强n－Ding投射，强n－Ding内射和强n－Ding平坦模

赵体伟，谭玲玲

（湖北大学数学与统计学学院，湖北武汉430062）

0 引言

本文中，除非特别申明，所有环R均指有单位元的结合环，所有R－模均为左R－模.若M是R－模，则一般把M的投射，Ding投射和Gorenstein投射维数分别记作pdR（M），D.pdR（M）和G.pdR（M）.内射和平坦方面的维数也采用此类记法.环R的整体维数记作gldim（R）.R－模M的特征模HomZ（M，Q／Z）记作M＋.

R－模M叫做Ding－投射的，如果存在投射R－模正合列P＝…→P1→P0→P0→P1→…，使得对任意平坦模F，复形HomR（P，F）都是正合的，且M≅ker（P0→P1）.模M的Ding－投射维数D.pd（M）＝n，是指存在一个最小长度为n的正合列0→Dn→…→D0→M→0使得Di均为Ding－投射模.同时也有Ding－内射（Ding－平坦）模及维数的定义.关于这类模的性质与结果可以参照文献［1－6］.Ding－投射和Ding－内射模起初被定义为强－Gorenstein平坦模［1］和Gorenstein FP－内射模［6］，且得出一些很好的性质；同时为了给出类似于自由模的对象，Yang进一步研究了强＊－Gorenstein平坦模及Gorenstein＊－FP－内射模［3］，本文中我们重新命名为强Ding－投射及强Ding－内射模.

本文中主要引入强n－Ding－投射，强n－Ding－内射和强n－Ding－平坦模的概念，并研究它们的一些性质和等价刻划，最后讨论三者之间及与强n－Ding模与强n－Gorenstein模间的关系.

1 强Ding－投射，强Ding－内射和强Ding－平坦模的定义及它们的一些结果

定义1.1［2］一个R－模M称为FP－内射模（或绝对纯模），若对任意有限表现R－模N，有（N，M）＝0.

定义1.2［2］一个环R叫做n－FC环，如果它是左凝聚环和右凝聚环并且FP.id（RR）≤n，FP.id（RR）≤n.

定义1.3［3］1）一个R－模M称作强Ding－投射（简称强D－投射）的，若存在正合列

其中P是投射R－模，使得对任意平坦R－模F，复形HomR（P，F）是正合的且有M≅ker（f）.

2）一个R－模M称作强Ding－内射（简称强D－内射）的，若存在正合列

其中I是内射R－模，使得对任意FP－内射R－模E，复形HomR（E，I）是正合的且有M≅ker（f）.

3）一个右R－模M称作强Ding－平坦（简称强D－平坦）的，若存在正合列

其中F是平坦右R－模，使得对任意FP－内射R－模E，复形F⊗RE是正合的且有M≅ker（f）.

由定义知，强Ding－投射、强Ding－内射和强Ding－平坦模分别是Ding－投射、Ding－内射和Ding－平坦模，而且它能够很好地刻划Ding－投射、Ding－内射和Ding－平坦模.

下面的结论就是一个重要的刻划，它说明强D－投射模相对于D－投射模起着“自由模”的作用.

定理1.4 1）一个R－模是D－投射的，当且仅当它是某个强D－投射R－模的直和项.

2）一个R－模是D－内射的，当且仅当它是某个强D－内射R－模的直和项.

定理1.4的证明 1）参照文献［3，引理3.7］.2）可由1）对偶地给出证明.

由定义及基本的同调知识，我们可以得到下面的等价刻划.

定理1.5 设M是R－模，则下面的叙述等价：

1）M是强D－投射的；

2）存在R－模短正合列0→M→Q→M→0，使得Q是投射R－模，且对任意平坦R－模F及任意的i≥1，（M，F）＝0；

3）存在R－模短正合列0→M→Q→M→0，使得Q是投射R－模，且对任意平坦维数有限的R－模F及任意的i≥1，（M，F）＝0.

类似地，我们也有强D－内射R－模和强D－平坦R－模的刻划.

2 主要结果

在这部分，类似于文献［7］，我们首先给出强n－Ding－投射，强n－Ding－内射和强n－Ding－平坦模的定义，并研究它们的性质，给出相应的结果.

定义2.1 1）一个R－模M称为强n－Ding－投射（简称强n－D－投射）的，如果存在短正合列

使得pdR（P）≤n，且对任意平坦模F及i≥1，有

2）一个R－模M称为强n－Ding－内射（简称强n－D－内射）的，如果存在短正合列

使得idR（I）≤n，且对任意FP－内射模E及i≥1，有

3）一个右R－模M称为强n－Ding－平坦（简称强n－D－平坦）的，如果存在短正合列

使得fdR（F）≤n，且对任意FP－内射R－模E及i≥1，有

由定义知，强0－D－投射、强0－D－内射和强0－D－平坦模分别是强D－投射、强D－内射和强D－平坦模.

注：文献［6，引理2.8］表明Ding平坦模与Gorenstein平坦模是一致的，一个自然的结论是：强n－Ding－平坦模与强n－Gorenstein－平坦模也是一致的.所以强n－Ding－平坦模的性质可由强n－Gorenstein－平坦模给出.

下面我们给出有关性质与刻划.

命题2.2 设n是非负整数，则每个投射维数不大于n的R－模均是强n－D－投射的.

命题2.2的证明 因为存在正合列0→N→N⊕N→N→0，当pdR（N）≤n时，则有pdR（N⊕N）≤n.又对任意平坦R－模F，（N，F）＝0，i≥1.因此结论得证.

命题2.3 设n是非负整数且R－模M是强n－D－投射的，则下列结论成立：

1）M的第n个合冲模是强D－投射的，从而D.pdR（M）≤n.

2）当R是凝聚环时，若存在R－模的短正合列0→M→P→M→0使得pdR（P）＜∞，则D.pdR（M）＝pdR（P），且若pdR（P）＝m，则M是强m－D－投射的.

命题2.3的证明 1）因为M是强n－D－投射R－模，则存在短正合列0→M→P→M→0且pdR（P）≤n.设Kn是M的第n个合冲模，则有正合列0→Kn→Pn－1→…→P0→M→0，由Horsehose引理得到正合列0→Q→Pn－1⊕Pn－1→…→P0⊕P0→P→0和0→Kn→Q→Kn→0.因为pdR（P）≤n，所以Q是投射模.而且对任意平坦R－模F，有Ext1R（Kn，F）＝Extn＋1R（M，F）＝0，由定理2.5知Kn是强D－投射R－模.因为投射模是D－投射模，强D－投射模也是D－投射模，所以D.pdR（M）≤n.

2）因为pdR（P）＜∞，由文献［8］，G.pdR（P）＝pdR（P），又由文献［9］，G.pdR（P）≤D.pdR（P）≤pdR（P），所以D.pdR（P）＝pdR（P）.另根据文献［9，定理2.7］，对短正合列0→M→P→M→0，有D.pdR（P）＝sup｛D.pdR（M），D.pdR（M）｝＝D.pdR（M）.

所以D.pdR（M）＝pdR（P）＝m，且对任意平坦R－模F及i≥1，有Extm＋iR（M，F）＝0.因而M是强m－D－投射R－模.

命题2.4 设n是非负整数.

1）若｛Mi｝i∈I是强n－D－投射R－模集，则⊕i∈IMi是强n－D－投射R－模.

2）若｛Mi｝i∈I是强n－D－内射R－模集，则Πi∈IMi是强n－D－内射R－模.

命题2.4的证明 因为pdR（⊕i∈IMi）＝sup｛pdR（Mi）｝，idR（∏i∈IMi）＝sup｛idR（Mi）｝且ExtnR（⊕i∈IMi，N）≅∏i∈IExtnR（Mi，N），ExtnR（M，Πi∈INi）≅Πi∈IExtnR（M，Ni），对任意R－模M，N，Mi，Ni及n≥0成立.结论很容易得证.

下面给出本文中的主要结果.首先，类似于文献［8，命题2.19］，我们有：

引理2.5 设｛Mi｝i∈I是R－模集，则

1）D.pdR（⊕i∈IMi）＝sup｛D.pdR（Mi）｜i∈I｝；

2）D.idR（Πi∈IMi）＝sup｛D.idR（Mi）｜i∈I｝.

定理2.6 设R是凝聚环，M是R－模，则有

1）D.pdR（M）≤n当且仅当M是某个强n－D－投射R－模的直和项；

2）D.idR（M）≤n当且仅当M是某个强n－D－内射R－模的直和项.

定理2.6的证明 1）当n＝0时，由定理1.4显然成立.若0＜D.pd（M）≤n，由文献［1，定理4.1］的证明，存在短正合列0→K→D→M→0使得D是D－投射R－模且pd（K）≤n－1.由D－投射模的定义，存在短正合列0→D→P→D0→0使得P是投射R－模，D0是D－投射R－模.考虑下列push－out图：

因为0→K→P→Q→0是正合的，所以pd（Q）≤pd（K）＋1≤n.已知D.pdR（M）≤n，根据文献［1，引理3.4］有正合列0→Dn－1→Pn－1→…→P1→P0→M→0，其中Pi是投射R－模，Dn－1是D－投射R－模.令D0＝ker（P0→M），Di＝ker（Pi→Pi－1），1≤i≤n－1.因此有正合列0→Di→Pi→Di－1→0，0≤i≤n－1，其中M＝D－1.显然D.pd（Di）≤D.pd（Di－1），所以D.pd（Di）≤n，0≤i≤n－1.取Dn－1的任一投射分解：…→Pn＋1→Pn→Dn－1→0，令Dn＝ker（Pn→Dn－1），Di＝ker（Pi→Pi－1），i≥n＋1.因此有正合列0→Di＋1→Pi＋1→Di→0，i≥n－1.由文献［5，定理2.6］知对任意i≥n，Di是D－投射R－模.

另一方面D0是D－投射R－模，则有正合列0→D0→P0→P1→P2→…，令D1＝Im（D0→P0），Di＝Im（Pi－2→Pi－1），i≥2.从而得到正合列0→Di＋1→Pi＋1→Di→0，i≥0.由上，我们有下面正合序列：

令A＝⊕i≥0Di⊕M⊕i≥0Di，B＝⊕i≥0Pi⊕Q⊕i≥0Pi，则有正合列0→A→B→A→0.显然pd（B）＝pd（Q）≤n，而且D.pd（A）＝sup｛D.pd（Di），D.pd（M），D.pd（Di）｝≤n，由文献［1，引理3.4］，对任意平坦R－模F，有Ext（A，F）＝0.因此A是强n－D－投射R－模.又M是A的一个直和项，即必要性得证.定理的充分性直接由命题3.3和引理3.5得出.

2）的证明类似于1）.

接下来给出强n－D－投射R－模的刻划

命题2.7 设n是任意的非负整数，则下列叙述等价：

1）M是强n－D－投射R－模；

2）存在一个R－模短正合列0→M→Q→M→0，满足pd（Q）≤n，且对任意平坦维数有限的R－模F及i≥1，Extn＋iR（M，F）＝0；

3）存在一个R－模短正合列0→M→Q→M→0，满足pd（Q）＜∞，且对任意平坦R－模F及i≥1，Extn＋iR（M，F）＝0.

命题2.7的证明1）⇒2） 由命题2.3，D.pd（M）≤n，再由文献［3，命题2.8］，对任意R－模F，若fd（F）＜∞，则对任意的i≥1，Extn＋iR（M，F）＝0.

2）⇒3）显然.

3）⇒1） 已知对任意平坦R－模F，有（M，F）＝0，i≥1.由短正合列0→M→Q→M→0得正合列…→0＝（M，F）→（Q，F）→（M，F）＝0→….

注：对偶地，我们也有强n－D－内射R－模和强n－D－平坦R－模的刻划.

命题2.8 设0→L→M→N→0是一正合列使得pdR（M）＝n＜∞.若L是强D－投射R－模，则N是强（n＋1）－D－投射R－模.

命题2.8的证明 因为L是强D－投射R－模，所以存在正合列且Q为投射R－模.对任意R－模K，当fdR（K）＜∞时，有Ext1R（L，K）＝0.由fdR（M）≤pdR（M）＝n＜∞，有正合列

故对任意态射α：L→M，存在态射λ：Q→M使得α＝λ◦u，因此有下列交换图：

其中φ：Q→M⊕M被定义为φ（q）＝（λ（q），αv（q）），i，j分别为自然嵌入与投射.因此由Snake引理得到正合列0→N→（M⊕M）／φ（Q）→N→0，显然pdR（（M⊕M）／φ（Q））≤n＋1，则D.pdR（N）≤n＋1.根据文献［3，命题2.8］，N是强（n＋1）－D－投射R－模.

下面我们给出强n－D－投射，强n－D－内射及强n－D－平坦模之间的关系.定义环R的Ding整体投射维数与Ding整体内射维数分别为

命题2.9 设R是n－FC环，则每个模是强n－D－投射的当且仅当每个模是强n－D－内射的.

命题2.9的证明 令M为强n－D－投射R－模，由命题2.3得D.pdR（M）≤n，则D.glpd（R）≤n.根据文献［4，定理2.11］知D.glid（R）≤n，因此D.idR（M）≤n.对任意FP－内射R－模E，有另有正合列0→M→Q→M→0且pdR（Q）≤n.由文献［10，定理9.1.10］，pdR（Q）≤n，当且仅当idR（Q）≤n.因此M是强n－D－内射R－模.反过来可同样证明.

命题2.10 设M是右R－模，若M是强n－D－平坦的，则M＋是强n－D－内射R－模.

命题2.10的证明 因为M是强n－D－平坦右R－模，则存在右R－模正合列0→M→F→M→0，fdR（F）≤n，且对任意FP－内射R－模E及i≥1，有TornR＋i（M，E）＝0.因此有正合列0→M＋→F＋→M＋→0且idR（F＋）≤n.由文献［11，推论10.63］，ExtnR＋i（E，M＋）≅TornR＋i（M，E）＋＝0，所以M＋是强n－D－内射R－模.

最后我们讨论强n－Ding模与强n－Gorenstein模之间的联系.

定义2.11［7］一个R－模M称为强n－Gorenstein投射的，如果存在短正合列

使得pdR（Q）≤n，且对任意投射R－模P及i≥1，有类似可给出强n－Gorenstein内射的定义.

定理2.12 设M是R－模，则

1）若D.glpd（R）＜∞，则M是强n－D－投射R－模当且仅当它是强n－Gorenstein投射R－模.

2）若D.glid（R）＜∞，则M是强n－D－内射R－模当且仅当它是强n－Gorenstein内射R－模.

定理2.12的证明1）⇒：根据定义显然成立.

⇐：令M是强n－Gorenstein投射模，则存在正合列0→M→Q→M→0且pdR（Q）≤n.因为D.glpd（R）＜∞，不妨令D.pdR（M）≤m＜∞，m是非负整数.根据文献［3，命题2.8］，对任意平坦R－模F及i＞m，有而且有正合列

因为pdR（Q）≤n，所以因此0，从而M是强n－D－投射R－模，得证.

2）的证明类似于1）.

致谢 作者衷心地感谢徐运阁教授的耐心指导.

［1］Ding N Q，Li Y L，Mao L X.Strongly Gorenstein flat modules［J］.J Aust Math Soc，2009，86：323－338.

［2］Gillespie J.Model structures on modules over Ding－Chen rings［J］.Homology Homotopy Appl，2010，12（1）：61－73.

［3］Yang C H.Strongly Gorenstein flat and Gorenstein FP－injective modules［J］.Turk J Math，2013，37（2）：218－230.

［4］Yang G.Homological properties of modules over Ding－Chen rings［J］.J Korean Math Soc，2012，49（1）：31－47.

［5］Yang G，Liu Z K，Li L.Ding projective and Ding injective modules［J］.Algebra Colloquium，2013，20（4）：601－612.

［6］Mao L X，Ding N Q.Gorenstein FP－injective and Gorenstein flat modules［J］.J Algebra Appl，2008，7（4）：491－506.

［7］Mahdou N，Tamekkante M.Strongly n－Gorenstein projective，injective and flat modules［J］.arXiv：0904.4013v1.

［8］Holm H.Gorenstein homological dimensions［J］.J Pure Appl Algebra，2004，189：167－193.

［9］Zhang C X，Wang L M.Strongly Gorenstein flat dimensions［J］.J Math Research ＆Exposition，2011，31（6）：977－988.

［10］Enochs E E，Jenda O M G.Relative homological algebra［M］.Berlin：Walter de Gruyter.Berlin.NewYorks，2000.

［11］Rotman J J.An introduction to homological algebra 2nd［M］.New York：Springer，2009.

［12］Bennis D，Mahdou N.Strongly Gorenstein projective，injective and flat modules［J］.J Pure Appl Algebra，2007，210：437－445.