追寻简约的数学教学

杜紫红

近来，因要教学《垂直与平行》的研讨课，笔者观摩相关的课堂教学也有四五节，但发现大部分课总是在“引导学生在纸上任意画两条直线，并根据两条直线的位置关系进行分类”上纠缠了很长时间，教学效果很一般。于是，笔者与备课团队一起，着眼于学生的认知需要，围绕“简约、智慧”进行思考，进行了有创意的设计。

一、既关注知识也关注思想方法的教学

新课程标准指出，课程内容不仅包括数学结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。以“简约、智慧”的教学思想设计教学，我们在这节课中关注分类思想方法的渗透，四次分类活动，完善学生的认知。

分类一：

师：同学们，今天我们来做个试验：瞧，这儿有两根小棒，从高处落下来，猜猜它们会掉在哪里。

生：两根都在桌上，两根都在地板上，一根在桌上一根在地板上。

师：（出示课件■）如果把这三种情况分成两类，你想怎么分？为什么这么分呢？

生1：①②分一类，③分一类。

生2：因为①②两根小棒都落在同一个地方，③两根小棒落在不同的地方。

师：两根小棒都落在桌面或都落在地面，我们说它们落在同一个平面内；一根在地面，一根在桌面就说它们不在同一个平面内。

……

分类二：

师：在这个平面上有五组直线，你能把它们分成两类吗？（出示■）

生1：①②③分为一类，④⑤分为一类。

师：为什么这么分类呢？

生：交叉在一起的分为一类，没有交叉在一起的分为一类。

师：还有不同的方法吗？

生：①③分为一类，②④⑤分为一类。

师：到底②是分在左边还是右边呢？

生：沉默，思考。

师（指②）：今天咱们研究两条直线的位置关系，直线它就只能这么长吗？

生（恍然大悟）：直线可以往两端无限延伸……

师：瞧，把这些直线都延长了，你发现了什么？

这时候，你想怎么分类呢？

生：①③分为一类，②④⑤分为一类。

生：相交的分为一类，不相交的分为一类。

师（板书）：这一类延长了会相交吗？像这样不管怎么延长都不相交的两条直线，我们就说它们互相平行。

……

分类三：

师（课件演示）：如果一条直线旋转了呢？

生：相交了。

师（课件演示）：继续旋转呢？再旋转？

生：相交、相交……

师：有多少组相交？

生：无数组。

师：（出示动态课件■）在这么多组的相交中，哪一组最特殊？

生：最中间的那组最特殊了。

……

分类四：

课件演示，学生根据动态课件的演示快速说出两条直线的位置关系。

生：相交、相交、相交……

师：（出示课件■）

生（异口同声）：相交、垂直……

师：到底是相交还是垂直？

生：垂直。

师：垂直的两条直线相交吗？

生：相交。

师：那是说相交好还是垂直好呢？

生：垂直好。因为相交太普遍了，只有相交成直角才是互相垂直。

生（鼓掌）……

师：那你们说说同一平面内的位置关系可以分成几类？

生：平行的一类，相交的一类。

师：为什么不把垂直也分成一类呢？

生：垂直也是相交，是比较特别的相交。

……

第一次分类，围绕“2根小棒落在哪里”进行分类，学生在浅显的生活情境中获得了“同一平面”及“不同平面”的认识。第二次分类明确相交与平行。将分类设置条件，强调只能分两类，这样的要求使学生的分类标准清晰而准确——“可以按是否交叉”进行分类，相交的分为一类，不相交的分为一类。但是第二组直线是否真的相交，学生的思考聚焦到第二组直线的何去何从上，在思考辨析中抓住思维的拐杖——“直线可以无限延长”，借助课件的帮助使得学生清晰地看到延长后的各组直线的情况，分类水到渠成。第三次的分类在相交中分出了垂直。虽然没有明确提出分类标准，但是围绕着“这么多组相交，哪组最特殊”这一问题，学生观察到“相交成直角”的特殊位置，进而进入了“垂直”的教学。第四次分类，同一平面内两条直线的位置关系到底是分成两类还是三类，学生在分类中分出完整的知识结构，垂直也是一种相交，分类思想为主线贯穿全课。

二、以结构化思想设计教学

“简约、智慧”的课堂，除了要引导学生掌握相应数学知识，还应注意加深知识间的联系，使之串点成线，连线成面。为了达到这一目标，笔者仔细研读了人教版、北师大版中“垂直与平行”的内容，并进行分析比较。

人教版教材的编排注重“从整体上把握平行和垂直的含义”，安排了“学生在纸上任意画两条直线”的活动，引导学生根据两条直线的位置关系进行分类，对相交和不相交进行观察和辨析，从而揭示平行和垂直的概念；北师大版教材将垂直与平行划分为“平移与平行、垂直与相交（旋转）”两课时进行教学，强调在直线的动态变化中认识垂直与平行。不同版本的编排有各自的特点，将垂直与平行放在一起教学能使学生从整体上把握“平行与垂直”的含义，沟通知识之间的内在联系，构建知识的横向网络；将平行置于平移，垂直置于相交（旋转）内进行教学，有利于学生从动态的角度理解垂直与平行的概念，进而形成纵向的知识联系。为了发挥不同教材的优势，这堂课中，我们尝试将这二者的编排进行融合。

在学生认识“在同一平面内不相交的两条直线互相平行”之后，设计如下：endprint

师（出示课件■）：我们把互相平行的两条直线请到方格纸上，你们发现什么了？

生1：这两条直线之间的宽度一样。

生2：两条直线之间的距离都是两格。

师（课件演示：直线平移■）：一条直线不动，另一条直线向上平移两格，你们又发现什么了？

生1：两条直线之间的距离是4格。

生2：平移之后这两条直线还是互相平行的……

师（课件演示）：如果一条直线旋转了呢？

生：相交了。

师（课件演示■）：继续旋转呢？再旋转？

生：相交、相交……

师：有多少组相交？

生：无数组。

师（出示动态课件）：在这么多组的相交中，哪一组最特殊？

生：最中间的那组最特殊了。

……

本次教学一改以往在静态中认识“垂直与平行”的做法，学生通过分类认识“平行”，将平行线请到方格纸上，借助直观，使学生清晰地看到两条直线之间的“宽度”是两格，初步体会“平行线之间的距离相等”；平移之后，两条直线仍然平行，它们之间的距离还是相等；如果旋转了呢？学生在直线的平移与旋转中，认识了平行线的特点，并在动态的旋转过程中认识“不断地旋转形成数不清的相交情况”，其中最特殊的相交就是垂直。人教版与北师大版教材的融合使用，学生既能从整体上把握“平行和垂直”的含义，又能在直线“平移与旋转”的动态变化中认识概念，加深知识间的纵向联系和横向联系，构建知识网络，体现结构化的教学思想。

三、关注学生自主学习

垂直与平行内容以陈述性的知识为主，在陈述性知识的教学中，我们关注如何引导学生自主学习。如认识平行时，提出明确的任务，引导学生在分类的过程中生生交流，完善分类的标准；认识垂直时则是引导学生自学课本，围绕问题“在这么多组相交中，哪组最特殊”“相交成直角有哪些知识”，同学们自学课本，在学习任务中明确提出交流要求，为生生的思维碰撞提供时间与空间。

数学教学是数学思维活动的教学，是师生交往、互动与共同发展的过程，教师要根据学生的具体情况，对教材进行再创造，为学生提供充分从事数学活动和交流的机会，促进他们在自主探索的过程中真正理解和掌握数学知识与技能，体验数学思想方法，使得数学课堂简约而又充盈着学生的智慧。endprint

师（出示课件■）：我们把互相平行的两条直线请到方格纸上，你们发现什么了？

生1：这两条直线之间的宽度一样。

生2：两条直线之间的距离都是两格。

师（课件演示：直线平移■）：一条直线不动，另一条直线向上平移两格，你们又发现什么了？

生1：两条直线之间的距离是4格。

生2：平移之后这两条直线还是互相平行的……

师（课件演示）：如果一条直线旋转了呢？

生：相交了。

师（课件演示■）：继续旋转呢？再旋转？

生：相交、相交……

师：有多少组相交？

生：无数组。

师（出示动态课件）：在这么多组的相交中，哪一组最特殊？

生：最中间的那组最特殊了。

……

本次教学一改以往在静态中认识“垂直与平行”的做法，学生通过分类认识“平行”，将平行线请到方格纸上，借助直观，使学生清晰地看到两条直线之间的“宽度”是两格，初步体会“平行线之间的距离相等”；平移之后，两条直线仍然平行，它们之间的距离还是相等；如果旋转了呢？学生在直线的平移与旋转中，认识了平行线的特点，并在动态的旋转过程中认识“不断地旋转形成数不清的相交情况”，其中最特殊的相交就是垂直。人教版与北师大版教材的融合使用，学生既能从整体上把握“平行和垂直”的含义，又能在直线“平移与旋转”的动态变化中认识概念，加深知识间的纵向联系和横向联系，构建知识网络，体现结构化的教学思想。

三、关注学生自主学习

垂直与平行内容以陈述性的知识为主，在陈述性知识的教学中，我们关注如何引导学生自主学习。如认识平行时，提出明确的任务，引导学生在分类的过程中生生交流，完善分类的标准；认识垂直时则是引导学生自学课本，围绕问题“在这么多组相交中，哪组最特殊”“相交成直角有哪些知识”，同学们自学课本，在学习任务中明确提出交流要求，为生生的思维碰撞提供时间与空间。

数学教学是数学思维活动的教学，是师生交往、互动与共同发展的过程，教师要根据学生的具体情况，对教材进行再创造，为学生提供充分从事数学活动和交流的机会，促进他们在自主探索的过程中真正理解和掌握数学知识与技能，体验数学思想方法，使得数学课堂简约而又充盈着学生的智慧。endprint

师（出示课件■）：我们把互相平行的两条直线请到方格纸上，你们发现什么了？

生1：这两条直线之间的宽度一样。

生2：两条直线之间的距离都是两格。

师（课件演示：直线平移■）：一条直线不动，另一条直线向上平移两格，你们又发现什么了？

生1：两条直线之间的距离是4格。

生2：平移之后这两条直线还是互相平行的……

师（课件演示）：如果一条直线旋转了呢？

生：相交了。

师（课件演示■）：继续旋转呢？再旋转？

生：相交、相交……

师：有多少组相交？

生：无数组。

师（出示动态课件）：在这么多组的相交中，哪一组最特殊？

生：最中间的那组最特殊了。

……

本次教学一改以往在静态中认识“垂直与平行”的做法，学生通过分类认识“平行”，将平行线请到方格纸上，借助直观，使学生清晰地看到两条直线之间的“宽度”是两格，初步体会“平行线之间的距离相等”；平移之后，两条直线仍然平行，它们之间的距离还是相等；如果旋转了呢？学生在直线的平移与旋转中，认识了平行线的特点，并在动态的旋转过程中认识“不断地旋转形成数不清的相交情况”，其中最特殊的相交就是垂直。人教版与北师大版教材的融合使用，学生既能从整体上把握“平行和垂直”的含义，又能在直线“平移与旋转”的动态变化中认识概念，加深知识间的纵向联系和横向联系，构建知识网络，体现结构化的教学思想。

三、关注学生自主学习

垂直与平行内容以陈述性的知识为主，在陈述性知识的教学中，我们关注如何引导学生自主学习。如认识平行时，提出明确的任务，引导学生在分类的过程中生生交流，完善分类的标准；认识垂直时则是引导学生自学课本，围绕问题“在这么多组相交中，哪组最特殊”“相交成直角有哪些知识”，同学们自学课本，在学习任务中明确提出交流要求，为生生的思维碰撞提供时间与空间。

数学教学是数学思维活动的教学，是师生交往、互动与共同发展的过程，教师要根据学生的具体情况，对教材进行再创造，为学生提供充分从事数学活动和交流的机会，促进他们在自主探索的过程中真正理解和掌握数学知识与技能，体验数学思想方法，使得数学课堂简约而又充盈着学生的智慧。endprint