两类Witten-Laplacian算子Dirichlet边值问题的第一特征值*

邓义华，肖 娟，李元旦

(衡阳师范学院数学与计算科学系，湖南 衡阳 421008)

假设(M,g)是Rieman流形，f是(M,g)上的光滑函数，那么在(M,g)上有一类重要的Witten-Laplacian算子, 其定义为

Δf=Δ-▽f▽

Witten-Laplacian算子有时也被称为带权Laplacian 算子或f-Laplacian算子。目前，这类算子已经得到了许多方面的研究。比如，Chen和Brighton等[1-2]讨论了f调和函数的性质，得到了这类调和函数的一些梯度估计。Dung等[3-4]利用f-Laplacian 算子的第一特征值λ1刻画了f调和函数的性质以及流形(M,g)的度量性质。Chen等[5-6]得到了Witten-Laplacian算子特征值的一个比较定理。利用该比较定理，Futaki等[7]讨论了当Ric+Hessφ≥Kg时φ-Laplacian 算子第一特征值λ1的下界估计问题，在此基础上得到了一类紧致Rieman流形直径下界的一个比较好的下界估计。

假设a，b，d，k都是常数并且d>0，k>0，Ω是Rn上的有界开区域，那么可以在Ω和区间(-d,d)上分别定义以下函数

v(x)=ax+b，x∈(-d,d)

显然w和v都是光滑函数。由于开区域Ω和开区间(-d,d)都可以看成是Rieman流形，所以我们可以分别在Ω和(-d,d)上考虑w-Laplacian算子Δw=Δ-kx▽和v-Laplacian算子Δv=Δ-a▽。受前面所提这些参考文献的启发，本文将进一步讨论以上两类Witten-Laplacian算子Dirichlet边值问题的第一特征值。通过直接计算不难得到Ric+Hessw=-kg以及Ric+Hessv=0，所以本文相当于针对两种特殊情况K=-k<0和K=0讨论文[7]中的一些问题。这时，我们认为本文的结论应该比文[7]中的定理1.1更好。

1 w-Laplacian 算子Dirichlet边值问题第一特征值的下界估计

假设Ω是Rn上的有界开区域，在Ω上定义如下光滑函数

在本节，我们将讨论w-Laplacian算子Δw=Δ-kx▽的如下Dirichlet边值问题的第一特征值的估计问题

(1)

如果k=0, 那么问题(1)就是通常的Laplacian算子Δ的特征值问题。对Laplacian算子的第一特征值进行估计已经有了很长的历史，目前在这方面已经取得了很多好的研究成果[8-10]。特别是，在文[8]中已经得到了当流形的Ricci曲率Ric≥0时Laplacian算子第一特征值λ1(Δ)的如下最佳下界估计

(2)

其中d为Ω的直径。当k≠0时，研究问题(1)的特征值一般是用所谓的加权体积测度e-wdx, 如引言中的大部分参考文献都是这样。但是，运用通常的体积测度dx研究(1)的特征值目前似乎还很少有这方面的工作。根据文[3-4]，我们知道f-Laplacian 算子Dirichlet边值问题的第一特征值可以用下面的式子来刻画

因此，考虑问题(1)的第一特征值λ1时，我们不妨假设u是Ω上的正函数。为了得到问题(1)的第一特征值下界的更好估计，我们将借用文[7]中的一些方法。为此，我们任取常数α>1，然后将问题(1)中的方程两边同时乘以uα-1并进行积分得

(3)

根据散度定理以及问题(1)中的边界条件得到

从而有

(4)

将式(4)代入式(3), 然后运用分部积分法，可以得到

(5)

假设uα=h2，那么4|▽h|2=α2uα-2|▽u|2, 所以根据式(5)不难得到

于是

(6)

根据式(2)以及式(5)可得

(7)

定理1 特征值问题(1)的第一特征值λ1满足下面的不等式

2 v-Laplacian算子Dirichlet边值问题第一特征值的准确值

假设a，b，d都是常数并且d>0，v(x)=ax+b，x∈(-d,d)。在本节，我们主要讨论v-Laplacian算子Δv=Δ-a▽的Dirichlet边值问题第一特征值的准确值。为此，我们假设该边值问题的第一特征值为λ1，相应的特征函数为u。那么，我们有

(8)

证明由二阶常系数线性齐次常微分方程的理论可知，当a2>4λ1时问题(8)中的方程的通解为

u=C1ek1x+C2ek2x

(9)

其中

将问题(8)中的边界条件代入式(9), 我们不难发现C1=C2=0。所以在这种情况下问题(8)没有非零解。同理可得，当a2=4λ1时问题(8)也没有非零解。所以只有当a2<4λ1时问题(8)才有非零解，这时问题(8)中的方程的通解为

(10)

将问题(8)中的边界条件代入式(10)得

(11)

(12)

注定理2说明

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