（x2）·f（■）-f（x2）

∴f（x1）

函数单调性的证明方法有导数法和定义法。由于抽象函数没有具体的解析式，所以只能用定义法，由已知条件变形出符合单调性定义的式子，从而得出结论。

以上介绍了抽象函数在函数问题方面的几种应用，要想解决好抽象函数问题要注意以下几点：1.加深对函数概念、性质的理解；2.熟练掌握与抽象函数有关的解题方法和技巧；3.紧密联系与所给题目有关的知识，掌握综合题的解题通法和技巧。

（责编 赵建荣）