Hom-Leibniz代数的导子

张永平，鲁亚男，王欣彦

(沈阳化工大学 数理系， 辽宁 沈阳 110142)

李代数是现代数学中的基本研究对象.Hom-代数是代数形变理论中的一类.最早，Hom-代数理论是19世纪Hartwing、Larsson和Silvestrov[1]在研究Witt代数和Virasoro代数的一种量子形变时而引进的.Hom-Lie代数相对于李代数多了一个双线性同态映射α，且满足Hom-Jacobi等式.当α=id时，Hom-Lie代数即为李代数.因此，Hom-Lie代数包含了李代数.Hom-Leibniz代数是Hom-Lie代数的定义中少了一个条件：不满足反对称性.这说明Hom-Leibniz代数是比Hom-Lie代数更广的一类代数[2].

Hom-莱布尼兹代数是莱布尼兹代数的自然推广，是代数的一种重要变形.它与数学的许多分支有重要联系，特别是对非交换几何的研究有重要的作用.近年来，Hom-代数的研究比较多.Hom-代数有Hom-Lie代数、Hom-Lie超代数、Hom-Leibniz代数、Hom-Lie color代数等.Hom-Leibniz代数的同调和泛中心扩张、Hom-Leibniz代数的性质在文献[3-4]中已有研究，本文证明了hom-Leibniz代数导子的一些性质.

1 预备知识

定义1[5]Leibniz代数L是一个向量空间，其上定义了一个括积运算[,]:L×L→L，满足等式:[x,[y,z]]=[[x,y],z]+[y,[x,z]]∀x,y,z∈L.

定义2[5]Hom-代数是一个三元组(g,[,],α)，g是一个k向量空间，“[,]”是g上的一个二元运算，α是一个线性映射，α∶g→g，满足

α[x,y]=[α(x),α(y)] ∀x,y∈g

(1)

定义3[5]一个左Hom-Leibniz代数是一个Hom-代数(g,[,],α)满足如下等式

[α(x),[y,z]]=

[[x,y],α(z)]+[a(y),[x,z]]

(2)

以下将左Hom-Leibniz代数简称为Hom-Leibniz代数.

例1设(L,[,])是一个李代数，α=idL是L的恒同映射，则(L,[,]α,α)是Hom-Leibniz代数.

例2[5]设(L,[,])是一个Leibniz代数，α∶L→L是L的自同态，

α([x,y])=[α(x),α(y)]，∀x,y∈L.令[,]α=α([x,y])，则(L,[,]α,α)是Hom-Leibniz代数.

(g,[,],α)是一个Hom莱布尼兹代数，用αk表示α的k次复合，即

αk=α∘α∘…∘α(k次)

特别的，α-1=0，α0=Id，α1=α

定义4对于任意k≥-1，称D∈gl(g)为Hom莱布尼兹代数(g,[,],α)的一个αk-导子，如果满足

[D,α]=0 i.e.D∘α=α∘D

(3)

D[u,v]=[D(u),αk(v)]+

[αk(u),D(v)] ∀u,v∈g

(4)

用Derαk(g)表示Hom莱布尼兹代数(g,[,],α)的一个αk-导子的集合.

2 主要结果

命题1对于任意一个u∈g，且满足条件α(u)=u，定义adk(u)∈gl(g)

adk(u)(v)=[u,αk(v)] ∀v∈g

则adk(u)是一个αk+1-导子.

证明:

adk(u)(α(v))=[u,αk+1(v)]=

α([u,αk(v)])=α∘adk(u)(v)

这说明满足(3)式.又

adk(u)([v,ω])=[u,αk[v,ω]]=

[u,[αk(v),αk(ω)]]=

[[u,αk(v)],αk+1(ω)]+

[αk+1(v),[u,αk(ω)]]=

[adk(u)(v),αk+1(ω)]+

[αk+1(v),adk(u)(ω)]

满足(4)式，则adk(u)是一个αk+1-导子.

称adk(u)是一个内αk+1-导子.

用Innαk(g)表示内αk-导子的集合，即

Innαk(g)=

{[u,αk-1(·)]|u∈g,α(u)=u}

对于任意D∈Derαk(g)和D′∈DerDs(g)，定义它们的换位子[D,D′]如下：

[D,D′]=D∘D′-D′∘D

(5)

命题2对于任意D∈Derαk(g)和D′∈DerDs(g)，且k+s≥-1，则有

[D,D′]∈DerDk+s(g)

证明：对于任意u,v∈g，有

[D,D′]([u,v])=D∘D′([u,v])-

D′∘D([u,v])=

D∘([D′(u),αs(v)]+

[αs(u),D′(v)])-

D′([D(u),αk(v)]+[αk(u),D(v)])=

[D∘D′(u),αk+s(v)]+

[αk∘D′(u),D(αs(v))]+

[D∘αs(u),αk∘D′(v)]+

[αk+s(u),D∘D′(v)]-

[D′∘D(u),αk+s(v)]-

[αs∘D(u),D′∘αk(v)]-

[D′∘αk(u),αs∘D(v)]-

[αk+s(u),D′∘D(v)]

因为D∘α=α∘D,D′∘α=α∘D′

所以αk∘D′=D′∘αk,D∘αs=αs∘D

因此得到

[D,D′]([u,v])=

[αk+s(u),[D,D′](v)]+

[[D,D′](u),αk+s(v)]

又有

[D∘D′]∘α=D∘D′∘α-D′∘D∘α=

α∘D∘D′-α∘D′∘D=α∘[D,D′]

得证[D,D′]∈DerDk+s(g).

注记，若D∈Derα-1(g)，则

D[u,v]=[D(u),0]+[0,D(v)]=0

i.e.D([u,v])=0

记Derα-1(g)={D∈gl(v)|D∘α=

α∘D,D([u,v])=0,∀u,v∈g}

下面，给出Hom-莱布尼兹代数(g,[,],α)的导子扩张代数Der(g)⊕g，对于任意D1,D2,D∈Der(g)，v1,v2,v∈g,在Der(g)⊕g上面定义一个双线性型括积运算[,]D和线性映射αD:

[(D1,v1),(D2,v2)]D=([D1,D2],[v1,v2])

αD(D,v)=(D,α(v))

命题3(Der(g)⊕g,[,]D,αD)是一个Hom-莱布尼兹代数.

证明:对于任意D1,D2,D3∈Der(g)，

v1,v2,v3∈g有

αD[(D1,v1),(D2,v2)]D=

αD([D1,D2],[v1,v2])=

([D1,D2],α[v1,v2])=

([D1,D2],[α(v1),α(v2)])

又

[αD(D1,v1),αD(D2,v2)]=

[(D1,α(v1)),(D2,α(v2))]=

([D1,D2],[α(v1),α(v2)])

因此αD是同态，(1)式成立.

另一方面，

[αD(D1,v1),[(D2，v2),(D3,v3)]D]D=

[(D1,α(v1)),([D2,D3],[v2,v3])]D=

([D1,[D2,D3]],[α(v1),[v2,v3]])

又因为Der(g)和g分别是李代数和Hom-Leibniz代数，所以

[[(D1,v1),(D2,v2)]D,αD(D3,v3)]D+

[αD(D2,v2),[(D1,v1),(D3,v3)]D]D=

[([D1,D2],[v1,v2]),(D3,α(v3))]D+

[(D2,α(v2)),([D1,D3],[v1,v3])]D=

([[D1,D2],D3],[[v1,v2],α(v3)])+

([D2,[D1,D3]],[α(v2),[v1,v3]])=

([D1,[D2,D3]],[α(v1),[v2,v3]])

这说明(2)式成立.

综上，结论成立.

对于命题3，Hom-Leibniz代数导子扩张代数的括积及线性运算是将李代数导子扩张代数的定义[6]进行简化，从而得到结论.如果按照李代数导子扩张代数的定义，那么Hom-Leibniz代数导子扩张代数则不是Hom-Leibniz代数.

参考文献：

[1] Hartwig J T，Larsson D，Sliverstrov S D.Deformation of Lie Algebras Using α-derivations[J].J Algebra，2005，295(2):314-361.

[2] Makhlouf A，Silvestrov S D.Hom-algebra Structure[J].J.Gen.Lie Theory Appl，2008，2(2):51-64.

[3] Cheng Yongsheng，Su Yu cai.(Co)Homology and Universal Central Extension of Hom-Leibniz Algebras[J].Acta Mathematica Sinica，English Series，2011，27(5):813-830.

[4] Nourou ISSA A.Some Characterizations of Hom-leibniz Algebras[J/OL].(2010-11-08)[2013-09-01].http://arxiv.org/abs/1011.1731.

[5] 徐丽媛，王春月，张若兰，等.低维Hom-Leibniz代数分类[J].吉林大学学报(理学版)，2013，51(1):74-82.

[6] 孟道骥.复半单李代数引论[M].北京:北京大学出版社，1998:26-28.