Heisernberg群上低阶特征值的估计

杨贵诚，杜锋

（1.湖北工业大学商贸学院基础课部，湖北武汉430079；2.荆楚理工学院数理学院，湖北荆门448000）

0 引言及主要定理

在一个（2n＋1）维的欧氏空间RR2n＋1上定义下列不可交换的群运算：

其中x，y，x′，y′∈RRn，t，t′∈RR；〈，〉RRn表示RRn上的内积.具有这种群运算的（2n＋1）维欧氏空间RR2n＋1称为Heisenberg群，记为HHn.而HHn上李代数HHn的基为

关于上述向量场，满足［Yp，Xq］＝Tδpq，p，q＝1，2，…，n.在Heisenberg群HHn上有如下定义的次椭圆算子

其中divHH，HH分别称为水平散度和水平梯度.ΔHH叫做Heisenberg群HHn上的Kohn Laplacian算子.设Ω是HHn上的有界区域，而∂Ω是Ω的边界，则当f｜∂Ω＝g｜∂Ω＝0，则有

关于Heisenberg群上的特征值问题的研究已经有了许多成果，如文献［2－6］.接下来，我们考虑Kohn Laplacian算子ΔHH的Dirichlet特征值问题：

我们知道其具有离散的谱.2009年，El Soufi等［6］证明了不等式

而在本文中我们将给出特征值问题（0.6）式的低阶特征值估计，关于各类流形及算子的低阶特征值的估计也有许多成果，如文献［7］等.而在本文中，我们得到下述定理

定理0.1 设Ω是HHn上的有界区域，λi是特征值问题（0.6）的第i个特征值，而ui是与之对应的正交特征函数，即有：

可得不等式：

注记：由（0.9）式容易得到

特别地，如n＝1，则2λ2≤λ3＋λ2≤6λ1可得

由此，我们可以得到一个与欧氏空间RRn上Dirichlet特征值问题相应的结论［1］.

1 主要定理的证明

我们将给出本文中主要定理的证明，使用的一些符号与计算，具体细节可参看文献［2－3］.

定理0.1的证明 为方便证明，我们令Yp＝Xn＋p，yp＝xn＋p，p＝1，…，n，可得

定义一个2n×2n矩形C：＝（Cαβ），这里

由Gram－Schimidt正交化分解可知，存在着一个2n×2n的上三角矩形阵R＝（Rαβ）和一个2n×2n正交矩形阵T＝（Tαβ），使得

因此，可得

和

令

可得

那么由Rayleigh－Ritz不等式，可以得到

这里

因此，由（1.4～1.6）式，我们有

而另一方面

这说明综合（1.8）式和（1.9）式，我们有

而

这说明

这里｛δα｝2nα＝1是一族任意常数.

由此可知如果λα＋1－λ1＝0，显然可知

如果λα＋1－λ1＞0，令也可得到

再由（1.10）式，我们可得

在（1.12）式中对α由1到2n求和，再由（1.6）式，可得

由此可得（1.9）式，定理得证.

［1］Ashbaugh M S.Isoperimeteic and unversal inequalities for eigenvaluse／／Davies，E B，Safarov Y，eds.Spectral Theory and Geometry［C］.vol 273.Edinburgh：London Math Soc Lecture Notes，1999：95－139.

［2］Candidato D V，Relatore L A.Submanifolds in Cannot groups［M］.Corso di Perfezionmento in Mathematica Triennio，2004.

［3］杜锋，吴传喜，李光汉.Heisenberg群上具有散度形式椭圆算子的特征值估计［J］.数学物理学报，2012，30A（6）：1032－1040.

［4］Huang G Y，Chen W Y.Inequalities of eigenvalues for Bi－Kohn Laplacian on Heisenberg group［J］.ActaMath Sci，2010，30B（1）：125－131.

［5］Niu P C，Zhang H Q.Payne－pólya－Weinberger type inequalities for eigenvalues of nonelliptic operators［J］.Pacific J Math，2003，208：325－345.

［6］El Soufi A，Harrell E M，Ilias S.Universal inequalities for the eigenvalues of Laplace and Schrödinger operators on submanifolds［J］.Amer Math Soc，2009，361（5）：2337－2350.

［7］Sun H J.Universal inequalities and bounds for weighted eigenvalues of the Schrödinger operator on the Heisenberg group［J］.Turk J Math，2010，34：1－10.