youbot机械臂运动学及仿真

李毫亮，刘冠峰，曾 琦，邓明星

（广东工业大学机电工程学院，广东广州 510006）

0 引言

机械臂在工业自动化上有广泛的应用，对降低成本和提高效率方面有很重要的作用[1]。

要实现机械臂的平滑，稳定，精确等性能，首先要建立机械臂的运动学模型，运用D-H法进行运动学计算，并对运动空间进行预先仿真。为下一步机械臂轨迹规划、优化等方面建立基础。

1 D-H参数方程

D-H参数方程为计算机械臂前向运动学的基础，其通过D-H约定：轴Xi在空间垂直且相交于Zi-1[2]。按照此约定，连杆间变换关系可化简为公式如下：

其中：ai为沿Xi方向Zi与Zi-1间距离；

αi为垂直于 Xi平面Zi与 Zi-1间夹角；

di为沿 Zi-1方向 Oi与 Oi-1间的距离；

θi为垂直于 Zi-1平面Xi与 Xi-1间的夹角；

其中： cθi代表 cos(θi),sθi代表 sin(θ i ),sαi代表sin(α i),cαi代表 cos(α i).

2 运动学模型建立及计算

机械臂运动学计算是机器人运动学的基础,分为前向运动学和逆向运动学[3-4]，在不考虑机械臂动力学的前提下，可通过机械臂运动学的计算，来仿真机械臂末端的可达空间；通过对逆向运动学的求解，可以得到各个变量的参数方程，为轨迹规划等建立基础。

此机械臂模型均为关节角为变量，在遵守D-H约定的前提下，建立其模型如图1所示。

2.1 正向运动学计算

图1 机械臂运动学模型

机械臂的正解问题即：已知机械臂的各个关节角变量，通过计算公式求得机械臂末端位置和姿态的过程。在此过程中只考虑机械臂的运动学问题，而不考虑机械臂的动力学等问题。由于本机械臂的各个参数已知，其各个参数如表1。

表1 机械臂参数

依据前向运动学公式，把以上各个相邻关节间的转换公式依次代入下列公式，可以得到如下的计算结果：

从而可以得到末端位置关系式：

2.2 逆向运动学计算

其中：s1代表sin(θ1)，c1代表cos(θ1)，

s2代表sin(θ2)，c2代表cos(θ2) ， s5代表sin(θ5)，c5代表cos(θ5)，s23代表sin(θ2+θ3)，c23代表cos(θ2+θ3)， s234代表 sin(θ2+θ3+θ4) ，c234代表cos(θ2+θ3+θ4)。其余各参数含义见表1。

将各个参数带入上述公式可得：

机械臂的逆向运动学即：根据机械臂的末端位置和姿态方程式，求解各个关节变量的过程，由于机械臂末端位姿在已知的条件下，对应各个关节变量的解可能存在多组解的情况，所以在根据各项约束条件的情况下从多组解集中选出最优的一组解，为机械臂的轨迹规划、优化等建立基础。

现假设机械臂的末端位姿方程式如下：

上式中前三列为机械臂在空间的位姿向量，最后一列为机械臂在空间的位置向量。

依据A-1H=A2A3A4A5，

由以上关系式中第三行、第四列对应项相等可得到：

由关系式中第一行、三列与第二行、三列对应成比例可得到：

联合上式中第一行、四列和第二行四列可得到如下关系式：

化简求解得：

根据对应项还可以得到：

其中：T=az，R=axc1+ays1

联立（5）（6）得：

联立（2）、（3）、（7）得：

由以上关系式，最终求解出各个关节角函数关系式，由以上解集可知，对应于本结构的串联机械臂有多组解，通过结合杆件几何关系图2，根据机械臂初始位置和姿态，从多组解集中选择出一组最优化解集，为以后的机械臂轨迹规划、优化等建立基础条件等。

图2 三平行杆几何关系

3 Matlab仿真分析

由2.1中机械臂末端位置计算方程可知，此结构机械臂第五个关节角θ5的变化不影响末端在空间的可达空间，所以此仿真分析没有考虑θ5的变化。

其 中 a1=33， a2=155， a3=135， d1=75， d5=161，θ1的变化范围在±169°，θ2的变化范围在-65°到 90°之间，θ3的变化范围在-151°到 146°之间，θ4的 变 化 范 围 为 ±102.5°， θ5的 变 化 范 围在±167.5°。

上式为在2.1中的计算结果，依据此算法编写Matlab程序[5-6]，以下各图θ1的角度均为 0°，其运行结果如图3所示。

图3 θ4变化末端轨迹

由此图可以看出机械臂末端由θ4的变化引起，此轨迹为一整圆的一部分，其原因主要是由于角度4限制在±102.5°之间，还可以看出此圆弧的半径即为杆d5的长度。

此图为固定θ1、θ2仅仅在θ3、θ4变化下的轨迹，结合图2可以得到，图2为图3中的一条，当没有限制角度变化值的情况下，可知、两杆机构的空间轨迹唯一圆环，然而、由于各个角度均在其限定范围之内，所以此空间轨迹为圆环的一部分，其最外部分轨迹为两杆在一条直线上，最内部分轨迹为两杆空间距离最短时的轨迹。

此图为θ1为0°时，机械臂在平面XZ上的轨迹曲线，此轨迹即为此机构型机械臂在空间的可达空间，可以得到：由于各个角度的限制，在此圆形区域内，机械臂并非可以达到此空间中的每一点，所以、在机械臂轨迹规划是应通过合理的选择各个角度的变化，尽量避免机械臂在此空间的不可达点。

图4 θ3、θ4变化末端轨迹

图5 θ2、θ3、θ4变化末端轨迹

当θ1变化时，即为此图形绕d1杆运动，机械臂仿真运动空间与理论可达空间相同，验证了以上计算结果、算法的正确性。

4 结语

通过对Kuka robot机械臂建立运动学模型，进行前向运动学、逆向运动学计算，并通过Mat⁃lab软件对其运动空间进行了仿真，验证了计算结果的正确性。由于逆运算的多解性，所以需要根据条件选择一组比较合适的解集。为下一步移动机械臂的轨迹规划、优化等问题建立了前提基础。

［1］蔡鹤皋.机器人将是21世纪技术发展的热点［J］.中国机械工程，2000（11）：58-60.

［2］ Mark W.Spong，Seth Hutchinson，and M.Vidyasagar.Robot Modeling and Control［Z］.JOHN WILEY&SONS，INC.New York，2009.

［3］陈亚，沈晨.五自由度机械臂的运动学分析［J］.北京石油化工学报，2013（1）：25-28.

［4］吴挺，吴国魁，吴海彬.6R工业机器人运动学算法的改进［J］.机电工程，2013（7）：882-887，900.

［5］程立艳，费凌，苏泽郎.基于MATLAB五自由度机械手运动学仿真分析［J］.机械研究与应用，2011（5）：12-14.

［6］马如奇，郝双晖，郑伟峰.基于Matlab与Adams的机械臂联合仿真研究［J］.机械设计与制造，2010（4）：93-95.