一般曲线坐标系下的质点动力学方程

李文略

(湛江师范学院基础教育学院，广东湛江524037)

0 引言

在现行的理论力学教科书和一些研究文献中，质点的动力学方程的具体形式主要是惯性系和非惯性系中的笛卡尔坐标系下的质点动力学方程，以及惯性系中的球坐标系和柱面坐标系下的质点动力学方程[1-6].得到这些质点动力学方程的方法主要是应用牛顿定律和拉格朗日方程.文[7]通过张量分析的矩阵方法，推导出了曲线坐标系下质点动力学方程的数学形式.笔者将由该数学形式出发，推导出惯性系和非惯性系中一般曲线坐标系下(球坐标系、圆柱面坐标系)质点动力学方程的具体形式.

1 曲线坐标系下质点动力学方程的数学形式及其物理意义

假设质量为m的质点在协变曲线坐标系→φ中的坐标与笛卡尔坐标之间的关系为u1=(x，y，z)，u2=(x，y，z)，u3=(x，y，z)，则质点在曲线坐标系中的位置矢量可表示为→r(t)=→r(u1(t)，u2(t)，u3(t)).质点的速度为

结合矢量对空间导数的公式，质点在曲线坐标系中的加速度为

文[7]在推导公式(3)的过程中，并没有设定曲线坐标系(即参考系)的运动状态，故此处的加速度在物理上具有普遍的意义.若该曲线坐标系是惯性系，则该加速度为绝对加速度;若该曲线坐标系是非惯性系，则该加速度为相对加速度.无论是在惯性系中，还是在非惯性系中，均可应用式(2)求得质点在所在参考系中的加速度.所不同的是，式(3)等号右边所表示的力.若曲线坐标系为惯性系，式(3)等号右边的力为真实力的合力;若曲线坐标系为非惯性系，式(3)等号右边的力为真实力与惯性力的合力.由此可得知，在惯性系和非惯性系中，曲线坐标系下质点的动力学方程的数学形式均是式(3).为便于讨论和理解，式(3)改写为

式中，等号右边第一项表示质点受到真实力的合力，第二项表示质点受到惯性力的合力.

式(4)为曲线坐标系下质点动力学方程的数学形式.式中各项是在协变曲线坐标系下，用逆变分量表示的.若为非惯性系，等号右边第二项不为零;若为惯性系，等号右边第二项为零.质点在非惯性系中动力学方程的矢量表达式[1]，与本文不同的是其相对加速度以矢量的简洁形式出现，具体的形式并没有表达出来.

2 一般曲线坐标系下的质点的动力学方程

2.1 惯性系中球坐标系下质点的动力学方程

设球坐标系的坐标变量为r，θ，φ，其与笛卡尔坐标系的关系式为x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ.协变球坐标系的三个当地协变基矢量为为质点的位置矢量.逆变球坐标系用符号表示为逆变基矢量.

在球坐标系下，计算式(4)等号左边第一项

将这些关系代入式(7)得

球坐标系的三个协变基矢量与其相对应的单位基矢量的关系为

将式(9)、式(8)代入式(4)中，进行矩阵运算可脱出

式中Fr、Fθ、Fφ表示真实力的物理分量，与以之对应的数学分量的关系为Fr=F1，Fθ=rF2，Fφ=rsinθF3.

式(10)为在惯性系下，球坐标系中质点的动力学方程的具体形式.

2.2 惯性系中圆柱面坐标系下质点的动力学方程

设圆柱面坐标系的坐标变量为ρ，φ，z，其与笛卡尔坐标系的关系式为x=ρcosφ，y=ρsinφ，z=z.协变圆柱面坐标系j的三个当地协变基矢量为为质点的位置矢量.逆变圆柱面坐标系用符号表示为逆变基矢量.

在圆柱面坐标系下，计算式(4)等号左边第一项

圆柱面坐标系的3个协变基矢量与其相对应的单位基矢量的关系为

将式(15)、式(14)代入式(4)中，进行矩阵运算可脱出

式中Fρ、Fφ、Fz表示真实力的物理分量，与以之对应的数学分量的关系为Fρ=F1，Fφ=ρF2，Fz=F3.式(16)为在惯性系中，圆柱面坐标系下质点的动力学方程的具体形式.

2.3 匀速转动参考系中质点动力学方程的具体形式

上两式中，球坐标系的协变度量六面体体积Ω=r2sinθ，逆变度量六面体体积是矢量在球坐标系中的升张量.

上两式中，圆柱面坐标系的协变度量六面体体积Ω=ρ，逆变度量六面体体积是矢量在圆柱面坐标系中的升张量.

将式(17)、(18)结合式(10)代入式(4)中，进行矩阵运算，可得到在匀速转动参考系中，球坐标系下质点动力学方程的具体形式为

将(19)(20)式结合式(16)代入式(4)中，进行矩阵运算，可得到在匀速转动参考系中，圆柱面坐标系下质点动力学方程的具体形式为

笛卡尔坐标系可视为特殊的曲线坐标系，其克里斯托费尔张量Γ1=0.将(21)(22)式代入式(4)中，进行矩阵运算，可得到在匀速转动参考系中，笛卡尔坐标系下质点动力学方程的具体形式为

应用曲线坐标系下质点动力学方程的数学形式，推导出了惯性系中和匀速转动参考系中，质点在一般曲线坐标系下的动力学方程的具体形式.式(10)、式(16)、式(23)、式(24)和式(25)).式(10)、式(16)和式(25)利用牛顿定律或拉格朗日方程法[3-5]推导得到的结果是一致.

[1] 李俊峰，张雄.理论力学[M].北京:清华大学出版社，2010:188－189，194-195.

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[3] 周衍柏.理论力学教程[M].北京:科学出版社，1986:291-294.

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[7] 李洲圣，唐长红.三维空间张量分析的矩阵方法[M].北京:航空工业出版社，2010:232-233.