试论数学理性主义的形成与发展

2014-03-30罗玉萍

华北水利水电大学学报(社会科学版) 2014年2期

罗玉萍

(郑州大学马克思主义学院，河南郑州 450001)

数学是人类理性的产物，是我们与感性知觉世界之间联系最为有效的纽带。随着数学的发展和人类文明的进步，人类逐步从纷繁复杂的现象中把握自然规律，在这一过程中数学履行着科学的认识功能，提供了研究自然界的有力工具。随着科学技术的进步，数学在人类理性发展过程中的作用不断地突显出来，并为人类思维所理解。数学不仅直接关系到科学研究的基本方法，而且也表明了科学研究的基本目标——揭示自然界内在的数学规律。数学理性精神的形成与发展对人类认识世界、把握自然规律具有重要意义。

一、数学方法的形成

数学方法对于自然科学的必要性和重要性，古希腊人早就认识到了。“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目标，也不可理解它的成就。”［1］(P114)古希腊人给自然科学提出了精确性的规范。“把对自然作用力的神秘、玄想和随意性去掉，并把似属混乱的现象归结为一种井然有序的可理解的格局，走向这方面的有决定意义的一步是数学的应用。第一批提出这种合理化和数理哲学性自然观的人是毕达哥拉斯学派。”［1］(P167)“素以数学领先的所谓毕达哥拉斯学派不但促进了数学研究，而且是沉浸在数学之中，他们认为，‘数’乃万物之源。……他们想到自然间万物似乎莫不可由数组成，数遂为自然间的第一义;他们认为，数的要素即万物的要素，而全宇宙也是一数，并应是一个乐调。”［2］(P12－13)在毕达哥拉斯看来，万物皆为数，世界是数与和谐。这种和谐关系也就是万物之间的关系，它们构成世界的秩序。因此，用数学就能从纷繁复杂的万物现象中把握自然的规律，从而履行科学的认识功能。毕达哥拉斯的这一思想是近代和现代科学的精确性理想和科学方法论精确性原则的发端。数作为始基，揭示了万物普遍具有量的规定。从自然哲学的方法论上来说，就是用数学去解释万物，以定量分析的方法从整体上把握自然。

毕达哥拉斯的数学方法论思想为柏拉图所发展。罗素指出:“所谓柏拉图主义的东西倘若加以分析，就可以发现在本质上不过是毕达哥拉斯主义罢了。”［3］(P65)在毕达哥拉斯那里，数是和具体物体相联系的，有其物质基础。而在柏拉图那里，数已脱离具体事物抽象为理念。柏拉图把“万物皆为数”同“理念论”相结合，把数学模型印在始基上。“柏拉图在他的理念中，着手根据数学模型来构造宇宙。”［4］(P120)柏拉图认为科学知识来源于可洞见的理念世界，而理念世界是由数和形组成的。这就是说，科学认识就在于用数学概念的体系去把握自然。这条方法论原理成为西方科学传统的一个重要因素和环节。柏拉图认为，可感觉的事物构成物理世界，概念也构成一个世界，即理念世界，洞见理念而获得的知识必须加以证明，而这种证明应以某些概念作为出发点即公理。柏拉图提出，应从自明的假设出发进行证明。这一方法对于希腊数学的发展具有极端重要性，它是古希腊科学方法论的最高成就——公理方法的开端，而且，克莱因指出:“至少从柏拉图时代起，数学上就要求根据一些公认的原理作出演绎证明。”［1］(P52)

从毕达哥拉斯到柏拉图发展的数学方法论，为自然科学的发展奠定了方法论基石，开创了精密科学传统。希腊科学与当代科学的连续性就在于:“象希腊人一样，我们也假设出一些理论上的实体去解释现象，象希腊科学一样，我们的科学也具有关于物质世界的基本的数学结构的深刻意义。”［4］(P131)

二、科学的数学化

近代时期，欧洲的科学家注意到数学在自然科学研究上的重要性。这种信念最有力的证据是哥白尼和开普勒的工作，他们为了具有数学优越性的理论而坚决地去推翻久已被公认的天文学和力学的定律以及宗教信条。17世纪，笛卡尔和伽利略选定科学应该使用的概念，重新规定科学活动的目标，改变科学中的方法论，把理论科学归结到数学。他们这样做，不仅使科学得到出乎意料和史无前例的力量，而且把科学和数学紧密地结合起来。因此，要想理解从17世纪到19世纪数学推动科学的力量，就必须先考察笛卡尔和伽利略的思想。

在自然哲学中，笛卡尔是哲学学派——“唯理论”(rationalism)的奠基者。笛卡尔把数学看作是哲学方法的典范，并致力于创建一个具有数学确定性的思想体系。“我们如何去把握清晰明确的知识，应该运用什么方法?数学是榜样，给我们提示了推理应遵循的步骤;只有数学家能够发现确实而自明的命题。”［5］(P286)笛卡尔要求把一切“放在理性尺度上校正”，即用理性作为改造一切、判断一切的准绳。只有在数学中，笛卡尔找到了他所追求的明晰性和确定性。笛卡尔宣称，科学的本质是数学。客观世界是固体化了的空间，或者是几何的化身，因此，它的性质应该可以从几何的基本原理推导出来。对笛卡尔来说，数学是明晰和确定的知识模式，它一步步地从一个不容置疑的结论推向另一个结论。数学又是最可靠、确定的科学。笛卡尔认为在所有科学中，唯有算术和几何学是摆脱了错误或不确定的，古代几何学家使用了一种可靠的分析方法，他们将这种分析方法延伸到对所有问题的解决上，因而数学是通往其他学科的大门。既然数学方法是发现真理的方法，那就应当在数学中，寻求理智活动的法则。通过对数学的系统考察和反思，使笛卡尔设想到所有进入人的认识之中的事物很可能是以同样方式互相关联着的。人们只要反省一下就可以看到，除了数学以外，其它被称之为知识的东西，显得是不确定的，没有体系的，并且不为任何共同的证明方法所支持。因此，要为混乱的哲学和物理学引进明晰和一致的数学演绎方法，光凭逻辑学的原则还不能建立起真正的知识，必须把数学方法加以泛化和扩展，“移植”到哲学中去，即必须找到一条清楚明白的基本原理作为哲学出发点，并经过演绎，从中推出整个哲学体系来。因为只有通过体系和方法，知识才能建立在可靠的基础上。因此，笛卡尔方法论的基本特征就是把数学方法和演绎方法相结合。

现代德国著名物理学家W.海森堡曾精确地表明这一点:“这个科学新时代的第一个大哲学家是笛卡尔，他生活在17世纪的前半期。他的那些对科学思想发展最为重要的观念，包含在他的《方法论》之中。……他第一次系统地表述了在意大利文艺复兴和宗教改革时代已露端倪的人类思维的倾向。这种倾向就是对数学兴趣的复合……，对数学的日益增长的兴趣倾向于这一哲学体系，这种哲学体系从逻辑推理开始，并试图从这种方法得到某些象数学结论那样肯定的真理。”［6］(P39－40)

伽利略和笛卡尔一样，相信自然界是用数学设计的，自然界是简单而有秩序的，它的行动是规则的而且必要的。伽利略提出用数学公式描述自然规律的方法论原理，使精密科学知识的理想成为现实。伽利略、惠更斯和牛顿都是以数学家的身份去探索自然。无论在一般方法上或具体研究上，都期望通过直观或通过关键性的观察和实验去了解广泛的、深刻的、清晰的而又不变的数学原理，然后从这些基本原理导出新的定律。正如克莱因所说:“后来科学的发展，尤其是牛顿物理学的创立表明，伽利略追求描述的决定性，是历来关于科学方法论的最深刻、最有成效的思想。”［7］(P39)17世纪的科学家所想象的科学的正当程序，是用理性去寻找自然界的定律，使数学理论达到广博与完善的地步。在后来的两个多世纪中，科学家根据极少甚至琐碎的观测和实验，给出了深刻而广泛的自然定律。

三、数学理性主义的发展

在各门科学中，数学与哲学有着最为密切的联系。“所以科学，包括逻辑和数学在内，都是有关时代的函数——所有科学连同它的理想和成就统统都是如此。”［1］(P16)从毕达哥拉斯数是万物的本源，到柏拉图的理念论、笛卡尔的解析法、莱布尼茨的符号体系、康德的先验论、弗雷格与罗素及维特根斯坦的分析哲学、希尔伯特的逻辑系统和元数学思想等等，都与数学理性主义的发展有着密不可分的关系。正如克莱因所说:“数学分析与自然界本身同样的广阔。”［7］(P239)

莱布尼茨被公认为是数理逻辑的奠基人。他认为:“宇宙是一个数学——逻辑的体系，只有理性能够阐明。”［5］(P386)同时，他认为传统形式逻辑不适应人们思维的需要，必须创设一种新逻辑，这种新逻辑可以使思想归于一种计算，通过计算，人们可以从一个或几个已有思想，根据有关的演算规则，演绎出某个新思想，这就是把传统的逻辑推理转变为数学运算。莱布尼茨赞同数学方法，他首先创设一种适用于各种科学的普遍的科学方法，即“通用数学”。按照这种思想，他创设了数理逻辑不可缺少的符号。

除了是一位出众的天才数学家、逻辑学家之外，莱布尼茨亦是欧陆理性主义的代表，传承了西方哲学传统的思想。在其著作《单子论》中，莱布尼茨区分了两种真理，即理性真理和事实真理。他认为理性真理是必然的，事实真理是偶然的。数学原理和逻辑规则属于“理性的真理”，而对实际存在的事物和现象的认识则属于“事实的真理”。莱布尼茨强调理性真理的先天性，反对任何经验的论证。他认为:“无可争辩的是，感觉不足以使人看出真理的必然性，因此心灵有一种禀性，来从自己内部把这些必然真理引出来……对于一个普遍的真理，不论我们有关于它的多少特殊经验，如果不靠理性认识它的必然性，靠归纳是永远不会得到它的确实保证的。”［8］(P49)莱布尼茨认为先天知识的必然性归结为一种逻辑分析的必然性，事实真理是综合的知识，它并不具有必然性。在认识论方面，莱布尼茨继承了古代柏拉图和近代笛卡尔的唯心主义先验论，积极鼓吹带有普遍性和必然性知识的天赋性。莱布尼茨的认识论以他的形而上学的前提为基础，沿袭唯理主义思想，认为真正的知识是普遍和必然的，不是建立在导源于经验的原则上。在他看来，数学方面的知识完全是天赋的。“应该说，全部算术和全部几何学都是天赋的，是实际存在于我们自身之中的。只要我们细心加以思考，就可以在心中发现它们。”［8］(P78)在这个意义上，“算术和几何学潜在于人心中，不必利用任何经验的真理，就可以从心中提取出来”［5］(P387)。

逻辑主义的兴起肇始于弗雷格。逻辑主义哲学的基本观点可以概括为:数学可以划归为逻辑。弗雷格用“定理与公理的关系来描述算术的真命题与逻辑的真命题的关系”［9］(P32)。他认为逻辑依赖两个主要思想:第一，严格的公理化;第二，建立一种数学严密性的特殊语言。对于建立逻辑，公理方法是十分必要的，要建立逻辑公理的方法，符号语言是绝对必要的。弗雷格考察了逻辑和数学的关系，认为只有数学方法才能使逻辑建立起完全符号化的演算系统。弗雷格认为我们能够计算成为思维对象的所有事物，基于算术的初始命题可以扩展至所有可以思维的事物，这种最普遍的命题应恰当地归于逻辑。从算术的这种逻辑的或形式的特征出发，他得出:“算术独立于事物所有的特殊性质，对于算术的基础，它们必定属于纯粹逻辑的性质。所有算术的东西应当通过定义转化为逻辑的东西。”［10］(P290)他通过考察算术学的问题最后得出数学是逻辑的延伸，逻辑是数学的前科学的结论。而且，弗雷格力图把整个数学逻辑化，提倡逻辑主义和对语言的逻辑分析，极力主张把逻辑的东西与心理的东西分析开来。

弗雷格认为日常语言使用的是自然语言，而自然语言词意混乱，含混不清，容易产生误解，因此应建立一种“逻辑上完善”的科学语言，即形式化的人工语言。哲学研究的首要任务就在于对语言的意义理论研究。因为日常语言不足以使思维避免错误，只有符号语言才能避免语言的模棱两可和歧义性。他的这种观点对现代西方科学主义思潮的语言学转向和分析哲学化起了开端作用。他认为:“哲学的任务是打破语词对人类精神的统治，揭示几乎无法避免的出自语言用法的关于概念关系的欺骗，把思想从语言表达方式性质的影响中解放出来。我的概念文字(符号逻辑)能够成为哲学家们用以推进这种目的的有效工具。”［11］(P12－13)弗雷格的这个观点为整个科学主义语言分析哲学思潮确定了方向。后来罗素的关于“逻辑是哲学的本质”是他这一观点的进一步发展。

罗素是英国新实在论的创始人之一，在数理逻辑方面做出了重要贡献。他被认为是与弗雷格、维特根斯坦和怀特海一同创建了分析哲学。罗素认为哲学和其它自然科学的不同只是在于研究方向上，它们的研究方法应该是相同的。罗素认为哲学就是对包含着描述的命题进行分析，哲学和数学一样，通过应用逻辑学的方法就可以获得确定的答案，而哲学家的工作就是发现一种能够解释世界本质的一种理想的逻辑语言。罗素坚持实证主义的观点，认为科学的任务是根据思维经济原则对观察和实验中获得的经验材料作化繁为简的整理。他进一步把马赫主义的观点数理逻辑化，从而形成了逻辑原子主义这个新流派。逻辑原子主义对命题进行分析所要遵循的基本原则是:“我们了解的每一个命题都必须完全由我们所认识的成分组成。”［12］(P46)“凭借描述而知道的知识最后可以转化为凭借认识而知道的知识。”［12］(P46)经验中最简单也是最具普遍性的方法是罗素的“亲知”，“亲知是所有认知关系的先决条件，亲知是不必具有本质共同性的主体与客体之间的一种二元关系，对亲知进行分析就是对命题进行分析。”［13］(P155)同时，罗素提出一种逻辑构造的方法:“我们的逻辑技术所做的一件事就是为我们提供一种方法，来构造具有最小装置的符号命题的一个给定的主体，而在装置方面的每一次缩小都会减少犯错误的危险性。”［13］(P339)他认为:“一切复杂的知识如科学的理论、概念和知识体系等等都只是直接经验知识的逻辑构造，都应还原为直接经验知识并对其进行逻辑分析，以保证其确定性或可靠性。”［14］(P123)罗素发展了逻辑分析的方法，对西方分析哲学思潮产生了广泛而深刻的影响。

四、结语

古希腊数学理性的发展与科学的数学化奠定了理性主义和早期科学主义的传统。笛卡尔和莱布尼茨发展了数学方法，并用数学方法发展了传统逻辑，使之适合近代科学方法论要求。逻辑方法和数学方法的相互促进，是建立在逻辑和数学难分难解的相互关系之上的。数学方法的引入，引起了逻辑变革，导致现代形式逻辑即数理逻辑的产生;而数理逻辑的发展，它反过来在19世纪末20世纪初又成为促进数学变革的方法。随着理性主义的发展，莱布尼茨的通用数学思想、弗雷格的哲学逻辑化思想和罗素的逻辑原子主义思想到后来的逻辑经验主义，对西方分析哲学产生重要而深远的影响。从逻辑本身发展来看，这导致它走向现代阶段——数理逻辑或符号逻辑阶段。

数学是一项纯粹的人类创造，它为我们开辟了通往自然某些领域的道路，使人类在探索自然的奥秘方面走得更远。正如恩格斯所言:“数学是辩证的辅助工具和表现方式——数学的无限出现在现实中。”［15］(P3)而数学理性精神的形成与发展对人类社会的进步与发展有着特殊重要的意义。正如克莱因所说:“在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞和驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活;试图回答有关人类自身存在提出的问题;努力去理解和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”［16］因此，数学在自然科学的发展过程中始终起着方法论的作用，而数学理性主义的方法对西方科学哲学尤其是分析哲学产生了重要而深远的影响。

［1］［德］F.克莱因.古今数学思想(第1册)［M］.张理京，张锦炎，译.上海:上海科学技术出版社，1979.

［2］［古希腊］亚里士多德.亚里士多德全集(第七卷)［M］.苗力田，译.北京:中国人民大学出版社，1993.

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［6］［德］海森堡.物理学和哲学［M］.范岱年，译.北京:商务印书馆，1981.

［7］［德］F.克莱因.古今数学思想 (第2册)［M］.北京大学数学系数学翻译组，译.上海:上海科学技术出版社，1979.

［8］［德］莱布尼茨.人类理智新论［M］.陈修斋，译.北京:商务出版社，1982.

［9］［德］弗雷格.算术基础［M］.王路，译.北京:商务印书馆，1998.

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［11］ Gottlob Frege.Concept.script，a formal language of pure thought modeled upon that of arithmetic.Cambridge:harvard universitr press，1967.

［12］［英］罗素.哲学问题［M］.何兆武，译.北京:商务印书馆，1999.