2×3量子系统中互不偏的不可扩展最大纠缠基

李玮， 林平， 郑鸿楠， 秦川棋， 杨强， 陶元红

( 延边大学理学院 数学系, 吉林 延吉 133002 )

本文主要讨论了2×3量子系统中彼此互不偏的不可扩展的最大纠缠基.通过变换C3空间的基底，构造了彼此无偏的两组均由4个彼此规范正交的最大纠缠态构成的2×3量子系统中不可扩展的最大纠缠基，并在保证无偏的前提下，将这两组不可扩展的最大纠缠基进行了完备化.

1 C2⊗C3中不可扩展的最大纠缠基

定义2[4]由态{|φi〉∈Cd⊗Cd′:i=1,2,…,n,n

1) |φi〉,i=1,2,…,n均为最大纠缠态;

2) 〈φi|φj〉=δij;

3) 若对任意i=1,2,…,n, 均有〈φi|φ〉=0， 则φ必不是最大纠缠的.

首先构造2×3量子系统中的不可扩展的最大纠缠基.考虑C2⊗C3中如下4个彼此规范正交的最大纠缠态：

(1)

其中{|0〉,|1〉}，{|0′〉，|1′〉，|2′〉}分别为C2和C3中的标准正交基.

定理1(1)式中的4个最大纠缠态构成了C2⊗C3中一组不可扩展的最大纠缠基.

证明显然(1)式中的每个态都是C2⊗C3中的最大纠缠态，且彼此规范正交.

即

(2)

(3)

(4)

(5)

显然,(2)—(5)式可写成

(6)

即为齐次方程组

Av=0.

(7)

综上，(1)式中的4个向量构成了C2⊗C3中的一组不可扩展的最大纠缠基.

2 2×3量子系统中互不偏的不可扩展最大纠缠基

首先在C3中选取与{|0′〉，|1′〉，|2′〉}不同的另一个标准正交基(此组基与文献[5]中的完全不同)：

(8)

然后利用定理1，构造C2⊗C3中的第2组不可扩展的最大纠缠基

(9)

容易证得，(1)式和(9)式这两组不可扩展的最大纠缠基是互不偏的，即

(10)

事实上，由于

(11)

(12)

为了证明这两组基是互不偏的，只需证明如下两组等式即可：

(13)

事实上，由于

综上可知，(11)式和(12)式构成了2×3量子系统中一对完备的互不偏的不可扩展的最大纠缠基.

参考文献：

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