从中美比较谈高等数学课堂教学改革与实践

邬毅，龙兰，张正萍，王蕾

作为全国高校理、工科各类专业学生的一门必修基础课程，高等数学不仅奠定了学生必要的数学基础，为其后续学习课程提供知识及方法的理论支撑；还在培养学生的思维方式、提高学生解决问题的能力等方面起着举足轻重的作用。高等数学课堂教学改革的探讨屡见不鲜，但效果总是差强人意。因此，有必要寻求高等数学课堂教学改革的突破口和切入点。笔者借在奥本大学访学的契机，立足于对美国大学教学体制和教育价值取向的体会，结合自身的教学实践经验，对高等数学课堂教学改革有了更深层次的认识。

一、中美高等数学课程的比较分析

中国高等数学课程教学知识结构主要包括极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程等。高等数学以微积分为主，不仅使得函数、速度、加速度和曲线斜率等均可用一套通用的符号进行讨论，还为定义和计算面积、体积等提供了一套通用的方法。中美高等数学课程除了排列顺序略有不同之外，理论知识点大致相当，都秉承了微积分学中的经典，覆盖了应用最广泛的内容和对本科学生必须具备的基本要求，并且深浅程度也基本相当。因此，两者具有可比性。它们较为明显的差异在于教学设计的导向不同。中国高等数学课程注重严谨的逻辑推理和严密的数学表达，在此基础上强调该课程为本科学生学习后续课程提供知识和方法的理论支撑，导致教学内容和教学方法均朝着理论方面倾斜。美国高等数学课程将“培养学生概念性的理解能力、解决问题的技巧、分析与举一反三的技能”作为微积分课程的基本要求，并鼓励通过实行新方法减少冗长乏味的计算[1]2-10，在此基础上强调该课程对现代技术工具的作用，从而削弱其理论性，侧重于启发性和应用性。因此，中美高等数学（微积分）课程对于相同内容的阐述和处理方式不尽相同，主要体现在教学内容的采编和教学重点的表达。

中国从20世纪70年代开始自编高等数学教材，40余年来出版的教材不仅满足了各高等院校的教学需要，同时也涌现出一些影响深远的优秀教材和教辅资料。如现在仍被师生广泛使用的同济大学数学系编写的《高等数学》（上、下册）第六版[2]，经过多年的教学实践、修订，在内容和结构等方面都趋于成熟和完善。90年代后期，随着高等数学课程教学改革的不断深入，越来越多的国外优秀英文教材原版影印版和译著版被引入国内。如从Pearson出版公司引进的《托马斯微积分》第十版[3]。 50多年来，该书平均每4至5年就有一个新版面世，每版较之先前版本都有不少改进之处，体现了这是一部锐意革新的教材。与此同时，该书的一些基本特色始终保持且有所增强，说明它也是一部重视继承传统的教材。以上两本教材虽然在理论内容上基本一致，但从多媒体辅助教学的角度看，后者更显得图文并茂，其正文和习题都穿插了大量精美图片。这些图片有的是利用数学软件制作而成，比如在“空间中的向量和运动”与“多元函数及其导数”中出现的曲线、曲面图形；有的来自于生活中的实例，比如在引入“方向导数”的概念时，教材中配了一幅纽约Hudson河西点军校的等高线地图作为插图指出支流沿最速下降的路径垂直于等高线流动，用来揭示方向导数在科学和工程中以及在数学中的意义；有的则来自于新闻图片，比如有关导数的一道习题配上一张1988年8月5日Mike McCarthy在比萨斜塔跳伞的新闻场景。这些图形不仅可以帮助学生更好地发现规律，同时又能使学生觉得生动有趣，阅读时不感到枯燥。此外，《托马斯微积分》第十版除了在各小节末总结理论、介绍实例、阐述应用之外，还专门配备了计算机代数系统（CAS）练习，用以加强学生对重要概念的理解，方便他们更深入地探索。教材所附光盘中的Mathematica和Maple教学单元更是实现了图形、数值、分析三者之间的完善和平衡。

二、中美高等数学课堂教学现状的比较分析

以重庆科技学院为例，就目前而言，“粉笔加黑板”的传统教学手段已经得到明显改善。一方面，绝大部分教师都能够结合课件采用多媒体教学去提高学生的学习兴趣和教师的教学效率，却又受阻于多媒体课件“后页看不到前页”、不便于学生记忆的局限性。另一方面，“注入式”教学方式和“以书本为内容，以课堂为阵地，以教师为中心”的传统教育理念仍广泛存在于高等数学的课堂教学中。教师总是千篇一律地先给出概念，再证明定理，最后讲解例题。从数学知识的角度出发，教师遵循从一般到特殊的过程来组织高等数学课程的教学，以便于从整体上刻画高等数学课程的主体思路和基本理论。这种教学方式显得枯燥乏味，教师主宰课堂，学生们往往只是被动、盲目地接受知识。在遇到抽象难懂的问题时，学生们往往从困惑到疲惫，最后放弃，从而大大扼杀了其学习的积极性和主动性。对教师的依赖心理也导致学生思维僵化。虽然考试成绩不错，但学生创新能力的缺失影响了其能力的发展，没有达到应用型本科院校的人才培养目标。

相比而言，美国大学的高等数学课堂少了几分形式演绎，显得风格活泼。以奥本大学本科微积分课程（MATH 1610）课堂教学为例。首先，教师能够根据课程的具体内容，要么通过实例引入知识内容，要么在引入知识内容之后进行相应的举例。这些例子不局限于几何、物理、力学和经济的传统应用，还来源于建筑、生物、医学、金融、军事、政治等领域，信息量大，充满了生活气息和趣味性。在教学过程中，教师还倾向于借助直观形象的图形来对概念、原理和方法进行阐述。其次，教师在讲授理论知识时会引入相关的微积分历史，包括介绍其产生的背景和发展过程。这不仅有助于强化学生对理论知识的理解，还拓展了学生的知识面。此外，教师在阐明重、难点的基础上，还会创造有助于学生自主学习的问题情境，适时地向学生提问，引导其以思考和交流的方式获取知识，或对一些问题各抒己见。教师不再是讲台上声嘶力竭的表演者，而是和学生一起成为课堂上的教学主体。

三、关于高等数学课堂教学的一些思路和实践

通过对中美本科高等数学（微积分）课程及课堂教学的比较分析，笔者及其所带的课程教改小组认为，高等数学课堂教学应该在“交流互补、融合提高”的原则下，以“在理论内容中体现其实用性”为突破口，以“解决该课程教学上存在的矛盾”为切入点进行改革和完善，以满足应用型本科院校对人才培养的要求。

（一）优化课堂教学内容

一方面，优化课堂教学内容，不是简单地补充和增删教材的内容[4]88-89。随着大学的不断扩招，学生的整体数学水平下降，个体水平也参差不齐。在进行高等数学课堂教学的过程中，教师除了把最基本的概念、原理和方法阐述清楚，把基本问题讲解透彻之外，还应该特别指出一些需要注意的问题，并相应地补充一些教材上没有的内容和例子。对于教材上一些计算过程比较繁杂、证明过程比较繁琐的定理或例题，教师可以在梳理清思路的前提下，留给有兴趣、有余力的学生在课后去进一步研究，而不必要求全班学生都去掌握详细的过程。例如，令学生普遍感到茫然的极限概念关于 ε-δ、ε-N、ε-X 的语言描述[5]88-89，我们没有去做过多的讨论，而是通过介绍一些具有代表性的例子，让学生对极限的概念先有一个直观的认识，再在以后的学习中去慢慢体会极限思想。

另一方面，高等数学作为基础课程，教授给学生的不仅是一些实用的数学工具，还应该包含数学素质和数学思维、应用能力和创新能力。因此，教师需要研究学生所属专业的教学计划，了解该专业教学计划中核心课程及主干课程对高等数学的应用要求，从培养应用型、复合型人才的角度吐故纳新，更新教学内容。在此过程中，不仅要处理好经典内容与现代数学观点和方法的关系，还要根据学生及其专业的特点，突破学科界限，促进不同学科内容的融合，从而加强对学生应用能力的培养，达到学以致用的效果。此外，我们也将数学建模的方法融入高等数学课堂教学，这样不仅填补了理论和应用的鸿沟，还激发了学生学习高等数学的积极性。

（二）实现课堂教学方法多元化

教学方法是实现教学目标，落实人才培养模式，提高教学质量的具体实施环节，也是高等数学教学改革的重头戏[6]42-45。教学方法作为调动学生学习积极性的手段，形态并不唯一，教师应根据教学内容适当地选择教学方法。

在高等数学课堂教学中，“启发教学”无疑是授课最适宜的方法。针对高等数学“高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性”这些固有的特点，教师首先应在如何激发学生积极性上下功夫，在教学中力求从实际问题出发进行数学层面的抽象。例如，定积分的形成过程与几何和物理背景都相关。我们可以通过讨论“曲边梯形面积的求解”和“匀变速直线运动的路程”来抽象出定积分这一概念。这不仅有助于学生掌握内容，还有助于发展其抽象思维能力。

其次，高等数学系统性强，知识点衔接紧密。在揭示新旧知识连接点的过程中，“对比教学”不仅可以引导学生进行主动探究，还有助于学生对知识的迁移。例如，在讲授“多元函数微分学”时可以把相关概念和原理与“一元函数微分学”的对应概念和原理进行比较，我们以分析二元函数为主。因为，从二元函数到二元以上的多元函数所产生的新问题可以按照从一元函数到二元函数所产生的问题进行类推。这样既可以展示高等数学理论的推论过程，也可让学生掌握系统学习数学的方法。

此外，“直观教学”在高等数学课堂教学中也举足轻重。教师应注重运用直观、形象的语言或图形去帮助学生把握高等数学的原理与方法。例如，在讲授直角坐标系下三重积分的两种基本计算方法时，我们可以采用更为形象的“切条法”与“切片法”来分别对应教材中的“投影法”和“截面法”[7]58-60。 又如，在讲授弧微分时，我们借助曲边三角形模型去分析，便于学生记住曲线弧在分别由直角坐标方程、参数方程和极坐标方程的形式给出时弧微分的相应计算公式。

（三）渗透背景知识，建立与后续专业课程的联系

传统的高等数学课堂教学往往钟情于严密的数学知识和严谨的理论推导，片面强调数学知识的传授，却忽略了与之有关的实际问题，令学生感受不到学习高等数学的意义。事实上，高等数学的课堂教学，首先，应该强调学科本身对工科学习的工具作用。华罗庚曾说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学”。这是对数学源于生活的精彩描述。因此，在高等数学课堂教学中，教师根据相应内容，适当地建立当前知识与后续专业课程中的联系，将理论知识实用化是必要且可行的。例如，对于经济学类的学生，可以补充经济学家利用微积分来预测全球经济发展趋势的实例；对于地理科学类的学生，可以补充海洋学者利用微积分来描述海洋流动理论和气象学者利用微积分来讨论高空大气层空气流动的实例；对于医学类的学生，可以补充医学家利用微积分来设计扫描人体内部器官的超声波和X-射线探测仪器的实例等[8]6-10。这些源于人们生产和生活的实例与学生所属的专业息息相关，使他们觉得所学的知识更贴切，一方面培养了他们知识迁移的能力和解决实际问题的能力；另一方面又提高了学生的学习兴趣和教师的教学效果。

其次，高等数学背景知识除了包括知识的应用之外，也包括知识的形成，即知识的纵向和横向脉络。数学的发现和创新离不开数学家们的研究方法和研究成果，以及数学家们的审美观和审美情趣。因此，在高等数学的范围内，教师可适当地介绍数学家的生平简史和数学史，在审美原则下去强化数学美感，发挥数学美感在高等数学课堂教学中的指导作用，引导学生鉴赏高等数学之美。生动活泼的数学历史和专业背景不仅可以调节沉闷的课堂氛围，还起到培养学生学习兴趣的作用，利于提高教学效果。

（四）合理利用现代化教学手段

重庆科技学院的教室全部配备了多媒体教学设施。这些设施不仅可以通过文字、声音、动画相结合的方式传递理论知识，将学生的视、听、触觉等都调动起来，还从某种程度上减轻了教师的劳动量。但同时，它也造成了部分老师对多媒体教学的过度依赖。实际上，对于高等数学课堂教学而言，多媒体教学的优势并不是绝对的。多媒体教学在提高教学效率的同时，却因“后页看不到前页”和“快节奏”的弊端而不便于学生记忆和梳理知识的整体性和系统性。“粉笔加黑板”的传统教学手段不仅静态信息容量大、视野宽，有助于教学过程前后呼应，使学生的思考与板书同步，保证学生思维过程的连续性，也有利于教师纠错、自由发挥和随机应变[9]20-21。因此，合理利用多媒体，将传统与现代化教学手段相结合，是我们的主要实践方式。

笔者及其带队的课程教改小组采取了以 “粉笔加黑板”为主的传统教学手段。由于高等数学理论知识的抽象和概括，有其本身的节奏，我们必须适应这种情况并适时调整。一般我们用一块黑板板书某个完整的高等数学问题，对于一些重要的演算或证明过程还可以长时间停留在黑板上，学生注意力不易分散。当遇到一些难以理解的概念和难以想象的图形，我们再以多媒体教学为辅助，发挥其图形和动画功能，直观地展示高等数学中各种几何空间关系，甚至包括几何体的形成过程，使要表述的问题更清晰，更便于学生理解。例如，我们在讲解定积分的概念时，可以充分利用多媒体来演示“分割、近似、求和、取极限”四个步骤去求曲边梯形的面积。这种效果，传统的黑板讲解无法达到。因此，在高等数学课堂教学中，我们应该合理适度地利用多媒体，取长补短。这样才能真正提高教学效率。

此外，结合数值试验可以作为高等数学课堂教学的一个创新尝试。一方面教师可以借助数学工具软件（如Matlab、Maple等）的运用来丰富课堂教学；另一方面，学生还可以通过数学工具软件的应用从繁杂的计算中解放出来，轻松地投入到高等数学课程本质的学习中去。

（五）充分鼓励学生积极参与

在“以教师为中心”的传统教学模式下，高等数学课堂教学几乎完全是由教师独自串讲教学内容为主，我们之前普遍形成的观点就是只要把知识毫无保留地传授给学生即达到目的。G.B.Thomas精辟地指出，“教师和学生在一起才能够成一门课。”事实上，数学教育的核心内容除了数学知识的传授，还包含数学技能的培养，包括计算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、应用能力等[10]。本文认为，应该倡导“以教师为指导、学生积极参与”的“教与学”并重的课堂教学模式。在高等数学课堂教学中，我们可通过适时提问、讨论等方式鼓励和诱导学生积极思考，给学生一定的思考空间，提供机会让学生自我发现，充分发挥学生的主体作用，激发学生的探索和创新精神。借由这样的过程，我们旨在提高学生的数学思维能力、解决问题的实际能力，进而提高学生的数学素质。

（六）及时回顾与总结

要完善高等数学课堂教学，回顾与总结是不可或缺的一个环节。在小节、篇章内容结束之后，教师以系统的观点对该章（节）所讲授的内容勾勒出清晰的框架，循序渐进地对该章（节）的知识点进行综合、归类，以便于加深学生对各部分内容之间关系的理解。例如，在讲完“微分中值定理与导数的应用”这一章之后，可以将四个微分中值定理之间的条件和结论进行比较，把它们的关系归结出来，使学生明确在什么情况下使用哪一个微分中值定理更为合适。简单的回顾与总结不仅能够促使学生累积经验，还能够促进有效的高等数学教学。此外，教师还可以让学生对本章（节）的学习过程进行评价，明确指出在该过程中存在的学习方法的误区，并鼓励学生科学、合理地评价教师的教学效果。

四、高等数学课堂教学实践的效果

笔者及其带队的课程教改小组按照前面的思路，对高等数学课堂教学进行了优化和更新，并在教学过程中不断改进、完善。现分别对革新前（重庆科技学院石油工程2011级1、2、5班）和革新后（重庆科技学院石油工程2013级1、2、5班）两个时期相同教学单位的考试成绩进行了比较。通过对比分析，我们发现革新后的教学班级及格率和优生率都有所提高。

五、结语

为了适应重庆市经济社会发展和产业结构调整需要，促进高等教育规模结构质量效益的协调发展，重庆科技学院正积极推动着教学模式的转型升级。我们必须立足于新的条件，在“工科类本科数学基础课程教学基本要求”的指导下，结合应用型本科院校对人才质量的培养要求，积极探索新建本科院校高等数学课程教学的改革模式与方法，着重培养学生在理解理论的基础上应用高等数学知识解决实际问题的意识和能力，以进一步提高高等数学课程的教学质量。

[1]William E.Haver.National Science Foundation Calculus Program in National Science Foundation（Eds.）[A]//Calculus:Catalyzing a National Community for Reform[M].the Mathematical Association of America， Washington D.C.， NW，1987.

[2]同济大学数学系.高等数学 [M].第六版.北京:高等教育出版社，2007.

[3]Frank R.Giordano， Joel Hass， Maurice D.Weir， George B.Thomas.Thomas’ Calculus[M].12th ed.Pearson Hall， Inc.，NJ，2009.

[4]吕金城.浅谈课堂兴趣激励与高等数学教学改革[J].教育与职业，2006（5）.

[5]余丽琴，杨宏林.高等数学教学法探讨[J].教育与职业，2006（5）.

[6]王爱云，张燕.高等数学课程建设和教学改革研究与实践[J].大学数学，2004（4）.

[7]王远，李莉.由中美教材对比谈高等数学教学中的几点体会[J].黑龙江教育学院学报，2011（6）.

[8]傅苇.高等数学教学方法的探索与实践[J].大学数学，2007（6）.

[9]张丽丽.高等数学多媒体课堂教学探讨[J].高等数学研究，2007（4）.

[10]张静，李燕.科学计算软件在线性代数中地审美教学策略[J].电脑知识与技术，2009（16）.