相容连续Domain的特征与浓度

张鹏垚，姜广浩，李海龙，占诗源

（淮北师范大学 数学科学学院 ，安徽 淮北 235000）

相容连续Domain的特征与浓度

张鹏垚，姜广浩，李海龙，占诗源

（淮北师范大学 数学科学学院 ，安徽 淮北 235000）

引入相容连续Domain的权与稠密子集的概念，在此基础上定义相容连续Domain的特征与浓度.给出局部基的刻画，并讨论相容连续Domain的特征、浓度与相容连续Domain带上Scott拓扑或Lawson拓扑时拓扑空间的特征与浓度之间的关系.证明相容连续Domain的特征、浓度分别带上Scott拓扑时拓扑空间的特征、浓度相等，它们分别小于相容连续Domain带上Lawson拓扑时拓扑空间的特征与浓度.

相容连续Domain；局部基；特征；浓度；Scott拓扑；Lawson拓扑

1 预备知识

从20世纪70年代Scott的开创性工作以来，Domain理论一直受到计算机科学和数学领域的关注.由于在Domain理论中，拓扑、序、逼近及逻辑的概念和思想可以相互转换与统一，因此它吸引了格上拓扑学的学者.随着连续Domain理论在计算机科学中的应用，作为这种趋势的一个标志，1994年Abramsky和Jung在文献［1］中以连续Domain为主要对象系统阐述了Domain的数学理论.文献［2］提出相容连续Do⁃main的定义及一些性质.文献［3］给出了连续Domain的权定义及性质.受文献［4］的启发，本文在相容连续Domain中引入特征与浓度的概念，并讨论一些关系.

定义1.1［2］设L是偏序集，∅≠D⊆L.若D是定性的，且存在x∈L使得D⊆↓x，则称D为L中的相容定向集.

定义1.2［2］若L中每一个相容定向集的上确界都存在，则称L是相容Dcpo.

定义1.3［2］设L是相容Dcpo，∀x,y∈L.若对L中的相容定向集D，当y≤∨D时，存在d∈D使得x≤d，则称x相容双小于y，记作x≪y.若x≪x，则称x为L的紧元，记K(L)={x∈L：x≪x}.令⇑x={u∈L：x≪u}，⇓x={u∈L：u≪x}.

定义1.4［2］设L是相容Dcpo，若∀x∈L，⇓x是相容定向集，且x=∨⇓x，则称L是相容连续Domain.①

命题1.1 设L是相容Dcpo，若∀x∈L，存在定向集Dx，使得Dx⊆⇓x且x=∨Dx，则L是相容连续Domain.

证明由定义1.4易得.

定理1.1［2］若L是相容连续Domain，则∀x,z∈L且x≠z⇒(∃y∈L)x≪y≪z且x≠y.

定义1.5 设L是相容Dcpo，B⊆L.若∀x∈L,∃Bx⊆B使得Bx是L的相容定向子集，Bx⊆⇓x且∨Bx=x，则称B是L的一个基.

定义1.6［2］设L是相容Dcpo，U⊆L.若U满足：（1）U=↑U；（2）对L的任一相容定向子集D，当∨D∈U时，∃d∈D使得d∈U，即U⋂D≠∅，则称U为Scott开集.令σ(L)={U⊆L:U是L的Scott开集}，σ(L)称为L的Scott拓扑，拓扑空间(L,σ(L))简记为ΣL.

命题1.2 设L是相容连续Domain，σ(L)是L上的Scott拓扑，则下列性质成立：（1）U⊆L是Scott开集当且仅当U=↑U且y∈U⇒∃x∈U使得x≪y；（2）x≪y⇔↑x是y的一个邻域；（3）∀U∈σ(L),U=⋃{⇑y:y∈U}；（4）{⇑x:x∈L}是拓扑空间(L,σ(L))的一个基；（5）{⇑x:x≪y}是y的一个邻域基；（6）{⇑x:x∈B}是(L,σ(L))的一个基，其中B是L的基.

命题1.3 设L是相容Dcpo，B⊆L，则B是基⇔∀x∈L，Bx=B⋂⇓x是相容定向集且∨Bx=x.

命题1.4 设L是相容Dcpo，则L有一个基当且仅当L是相容连续Domain.

命题1.5 若L是相容连续Domain，B⊆L，则B是基当且仅当∀x,y∈L,x≪y且x≠y时⇒∃b∈B使得x≪b≪y且x≠b.

定义1.7 若L是相容Dcpo，定义λ(L)=σ(L)∨ω(L)，其中ω(L)是以{L↑x:x∈L}为子基的上区间拓扑，则λ(L)是以σ(L)⋃ω(L)为子基的拓扑，λ(L)称为L上的Lawson拓扑，记拓扑空间(L,λ(L))为ΛL的一个基.

命题1.6 若L是相容连续Domain，B是L的基，则{⇑x↑F:x∈B且F是B的有限子集}是ΛL的一个基.

命题1.7 设L是相容Dcpo，则（1）上集U是Lawson开集⇔它是Scott开集；（2）下集C是Lawson闭集⇔它对相容定向并封闭.

推论1.1 设L是相容Dcpo，U∈λ(L)且D是L的相容定向集，则∨D∈U⇒U⋂D≠∅.

命题1.8 设L是相容连续Domain，则U∈λ(L)⇒↑U∈σ(L).

证明首先，↑U是上集；其次，设D⊆L是相容定向集且∨D∈↑U，则∃x∈U使得x≤∨D，而x=∨⇓x，由推论1.1知,∃y∈U使y≪x，从而∃d∈D使得y≤d.这说明d∈↑U，即U⋂D≠∅，所以↑U∈σ(L).

2 相容连续Domain的特征

定义2.1 设L是相容连续Domain.定义W(L)=min{|B|:B是L的一个基}，则称W(L)是相容连续DomainL的权.

定义2.2［5］设L是相容Dcpo，.若，是相容定向集且，则称是x的局部基.

定义2.3 设L是相容连续Domain，∀x∈L，令χ(x,L)=min{|Dx|:Dx是x的局部基}，则称χ(x,L)为相容连续DomainL中点x的特征.令χ(L)=supχ(x,L)，x∈L，称其为相容连续DomainL的特征.记χ(x,ΣL)为拓扑空间ΣL中点x的特征，χ(ΣL)为拓扑空间ΣL的特征，记χ(x,ΛL)为拓扑空间ΛL中点x的特征，χ(ΛL)为拓扑空间ΛL的特征.

定义2.4 设L是相容连续Domain，若χ(L)≤ω，则称L是第一可数的相容连续Domain.

命题2.1 设L是相容Dcpo，a∈L.则下列性质成立：（1）若a有局部基，则⇓a是a的最大局部基；（2）若a≪a且Da是a的局部基，则a∈Da；（3）若a≪a，则{a}是a的最小局部基，即χ(a，L)=1，（4）若b≤a且Da，Db分别是a，b的局部基，则Db⊆⇓Da.

定理2.1 设L是相容连续Domain，a∈L且D⊆⇓a.则D是a的局部基当且仅当∀c∈⇓a且c≠a，∃d∈D使得c≪d且c≠d.

证明必要性.∀c∈⇓a且c≠a，由L是相容连续Domain知,∃x∈L，使得c≪x≪a且x≠c.又因为D是a的局部基，则∨D=a，所以∃d∈D使得c≪d且c≠d.

充分性.先证明D是相容定向集.设d1,d2∈D，di≪a(i=1,2).由⇓a的定向性知,∃d3≪a使得di≤d3(i=1,2).又由条件∃d∈D使得d3≪d且d3≠d，则∃d∈D使得di

定理2.2 设L是相容连续Domain，a∈L且D⊆⇓a.则D是a的局部基当且仅当D是相容定向集且∀x∈L，若a≰x，则∃d∈D使得d≰x.

证明必要性.显然D是相容定向集.又由∨D=a知，若a≰x，则∃d∈D使得d≰x.

充分性.证明∨D=a即可.显然∨D≤a.a≰∨D，由条件∃d∈D使得d≰D，矛盾！故∨D=a，所以D是a的局部基.

定理2.3 设L是相容连续Domain，a∈L且D⊆⇓a.则D是a的局部基当且仅当D是相容定向集且∀x∈L，若x∈⇓a且x≠a，则∃d∈D使得x

证明必要性.由定理2.1即知.

充分性.先证明D是相容定向集.设d1,d2∈D，di≪a(i=1,2).由⇓a的定向性知,∃d3≪a使得di≤d3(i=1,2).又由条件∃d∈D使得d3

定理2.4 设L是相容连续Domain，则χ(L)≤W(L).

证明设B是相容连续DomainL的基，且|B|=W(L).∀x∈L，令Bx=B⋂⇓x，则由命题1.3与命题1.4知,Bx是相容定向集且x=∨Bx，故Bx是x的局部基，从而χ(x,L)≤|Bx|≤|B|=W(L).由x的任意性知,χ(L)≤W(L).

定理2.5 设L是相容连续Domain，则χ(L)=χ(ΣL).

证明先证明χ(ΣL)≤χ(L).∀x∈L，存在x的局部基D使得|D|≤χ(L).令β={⇑y:y∈D}.下面证明β为ΣL中x的一个邻域基.首先β⊆σ(L)；其次∀U∈σ(L)，若x∈U，则∨D∈U.从而∃d∈U⋂D使得x∈⇑d⊆U，故β是x的邻域基.则χ(x,ΣL)≤|D|≤χ(L).由x的任意性知,χ(ΣL)≤χ(L).再证明χ(L)≤χ(ΣL).∀x∈L，存在ΣL中x的一个邻域基β使得|β|≤χ(L).∀U∈β，由x∈U且U是Scott开集知，∃y∈U使得x∈⇑y⊂↑y⊂U.取一个这样的y记作yU，设D={yU:U∈β}.下证D是x的一个邻域基.首先由D中元素的取法知,D⊆⇓x；其次∀z∈L，若z≪x且z≠x，则有x∈⇑z且z≠x.由β是x的邻域基知，∃U∈β使得x∈U⊆⇑z且z≠x.又因为U是Scott开集，∃y∈U使得x∈⇑y⊆↑y⊆U⊆⇑z.从而∃yU∈D使得z≪yU且z≠yU.否则若z=yU，U是存在的但与它的任意性不符，矛盾！由定理2.1知,D是相容连续DomainL中点x的邻域基.故χ(x,L)≤|D|≤|β|≤χ(L).由x的任意性知,χ(L)≤χ(ΣL).从而在相容连续DomainL中χ(L)=χ(ΣL).

命题2.1 设L是相容连续Domain，则L是第一可数的相容连续Domain当且仅当ΣL是第一可数的拓扑空间.

定理2.6 设L是相容连续Domain，则χ(ΣL)≤χ(ΛL).

证明∀x∈L，存在ΛL中点x的邻域基β使得|β|≤χ(ΛL)′，令β′={↑U:U∈β}.由命题1.7知β′⊆σ(L)，且易证β′为 ΣL中x的一个邻域基，则χ(x,ΣL)≤|β′|≤|β|≤χ(ΛL).由x的任意性知,χ(ΣL)≤χ(ΛL).

3 相容连续Domain的浓度

定义3.1 设L是相容连续Domain，A⊆L.若∀x∈L及∀y∈⇓x，∃a∈A使得y≪a，则称A为L的稠密子集.

命题3.1 设L是相容连续Domain，A⊆L.则A为L的稠密子集当且仅当∀x,y∈L，当x≪y时，∃a∈A使得x≪a.

定义3.2 设L是相容连续Domain，令d(L)=min{|A|:A是L的稠密子集}，则称d(L)为相容连续Do⁃mainL的浓度.特别地，若d(L)≤ω，则称相容连续DomainL是可分的.

下面用d(ΣL)与d(ΛL)分别表示拓扑空间(L,σ(L))与(L,λ(L))的浓度.

定理3.1 设L是相容连续Domain，则d(L)≤W(L).

证明证明基是稠密子集即可.设B是L的基，∀x,y∈L，若x≪y且x≠y，则由命题1.5知,∃b∈B使得x≪b≪y且x≠b.若x=y时，由基的定义知,∃b∈B使得b=x，再由命题3.1知B是L的稠密子集.

定理3.2 设L是相容连续Domain，则d(L)=d(ΣL)≤d(ΛL).

证明设A为相容连续DomainL的一个稠密子集且d(L)=|A|.∀U∈σ(L)且U≠∅，由命题1.2知∃x,y∈U使得x≪y，由命题3.1知∃a∈A使得x≪a，又U是上集，则a∈U，即A⋂U≠∅，所以A在ΣL中稠密，故d(L)≤d(ΣL).反之，设A在ΣL中稠密，且d(ΣL)=|A|.∀x,y∈L，若x≪y，则y∈⇑x.又⇑x是Scott开的，所以A⋂⇑x≠∅ ，即 ∃a∈A使得x≪a.由命题3.1知,A为L的一个稠密子集.则d(L)≤|A|≤d(ΣL).又σ(L)⊆λ(L)，所以d(ΣL)≤d(ΛL)，即d(L)=d(ΣL)≤d(ΛL).

推论3.1 设L是相容连续Domain，则d(ΣL)≤W(L).

推论3.2 设L是相容连续Domain，则L是可分的相容连续Domain当且仅当ΣL是可分空间.

定理3.3 设L是含最小元相容连续Domain，则d(ΛL)≤W(L).

证明令0是L中的最小元，B是L的基且|B|=W(L)，则必有0∈B.由定理3.1的证明知B是L的稠密子集，再由定理3.2知,B也是ΣL的一个稠密子集.要证明B在ΛL中稠密，只需证明∀L↑F≠∅，其中F是L的有限子集，B⋂(L↑F)≠∅.因为L↑F≠∅ 且是下集，所以 0∈L↑F，从而B⋂(L↑F)≠∅.

定理3.4 设L是含最小元相容连续Domain，则d(ΛL)≤d(L)+1.

证明由定理3.2的证明过程即知,A在L中稠密当且仅当A在ΣL中稠密.所以若A在L稠密且d(L)=|A|，则A在ΣL中也稠密，从而A⋃{0}在ΣL中也稠密.由于0∈A⋃{0}，所以由定理3.3的证明知A⋃{0}在下拓扑中稠密，因而A⋃{0}在ΛL中稠密.则d(ΛL)≤|A⋃{0}|≤|A|+1=d(L)+1.

推论3.3 若L有最小元，则L是可分相容连续Domain当且仅当ΛL是可分空间.

［1］ABRAMSKY S，JUNG A.Domain thory［M］.New York：Oxford University Press，1994.

［2］徐罗山.相容连续偏序集及其定向完备化［J］.扬州大学学报，2000（1）：1-6.

［3］赵彬.连续Domain的基与权［J］.工程数学学报，2000，17（4）：91-95.

［4］赵彬，刘妮.连续Domain的特征与浓度［J］.陕西师范大学学报，2002，30（2）：1-6.

［5］何为民.相容连续Domain的不变性［J］.纯粹数学与应用数学，2010，26（2）：211-214.

［6］GIERZ G.Continous lattices and domains［M］.Cambridge:Cambridge University Press，2003.

Characteristic and Density of Consistently Continuous Domain

ZHANG Peng-yao，JIANG Guang-hao，LI Hai-long，ZHAN Shi-yuan
（School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）

The definitions of weight，dense set，characteristic and density of consistently continuous Domain are given first,and some characteristic theorems are obtained.In addition，the relations between the character⁃istic and density of a consistently continuous Domain and that of the related topological space with Scott to⁃pology or Lawson are discussed.It is concluded that the characteristic and density of consistently continuous Domain and those on the related space with Scott topology are consistent，less than that of the related space with Lawson topology respectively.

consistently continuous Domain；local basis；characteristic；density；Scott topology；Lawson topolo⁃gy

O 189.1；O 153.1

：A

：2095-0691（2014）01-0012-04

2013-11-04

国家自然科学基金资助项目（11001001）；安徽省教育厅自然科学基金资助项目（KJ2013A236）

张鹏垚（1990- ），男，甘肃天水人，硕士生，主要从事Domain理论的研究；通讯作者：姜广浩（1973- ），男，江苏沛县人，博士，副教授，主要从事一般拓扑学的研究.