透过小窗看风景

干兴军

[摘 要] 本文以人教版教材内容“你知道吗”为例，从解读教材、剖析现状入手，提出“立足阅读资料，在人文润泽中丰盈知识；深挖延伸内容，在原味解读中丰盈知识；体现拓展发散，在升华理解中丰盈知识”三条策略，实现学生的智慧增长.

[关键词] “你知道吗”；知识丰盈；教学策略

课改十年，探索十年，思索十年. 如今，于课改十年之际再回望过去，孩子们摆脱“繁、难、偏、旧”了吗？相较十年前的学生，他们的知识是否更加丰盈？这些都促使我们去理性审视教学中的点点滴滴. 然而一番审视之后，我们不难发现教师们更多关注的还是基础知识的积累和基本技能的培养，课堂也以应试内容为主，对许多丰盈学生数学知识的非应试内容要么忽视不见、不理不睬，要么蜻蜓点水、一带而过，并未真正发挥它的作用. 鉴于此，我们有必要深度解读教材、挖掘内涵，从而让学生享受到知识丰盈带来的无穷乐趣. 现以人教版教材编排的“你知道吗”为例，谈谈笔者对丰盈学生知识的思考与实践.

■ 解读教材：知识丰盈，实则有之

经统计，小学阶段共有阅读材料51篇.从内容安排来看，除一年级不设置外，二年级起就总体呈现越来越丰富的趋势；从学段安排看，第一学段内容占 27.5%，第二学段内容占72.5%.也就是说，随着学生知识的丰富、求知欲的增长，教材安排了更多使学生参与丰富多样、形式各异数学活动的机会，使其有充分的机会了解数学的内涵.通过整理，其大致可分为以下几方面的内容：

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1. 丰富的数学阅读

“你知道吗”中很大一部分内容都是有关数学的阅读资料，其中尤以数学史的介绍和数学课外小知识为最，如四上的阿拉伯数字的历史、一亿的介绍、三位一节的数的写法；五下的古时分数的记法；六上的圆周率介绍等. 这些内容看似跟平时的数学学习没有多大的联系，但其背后蕴涵的思想内涵、渗透的文化色彩都有很强的启迪意义.

2. 实用的课内延伸

“你知道吗”为学生介绍了很多看似不要求，但与日常学习又息息相关的数学概念，如四上的用字母表示直线、射线和线段的方法；还有一些在浙教版教材中重点教学而在人教版教材中淡化的内容，如五上的循环节，五下的分解质因数、用分解质因数的方法求两个数的最大公因数和最小公倍数、互质数，六上的成数等内容，都对课内学习的知识起到很好的补充作用.

3. 充盈的课外拓展

本着“让优生吃好”的理念，“你知道吗”为优等生们提供了广阔的提升自我的平台. 如四上的格子乘法，介绍了明朝《算法统宗》中的“铺地锦”，为学生呈现了别样的多位数乘两位数乘法；四下的高斯算法，为等差数列求和提供了厚实的基础；五上的出入相补算平行四边形面积，为学生呈现了平面图形面积的传统算法，打开了学生视角；六上的扇形、弧、圆心角既让学生欣赏到数学的浓浓魅力，又为学生学习扇形面积打开了思路.

■ 剖析现状：知识丰盈，任重道远

曾几何时，“你知道吗”犹如鸡肋——食之无味，弃之可惜. 然而，2010年在慈溪举行的全国小学数学教学观摩研讨会上，刘德武老师就将其中的《斐波那契数列》正式搬上讲台. 这是否意味着“你知道吗”这一新增内容正由“冰冷的美丽”逐渐走向“火热的思考”，并作为正式教学内容越来越受教师们的青睐呢？为此，笔者就以下几个问题对本校教师进行了问卷调查：

问题一？摇 你关注“你知道吗”的内容吗？

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问题二？摇 你主要关注“你知道吗”的什么内容？

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问题三？摇 对于所关注的内容，你采取什么样的教学方式？

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通过调查不难发现，教师们对“你知道吗”只停留在偶尔关注阶段，面对关注的内容，也多数倾向于与教学内容有关的知识. 至于教学的方式，要么无意识的一句：“同学们自己课外去看看”；要么“蜻蜓点水般浅尝辄止”，它俨然已成了数学教学的“缓冲地”. 细细思量，可主要归纳为以下两点.

1. 不愿教：观念上对“你知道吗”的价值认识不到位

由于数学“双基”教学的强大惯性，有些教师教学中总是有意或无意地维持着“应试”知识为中心的教学观，弱化“你知道吗”的教学，如部分教师认为“你知道吗”的教学往往是在课堂主体环节完成以后才进行的，缺少它并不会影响整节课的完整性，便视其为课堂的点缀，若时间有余，则教；若时间不允许，则跳过去不教. 还有一些教师拒绝、甚至抵触“你知道吗”的教学，认为“你知道吗”不作为考试内容，所以不愿教.

2. 不会教：实践中对“你知道吗”的教学引领不合理

调查中，我们也发现部分教师开始认同“你知道吗”这一新增内容对学生知识丰盈的巨大作用，却苦于不知如何教学. 如有些教师针对这部分内容有时会自己介绍其中的内容，但介绍内容大多与书本上相同，难免给人“照本宣科”之嫌；有时也会让学生自主阅读，但并未在课前精心备课，经常是“蜻蜓点水般地一带而过”，没有对其中的内容进行深入探讨，丰盈学生的数学知识.

经历了解读教材与剖析教师教学的现状，我们愈发觉得在越来越注重学生素质全面发展的今天，光是积累知识、训练技能已远远不能满足社会对教育的要求，只有素质的提升才更利于学生成长. 改革的最终目的是推动教育深入发展，再好的课程、教材，如果不能使学生的数学素养得到全面、主动的发展，仍然不算是真正成功.

因此在现阶段，尤其是身处当下课改十年，课标与教材双双更新的历史大背景下，思考“你知道吗”的教学，摸索有效的教学策略，丰盈学生知识已成为当务之急.

■ 摸索对策：知识丰盈，施施而行

（一）立足阅读资料，在人文润泽中丰盈知识

1. 用“数学的悠久历史”来展现数学知识的丰厚背景

数学知识经历了漫长的发展过程，这一过程及过程背后的发展规律是数学知识的最大魅力所在. “你知道吗”中有很多类似的内容，教师需合理运用这些阅读材料，在教学过程中让学生感受到数学知识的人文润泽，使课堂成为学生终身发展的起点.endprint

如教学“认识分数”一课时，教师通过实例使学生理解了分数的意义、认识到分数在生活中的作用之后，便可和学生一起分享书本103页的“分数在人类不同发展时期的表示方法”，从而更深入地理解分数的内涵和读写、记录、计算、交流在实际生活中的方便快捷. 如此，课堂便不再是学生片面追求知识的场所，而是师生共同发掘人类文明、数学历史的乐园. 不仅如此，鉴于“你知道吗”中52%的内容都是数学史的介绍，教师还可开展一系列诸如“数学名人故事会”“数学历史话吧”“我知数学一二事”等活动，从而真正做到立足阅读材料，使孩子们在人文润泽中丰盈知识.

2. 用“数学的发展历程”来体现数学知识的育人价值

数学家为挚爱的真理而不懈追求的精神在教育学生、启迪学生方面有着重要的意义. 教师可向学生介绍一些数学家执著追求真理的故事，引起学生的共鸣. 这样的教学在丰盈学生知识的同时，无疑也会大大提升数学知识的育人价值.

如教学“圆的认识”一课时，教师在学生通过实践操作理解圆周率之后，可介绍古今中外有关圆周率的发展历程和数学家及数学爱好者的小故事，如祖冲之的故事，以及有的国外数学家已将圆周率算到小数点后几百万位；有的数学爱好者能一口气背出圆周率小数部分很多位等. 再让学生在课堂上进行交流讨论. 学生在这样由古至今、由中及外的数学发展史中感受到人类对数学知识的不懈追求，用数学的曲折历程体现数学的育人价值，进而产生“心向往之”的学习动力.

3. 用“数学的美学价值”来发挥数学知识的无穷魅力

美学特征是数学知识的重要外显性质，教师可利用符号、公式、图形、数学逻辑等体现出来的美学价值，让学生发现数学美，体验数学美，从而感悟数学知识的无穷魅力.

如学习“比的应用”后，教师还可以五角星为例（如图1），向学生介绍“黄金比”的相关知识：最标准的五角星是这样做出来的，AC︰AE=EC︰AC≈0.618，且每条边都满足这个条件，这样的五角星才能带给我们美的享受. 不仅如此，教师还可将“黄金比”这一概念进行推广. 课堂上，教师可向学生介绍头部、面部、手部、躯干等身体各部位的黄金比，激发学生的研究兴趣. 在此基础上，教师还可将“黄金比”这一概念作为研究课题让学生课外去研究，请每个学生都去测量自己肚脐以下身高与整体身高的比，选出本班的“维纳斯女神”，从而发现生活中黄金分割的例子，感受数学知识的无穷魅力.

（二）深挖延伸内容，在原味解读中丰盈知识

“你知道吗”为学生介绍了很多看似不做要求，但又与日常学习息息相关的数学概念，还有一些在老教材中作为重点教学而在新教材中却淡化的内容. 教师有必要深挖这些内容，让学生去触及、分享这些思维，使学生在知识的原味解读中丰盈，进而让学生体验到，通过自身经验的累积也可以创造“知识”. 只有如此，我们才能把“你知道吗”真正变成学生的“知道”.

1. 数学过程的丰盈充实

很多数学知识都具有高度抽象性，学生理解起来比较困难. 为此，教材简化了一些解决的方式方法，力求能使学生简明易懂. 如人教版五下有关质数与因数的教学内容，教材中介绍求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是用列举法. 但是列举法局限于两个数字比较小的数之间的计算，对于一些数字稍大或解决不同类型的问题时，列举法就显得捉襟见肘. 因此，教师在教学时必然要引入简单易懂且容易操作的“短除法”“分解质因数法”等，将数学的学习过程与解决问题的策略、方法不断丰盈、充实.

如教学“因数与质数”这一单元时，教师可提出问题：“A=2×3×m，B=2×7×m，求A，B的最大公因数或最小公倍数”，使学生感知列举法的局限，凸显出用短除法分解质因数（找相同质因数）求最大公因数和最小公倍数的优越性，即A，B之间有相同的质因数2和m，所以最大公因数就是2m，最小公倍数是2×3×7×m=42m. 既然可以简便求出最大公因数和最小公倍数，学生学起来也不累，那就是好方法，就要介绍. 如此，学生以分解质因数的概念为依托，再遇到“三个小朋友的年龄为连续自然数，且年龄乘积为504，问三个小朋友的年龄各是几岁”之类的问题就游刃有余得多了.

2. 数学知识的还原完善

为了让学生更好地理解、掌握不同阶段的知识，人教版教材在教学内容的编排上往往采用螺旋上升的方式，但这样的编排并非尽善尽美，常常欲言又止，采用“你知道吗”的形式进行介绍，会让教师不能不教. 此时，教师在课堂内就可向学生渗透、完善数学知识，使学生既学得轻松，又知得深远.

如教学“垂直与平行”时，教师可结合书本69页“你知道吗”的相关内容，向学生展示用两个字母表示线段的方法，学生便可一目了然地知道两条线之间的区别，教师也不必在黑板上用手比划着说这条线段、那条线段. 况且后续学习中，所有涉及几何方面的知识都用字母来表示点、线、面. 教师在此时就将“你知道吗”的这部分内容作为一个基础性知识来开展教学，也是无可厚非的. 如此为之，一节课所展现的教学内容就显得完整而充实，方便而简洁. 与此类似的还有“循环节的认识”“一个最简分数能否化成有限小数的判断”等数学知识，这些内容都需要教师在日常教学时就进行还原完善，丰盈学生的数学知识.

3. 数学规则的理性思考

数学规则千变万化，但总有规律可循. 教师可将学生置身于规则发生、发展的过程，引导他们亲历观察、猜想等数学活动，进而获得一种充满张力的理性思考，并渐渐沉积为内在的知识丰盈.

如“满十进一”是我们数学的重要规则之一. 教师在学生认识“十进制”后，可进一步拓宽其视野，介绍关于二进制、五进制、七进制的知识，并依托“你知道吗”栏目中的二进制内容，设计“认识二进制”的数学综合实践课进行适度开掘. 在此基础上，教师再引导他们思考诸如“不同的进制间有什么共同的地方”“十进制被广泛应用，可能的原因是什么”“如果将十进制改为二进制，对数会产生怎样的影响”等问题，使其对数学规则展开理性思考，初步感受到数学知识的建构过程，扩展学生计数知识的结构，并逐渐成为一种知识积淀.endprint

（三）体现拓展发散，在升华理解中丰盈知识

数学的魅力不仅在于知识本身和它的内涵，更在于它的应用价值. 为此，教师可适当创设一些实践性的学习情境，通过一系列充满开放性、富有挑战性的活动，帮助孩子们用数学知识解决生活中的实际问题，构建和发展有现实意义的认知结构.

1. 体现知识的发展目标

学习数学的目的是为了将来更好地用数学，教师应着眼学生的终身发展，体现知识的发展目标，继而延伸、发散，进一步充实、完善学生的认知结构.

如学习“圆的认识”后，教师可就此介绍“你知道吗”中有关扇形、弧、圆心角的相关知识，使学生了解扇形定义与圆心角的定义，并初步掌握“通过圆心角与圆周角的比”来计算扇形面积的计算方式. 如此为之，学生对后续学习的扇形统计图、第三学段的扇形面积计算等知识发展目标也就有所展望，一条螺旋上升的知识链也就在心中逐渐形成.

2. 体现知识的实际应用

体现知识的实际应用，就是让学生成为知识的实践者. 如此，学生在解决问题时，不仅巩固了新知，而且运用创造性方法解决问题，创新精神得到培养，为今后解决问题打下基础.

如学习“加法运算定律”后，教师借由问题“如何计算1至100相加”向学生们介绍高斯算法，体现简便计算方法的实际应用. 学生明确题意后可罗列出多种方法：有“两两相加得100，计算原式有多少个100”的凑数法、也有“首尾相加得101，计算原式有多少101”的首尾相加法. 而且，在学习五上91页梯形面积公式应用时（见图2），教师就可旧事重提，将高斯算法穿插其中，使学生明确“其实顶层根数相当于首项、底层根数相当于末项、层数就相当于项数”. 如此，既将数学学习过程充实、丰盈，又用数形结合的思路深刻理解问题的解决方法，体现知识的实际应用.

3. 体现知识的内蕴思想

数学方法、思想比较内隐，常潜伏于日常学习过程之中，这就需要教师敏锐地予以捕捉、判断、放大、外化，并在课堂上予以传递. 如此，学生既有了对所学内容的整体把握，又能够融会贯通地理解数学思想方法，势必会在原有基础上有进一步提升.

如教学五上“多边形的面积”之后，教师就可介绍“刘徽用出入相补原理计算平面图形的面积”，使学生掌握原有平面图形面积计算的基础上，学会将一个图形经过分割、移补的方法转化为长方形进行面积计算. 如此教学，不但向学生渗透了数形结合思想，还向学生渗透了等积转化的思想，为后续的空间与图形学习打下了扎实基础.

■

数学课程标准中指出：“数学教学可在适当的地方介绍一些有关数学发现与数学史的相关知识，丰富学生对数学的整体认识，对后续学习起一定的激励作用. ”这就要求教师在培养双基之余能丰盈学生的数学知识，使其既了解知识的起点，又能对知识的长远发展有所展望. 这对学生的成长无疑是一种启蒙和洗礼. 只要我们在日常教学中多挖掘与渗透，那么小学六年的数学学习对学生而言必然是一趟美妙、丰硕的知识丰盈之旅. 如今，我们即将迎来下一轮课改，让我们继续行走在探索的道路上，在实际教学中不断探索、总结、反思、改进，待到丰收时，让他们粒粒饱满，颗颗归仓.endprint

（三）体现拓展发散，在升华理解中丰盈知识

数学的魅力不仅在于知识本身和它的内涵，更在于它的应用价值. 为此，教师可适当创设一些实践性的学习情境，通过一系列充满开放性、富有挑战性的活动，帮助孩子们用数学知识解决生活中的实际问题，构建和发展有现实意义的认知结构.

1. 体现知识的发展目标

学习数学的目的是为了将来更好地用数学，教师应着眼学生的终身发展，体现知识的发展目标，继而延伸、发散，进一步充实、完善学生的认知结构.

如学习“圆的认识”后，教师可就此介绍“你知道吗”中有关扇形、弧、圆心角的相关知识，使学生了解扇形定义与圆心角的定义，并初步掌握“通过圆心角与圆周角的比”来计算扇形面积的计算方式. 如此为之，学生对后续学习的扇形统计图、第三学段的扇形面积计算等知识发展目标也就有所展望，一条螺旋上升的知识链也就在心中逐渐形成.

2. 体现知识的实际应用

体现知识的实际应用，就是让学生成为知识的实践者. 如此，学生在解决问题时，不仅巩固了新知，而且运用创造性方法解决问题，创新精神得到培养，为今后解决问题打下基础.

如学习“加法运算定律”后，教师借由问题“如何计算1至100相加”向学生们介绍高斯算法，体现简便计算方法的实际应用. 学生明确题意后可罗列出多种方法：有“两两相加得100，计算原式有多少个100”的凑数法、也有“首尾相加得101，计算原式有多少101”的首尾相加法. 而且，在学习五上91页梯形面积公式应用时（见图2），教师就可旧事重提，将高斯算法穿插其中，使学生明确“其实顶层根数相当于首项、底层根数相当于末项、层数就相当于项数”. 如此，既将数学学习过程充实、丰盈，又用数形结合的思路深刻理解问题的解决方法，体现知识的实际应用.

3. 体现知识的内蕴思想

数学方法、思想比较内隐，常潜伏于日常学习过程之中，这就需要教师敏锐地予以捕捉、判断、放大、外化，并在课堂上予以传递. 如此，学生既有了对所学内容的整体把握，又能够融会贯通地理解数学思想方法，势必会在原有基础上有进一步提升.

如教学五上“多边形的面积”之后，教师就可介绍“刘徽用出入相补原理计算平面图形的面积”，使学生掌握原有平面图形面积计算的基础上，学会将一个图形经过分割、移补的方法转化为长方形进行面积计算. 如此教学，不但向学生渗透了数形结合思想，还向学生渗透了等积转化的思想，为后续的空间与图形学习打下了扎实基础.

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数学课程标准中指出：“数学教学可在适当的地方介绍一些有关数学发现与数学史的相关知识，丰富学生对数学的整体认识，对后续学习起一定的激励作用. ”这就要求教师在培养双基之余能丰盈学生的数学知识，使其既了解知识的起点，又能对知识的长远发展有所展望. 这对学生的成长无疑是一种启蒙和洗礼. 只要我们在日常教学中多挖掘与渗透，那么小学六年的数学学习对学生而言必然是一趟美妙、丰硕的知识丰盈之旅. 如今，我们即将迎来下一轮课改，让我们继续行走在探索的道路上，在实际教学中不断探索、总结、反思、改进，待到丰收时，让他们粒粒饱满，颗颗归仓.endprint

（三）体现拓展发散，在升华理解中丰盈知识

数学的魅力不仅在于知识本身和它的内涵，更在于它的应用价值. 为此，教师可适当创设一些实践性的学习情境，通过一系列充满开放性、富有挑战性的活动，帮助孩子们用数学知识解决生活中的实际问题，构建和发展有现实意义的认知结构.

1. 体现知识的发展目标

学习数学的目的是为了将来更好地用数学，教师应着眼学生的终身发展，体现知识的发展目标，继而延伸、发散，进一步充实、完善学生的认知结构.

如学习“圆的认识”后，教师可就此介绍“你知道吗”中有关扇形、弧、圆心角的相关知识，使学生了解扇形定义与圆心角的定义，并初步掌握“通过圆心角与圆周角的比”来计算扇形面积的计算方式. 如此为之，学生对后续学习的扇形统计图、第三学段的扇形面积计算等知识发展目标也就有所展望，一条螺旋上升的知识链也就在心中逐渐形成.

2. 体现知识的实际应用

体现知识的实际应用，就是让学生成为知识的实践者. 如此，学生在解决问题时，不仅巩固了新知，而且运用创造性方法解决问题，创新精神得到培养，为今后解决问题打下基础.

如学习“加法运算定律”后，教师借由问题“如何计算1至100相加”向学生们介绍高斯算法，体现简便计算方法的实际应用. 学生明确题意后可罗列出多种方法：有“两两相加得100，计算原式有多少个100”的凑数法、也有“首尾相加得101，计算原式有多少101”的首尾相加法. 而且，在学习五上91页梯形面积公式应用时（见图2），教师就可旧事重提，将高斯算法穿插其中，使学生明确“其实顶层根数相当于首项、底层根数相当于末项、层数就相当于项数”. 如此，既将数学学习过程充实、丰盈，又用数形结合的思路深刻理解问题的解决方法，体现知识的实际应用.

3. 体现知识的内蕴思想

数学方法、思想比较内隐，常潜伏于日常学习过程之中，这就需要教师敏锐地予以捕捉、判断、放大、外化，并在课堂上予以传递. 如此，学生既有了对所学内容的整体把握，又能够融会贯通地理解数学思想方法，势必会在原有基础上有进一步提升.

如教学五上“多边形的面积”之后，教师就可介绍“刘徽用出入相补原理计算平面图形的面积”，使学生掌握原有平面图形面积计算的基础上，学会将一个图形经过分割、移补的方法转化为长方形进行面积计算. 如此教学，不但向学生渗透了数形结合思想，还向学生渗透了等积转化的思想，为后续的空间与图形学习打下了扎实基础.

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数学课程标准中指出：“数学教学可在适当的地方介绍一些有关数学发现与数学史的相关知识，丰富学生对数学的整体认识，对后续学习起一定的激励作用. ”这就要求教师在培养双基之余能丰盈学生的数学知识，使其既了解知识的起点，又能对知识的长远发展有所展望. 这对学生的成长无疑是一种启蒙和洗礼. 只要我们在日常教学中多挖掘与渗透，那么小学六年的数学学习对学生而言必然是一趟美妙、丰硕的知识丰盈之旅. 如今，我们即将迎来下一轮课改，让我们继续行走在探索的道路上，在实际教学中不断探索、总结、反思、改进，待到丰收时，让他们粒粒饱满，颗颗归仓.endprint