数学解题应体现自然之“真”

作者简介：王婷（1988-），女，汉族，新疆，新疆师范大学数学科学学院在读研究生二年级，课程与教学论专业，中学数学教育方向。

自然界是兼具真、善、美三方面的，“真”也就是老子思想中的“道法自然”[1]，即事物本来的样子，比如“东施效颦”这个典故。把这种思想运用到数学解题中，也就是从题目本意出发，抓住问题的本质，既不夸张卖弄，也非未到火候，自然而然地解决问题。

1.掌握通法——是“真”

数学是一门系统性、逻辑性很强的学科，前、后知识之间具有很强的关联性，不仅如此，所用的解题方法与解题思想也有相通之处。这就为我们解题带来了极大的方便，知识间的融会贯通也就更加自然，每一个步骤是如何联想到的，为什么用这种方法，也就都有了合乎情理的解释，学习者对学科知识的掌握也就会越来越系统。所以，数学解题应注意通性通法的使用。通法也就是通用的方法，它具有普遍适用性的特点。例如《抓住数学本质—用极限方法求渐近线》[2]一文，就是从渐近线的定义出发，即当曲线上的点P（x，f（x））沿曲线无限远离原点时，点P到渐近线方程y=kx+b的距离d无限趋近于0，得到渐近线方程的斜率k=lim〖DD（X〗x→∝〖DD）〗〖SX（〗f（x）〖〗x〖SX）〗及截距b=lim〖DD（X〗x→∝〖DD）〗（f（x）-kx）的表达式，从而得出渐近线方程的普适性的求解方法。这种方法从数学本质出发，从极限的角度探究了渐近线方程的求解过程，思路自然流畅，回归到定义这一最根源的维度，不仅加深了对渐近线定义的认识还方便理解与记忆，大大降低了解题的难度，最重要的是这种方法具有广泛的适用性，使得题目就变得自然、简单、有规律可循了。

另外，通法的使用，一定要找到题目的“源”与“流”之间的关联点与相似之处，理解题源的本质内容与体现的思想，只有这样，才能自如地将方法得到普及，真正做到简化和深化问题，体现自然的规律。下次遇到一道稍加变化的题目，解题者就会明白题目实际上考的是什么样的知识，可能会用到的是什么样的方法，就不会被题目中的陷阱和圈套所蒙蔽，相反，会对题目本身有更深的认识与体会。所以说，解题时，如果可以用通用的方法解某一类题，题目越做越得心应手，学生对知识的掌握、对解题思想的领悟就会越来越真实、自然，也只有这样，才能做到熟能生巧，把知识学精，并在必要时迁移到所需要的领域去。

2.活用技巧——求“真”

在很多时候，我们所见到的题目并非是熟悉并熟练掌握的，因为找不到此题与所熟知的题目或方法之间的联系，对题目的本意就理解的不是那么清晰了，通法就失效了，一时间就使得我们措手不及，不知如何下手。事实上，一些看起来没有见过，很复杂的题目，换个角度或者换一种心态去解题，亦或者做一些适当的变形，就“变”成熟知的、简单的题目，思路顿时就清晰起来了。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”说的就是这个意思。这里适当的变形也就是一些简单而实用的技巧了。

在教学过程中，如果学生将老师所讲的解题方法不经过深层次加工的就装进脑子里，也不思考解题过程中蕴含的解题思想和思维方法，那他脑子里所储存的知识一定是一种“惰性知识”，不仅没有被激活，更不可能有“活水”源源不断地涌入，因为他根本建立不出“活水”与“死水”之间的联系。

3.滥用技巧——失“真”

简单、实用的技巧给我们解题提供了较大的方便，但是，在解题过程中如果一味地追求技巧，节外生枝，使题目面目全非，把简单的题目复杂化，那就不符合自然性的追求了，就有些失真了，这样的解法不能被提倡和推崇。例如[3]：已知x，y，z∈R〖WTBX〗，x+y+z=xyz，求证：〖SX（〗2x〖〗1-x2〖SX）〗+〖SX（〗2y〖〗1-y2〖SX）〗+〖SX（〗2z〖〗1-z2〖SX）〗=〖SX（〗8xyz〖〗（1-x2）（1-y2）（1-z2）〖SX）〗。左边的式子各项分母之积就是等号右边式子的分母，那么很自然的就想到给左边的式子通分，再将分子整理并运用已知所给的条件即可得出等式的右端，即得证。这道题目运用初中的知识就可以解决，且简洁、明了，思路清晰、自然，可是若要用构造三角形，运用tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC的话，虽然一步就得证可是技巧性太高，学生根本不清楚这是怎么想到的，方法也不常用，自然也就学不会，无法掌握其解题本质和内涵。

对待一题多解的态度更是如此，虽然对一题多解的训练会对学生的思维灵活性和广泛性起到很大的帮助，但是课堂还是要“以学生为中心”，要结合学生的身心发展规律，让学生自然而然地学会一种新的解法，不能学习完一种解法之后，会的人只是“凤毛麟角”，这也就失去了传授知识的意义。而且教师应该关注学生的“学情”，了解哪些方法是大多数学生普遍能够掌握的，而哪些方法只受用于极个别的学生。笔者在一些刊物上看到有许多一题多解的文章，有些解法虽然新颖、独特，但却不乏有些做作、夸张的卖弄之嫌。切忌“滥用”一题多解，要知道，世间之事，过犹不及。所以说，人人都喜欢从事自己拿手的事情，在解题过程中，就应该从简单的题做起，从简单、自然的解法学起。过分地追求技巧，追求多解，就有些舍近求远、本末倒置了，从某种意义上说，就歪曲地理解了题目的本意，使题目失去了它原本的样子，不仅没有将题目得到简化，还违背了自然“真”的一面，事实上，简单才是真的真。

4.顺“藤”摸“瓜”——索“真”

然而，有些时候，我们会碰到一些较为复杂的题目，既找不到有什么样的通性、通法可以使用，也一时看不出有可以运用简单技巧的地方，不知道题目出题者的意图，陷入这样一种尴尬境地，使我们进退两难，举棋不定。其实，大可顺应自然，题目怎么说的就怎么去做，从已知条件入手，观察所要求的未知量，并思量已知条件与未知数据之间的差距和联系，也许做着做着，就可以回归到通法的使用上来了。例如2012年新课标全国卷第21题第2问[4]：已知函数f（x）满足f（x）=f′（x）ex-1-f（0）x+〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗x2，若f（x）≥〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗x2+ax+b，求（a+1）b的最大值。初看此题，觉得既含未知元又含有两个参数，给解题带来了诸多的不便，一时想不出什么通法、通性来解决之。无奈之下，只好按照题目的已知条件，原原本本、按部就班的来做，深入之后就会发现，原题就转化为：在满足ex-（a+1）x≥b对x∈R〖WTBX〗恒成立的条件下，求（a+1）b的最大值这样一个不等式恒成立与参数最值相结合的问题了。分析至此，思路就开阔起来了，现在当务之急，是要先求g（x）=ex-（a+1）x这个函数的最小值，而牵扯到最小值，导数在这里就起了举足轻重的作用了，接下来的步骤就好办多了，出题者的意图也就明了了，思路自然就捋清了。真的是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。其实，对于许多偏题、难题，这种顺着已知条件这根“藤”去寻找问题答案的方法比比皆是，因为瓜总是结在有藤的地方，顺着题目所指引的方向去思考，去探索，总能得到你想要的答案。所以，题目怎么说的就怎么解，不必把题目想的很复杂，把题目读懂，根据已知所给出的条件，充分利用之，算着算着，问题的谜团就解开了，这样的方法和思路才是我们一直所推崇的从题目的本意出发，自然而然的解决问题的思想。

因此，数学解题应体现自然之“真”，既不矫揉造作，也不故弄玄虚，越自然、越简单的解法就是越接近学生思维本能的方法，就是越能被學生掌握的解法，也就是在教学中越值得被提倡的方法。让我们一起在数学的解题的过程中去体验自然的真、善、美，领悟大自然教给我们的人生哲理吧。（作者单位：新疆师范大学数学科学学院）

参考文献：

[1]王中江.道与事物的自然：老子“道法自然”实义考论[J].中国哲学，2010，（11）：37.

[2]唐胜忠.抓住数学本质—用极限方法求渐近线[J].中学数学教学参考，2011，（3）：45.

[3]张雄，李得虎.数学方法论与解题研究[M].北京：高等教育出版社，2010：31.

[4]沈良.2012年新课标全国卷第21题的求解与思考[J].中学数学月刊，2013，（2）：49.