关于一类带次临界指标的拟线性薛定谔方程的正解

汪继秀

（湖北文理学院数学与计算机学院，湖北襄阳441053）

是H1（RN）→LP（RN）的临界指标.

众所周知问题（1）对应的泛函

主要研究一类带次临界指标拟线性薛定谔方程

的正解，其中N≥3，g（s）：R→R＋是一阶可微的并且关于｜s｜非递减的函数，V（x）：RN→R的一致正的径向函数.

研究这类方程的动机主要源于

其中i是虚数单位，z：R×RN→复数，W：RN→R给定势能，h，l：R＋→R.

令z（t，x）＝exp（－i Et）u（x），其中E∈R，u是一实值函数，则方程（2）转化成

Poppenberg等［1］和Liu等［2］利用约束极小获得了问题（4）的正的基态解.Liu等［3］利用变量替换将问题（4）转换成半线性椭圆方程，并且构建了一个orlitz空间，利用山路引理得到问题（4）存在正解.对于这种变量替换的方法在文献［4－5］等也应用过.这些文献都是取特定的l（s）研究问题（2）的解，自然而然，我们就思考对于一般的l（s）可以利用什么方法研究它的解？幸运的是，Shen和Wang［6］利用特殊变换研究得到了（1）式的驻波解，本文中受它的启发，考虑了当h（u）＝｜u｜p－2u时，

是H1（RN）→LP（RN）的临界指标.

众所周知问题（1）对应的泛函

不能定义在H1（RN）上，为了克服这个困难，我们利用Shen－Wang［6］中的变量替换法.令v＝G（u）＝

则有

又由条件g（s）是非减的正函数，则｜G－1（v）｜≤1／g（0）｜v｜，这也就保证了J（v）可以定义在H1（RN）且J（v）∈C1.

如果u是（5）式的解，则对任意的φ∈C0∞（RN）满足

因此想证明（5）式的解，只需证明

为了得到我们的结论，假设V（x）是连续的径向函数且满足

（G1）存在μ＞2，当s≥0时，0＜μg（s）H（s）≤G（s）h（s）.

则我们能够证明

定理1 假设V（x）是连续的径向函数满足条件（V1），g∈C1是非减的正函数并且满足条件（G1），那么（5）式有一个正解.

为了得到结论，需要先给出几个引理：

引理1 泛函J满足

（i）存在α，ρ≥0，使得当‖v‖＝ρ，J（v）≥α；

（ii）存在w∈H1（RN），使得当‖w‖＞ρ，J（w）＜0.

引理1的证明 类似文献［6］，因为

另外

因此

其中ε＞0为充分小的常数，Cε为一常数.

联立（8）式和（9）式，利用Sobolev不等式，选取ε充分小时，

因此存在α，ρ≥0，使得当‖v‖＝ρ，J（v）≥α，即（i）成立.

下证ⅱ）也成立.

由μ＞2，当t充分大时，J（v）→－∞，即证（ii）.因此完成了引理1的证明.

利用引理1和山路引理［7］，令

其中Γ＝｛γ∈C（［0，1］，H1（RN）），γ（0）＝0，γ（1）≠0，J（γ（1））＜0｝，则泛函J在H1（RN）里存在一个关于水平集c的（PS）序列，即

当n→∞，J（vn）→c，J′（vn）→0.

引理2的证明 首先，设｛vj｝j≥1⊂（RN）是（PS）序列，类似于文献中可证（PS）序列在（RN）中是有界的，则｛vj｝j≥1存在子列，不妨仍记为｛vj｝j≥1，使得对某一v∈（RN）有

接下来想证

因为（J（vj））′→0，则由（10～11）式，（13～14）式可得

而且由｛vj｝j≥1有界可知J′（vj）vj＝0，即

因此由（13）式知

另外，当s≥1，由（G1）条件，易得sp≥CG（s）μ≥CG（s）2和，则有

综合式（15～17）可得

因此我们推得

利用引理1和引理2以及极值原理直接可以得到定理1.

［1］Poppenberg M，Schmitt K，Wang Z Q.On the existence of soliton solutions to quasilinear Schrödinger equations［J］.Calc Var Partial Differential Equations，2002，14（3）：329－344.

［2］Liu J Q，Wang Z Q.Soliton solutions for quasilinear Schrödinger equationsⅠ［J］.Proc Amer Math Soc，2002，131（2）：441－448.

［3］Liu J Q，Wang Y Q，Wang Z Q.Soliton solutions for quasilinear Schrödinger equationsⅡ［J］.J Differential Equations，2003（2）：473－493.

［4］Colin M，Jeanjean L.Solutions for a quasilinear Schrödinger equations：a dual approach［J］.Nonlinear Anal TMA，2004，56：213－226.

［5］doÓJ M，Miyagaki O，Olimpio H.Soliton solutions for quasilinear Schrödinger equations with critical growth［J］.J Differential Equations，2010，248（4）：722－744.

［6］Shen Y T，Wang Y J.Soliton solutions for generalized quasilinear Schrödinger equations［J］.Nonlinear Anal，2013，80：194－201.

［7］Ambrosetti A，Rabinowitz P.Dual variational methods in critical point theory［J］.J Funct Anal，1973，14：349－381.

［8］Brezis H，Nirenberg L.Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents［J］.Comm Pure Appl Math，1983，36：437－477.