折叠问题如何解

华腾飞

近年来，各地的中考试卷中频频出现图形折叠的考题，有些同学对求解此类问题感到无从下手，其实求解此类问题的关键是要充分利用轴对称图形，灵活运用相关知识容易求解。下面以近年各地中考题为例说明求解此类问题的方法，希望对提高同学们的解题技能和技巧能够有所帮助。

1翻折三角形的一角

例1（2013烟台）如图1所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度。

解析连接BO、CO，因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=63°。根据垂直平分线、角平分线的性质及等腰三角形的对称性可知，∠ABO=∠BAO=∠ACO=27°，所以∠OBC=∠BCO=36°，所以∠COE=∠BCO=36°，所以在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠BCO=180°-36°-36°=108°。

图1图2例2（2013徐州）如图2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）。当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由。

解析连接CD，与EF交于O点。因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，所以CD=DB=112AB，所以∠DCB=∠B。由折叠知，∠COF=90°，所以∠DCB+∠CFE=90°。因为∠B+∠A=90°，所以∠CFE=∠A。又因为∠C=∠C，所以△CEF∽△CBA。

2翻折正方形的一角

例3（2013成都）如图3所示，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合。若AB=2，则C′D的长为（）

A。1B。2C。3D。4

解析根据矩形的对边相等，得CD=AB=2，由折叠可知C′D=2。故应选B.

图3图4例4（2013河南）如图4所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上的一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处。当△CEB′为直接三角形时，BE的长为。

解析（1）当点B′落在AD上时，如图5所示，∠B′EC=90°，此时∠BAB′=∠B=∠AB′E=90°，AB′=AB，则四边形ABEB′是正方形，BE=AB=3。

（2）如图6所示，连结AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=5。当B′落在AC上时，∠EB′C=90°，此时∠AB′E=∠B=90°，AB′=AB=3，B′E=BE，则B′C=5-3=2。

设BE=x，则B′E=x，EC=4-x。在Rt△B′EC中，由勾股定理，得B′E2+B′C2=EC2，即x2+22=（4-x）2，解之得：x=1。5。故本题应填：3或1。5。

图5图63翻折菱形的一角

例5（2013南京）如图7所示，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=cm。

图7图8解析如图8所示，连结BD、AO，则B、O、D三点共线，BO=112BD，AO⊥BD，AO平分∠BAD，所以∠BAO=60°。

在Rt△AOB中，BO=AB·sin60°=2×312=3cm。

由折叠知，AO垂直平分EF，所以EF∥BD，所以EF是△ABD的中位线，所以EF=112BD=BO=3cm。

4翻折四边形的一角

例6（2013兰州）如图9所示，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8。以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E。

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）如图10所示，将图9中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长。图9图10证与解（1）在Rt△OAB中，D为OB的中点，所以DO=DA，所以∠DAO=∠DOA=30°。因为△OBC为等边三角形，所以∠BCO=∠COB=60°，所以∠EOA=90°，所以OC∥AB，∠AEO=60°=∠BCO，所以BC∥AE，所以四边形ABCE是平行四边形。

（2）由题意知OC=OB=8。

设OG=x，则由折叠可知，AG=GC=8-x。

在Rt△ABO中，因为∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，所以OA=OB·cos30°=8×312=43。

在Rt△OAG中，由勾股定理可得：OG2+OA2=AG2，即x2+（43）2=（8-x）2，解得x=1，所以OG=1。endprint

近年来，各地的中考试卷中频频出现图形折叠的考题，有些同学对求解此类问题感到无从下手，其实求解此类问题的关键是要充分利用轴对称图形，灵活运用相关知识容易求解。下面以近年各地中考题为例说明求解此类问题的方法，希望对提高同学们的解题技能和技巧能够有所帮助。

1翻折三角形的一角

例1（2013烟台）如图1所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度。

解析连接BO、CO，因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=63°。根据垂直平分线、角平分线的性质及等腰三角形的对称性可知，∠ABO=∠BAO=∠ACO=27°，所以∠OBC=∠BCO=36°，所以∠COE=∠BCO=36°，所以在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠BCO=180°-36°-36°=108°。

图1图2例2（2013徐州）如图2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）。当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由。

解析连接CD，与EF交于O点。因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，所以CD=DB=112AB，所以∠DCB=∠B。由折叠知，∠COF=90°，所以∠DCB+∠CFE=90°。因为∠B+∠A=90°，所以∠CFE=∠A。又因为∠C=∠C，所以△CEF∽△CBA。

2翻折正方形的一角

例3（2013成都）如图3所示，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合。若AB=2，则C′D的长为（）

A。1B。2C。3D。4

解析根据矩形的对边相等，得CD=AB=2，由折叠可知C′D=2。故应选B.

图3图4例4（2013河南）如图4所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上的一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处。当△CEB′为直接三角形时，BE的长为。

解析（1）当点B′落在AD上时，如图5所示，∠B′EC=90°，此时∠BAB′=∠B=∠AB′E=90°，AB′=AB，则四边形ABEB′是正方形，BE=AB=3。

（2）如图6所示，连结AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=5。当B′落在AC上时，∠EB′C=90°，此时∠AB′E=∠B=90°，AB′=AB=3，B′E=BE，则B′C=5-3=2。

设BE=x，则B′E=x，EC=4-x。在Rt△B′EC中，由勾股定理，得B′E2+B′C2=EC2，即x2+22=（4-x）2，解之得：x=1。5。故本题应填：3或1。5。

图5图63翻折菱形的一角

例5（2013南京）如图7所示，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=cm。

图7图8解析如图8所示，连结BD、AO，则B、O、D三点共线，BO=112BD，AO⊥BD，AO平分∠BAD，所以∠BAO=60°。

在Rt△AOB中，BO=AB·sin60°=2×312=3cm。

由折叠知，AO垂直平分EF，所以EF∥BD，所以EF是△ABD的中位线，所以EF=112BD=BO=3cm。

4翻折四边形的一角

例6（2013兰州）如图9所示，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8。以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E。

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）如图10所示，将图9中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长。图9图10证与解（1）在Rt△OAB中，D为OB的中点，所以DO=DA，所以∠DAO=∠DOA=30°。因为△OBC为等边三角形，所以∠BCO=∠COB=60°，所以∠EOA=90°，所以OC∥AB，∠AEO=60°=∠BCO，所以BC∥AE，所以四边形ABCE是平行四边形。

（2）由题意知OC=OB=8。

设OG=x，则由折叠可知，AG=GC=8-x。

在Rt△ABO中，因为∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，所以OA=OB·cos30°=8×312=43。

在Rt△OAG中，由勾股定理可得：OG2+OA2=AG2，即x2+（43）2=（8-x）2，解得x=1，所以OG=1。endprint

近年来，各地的中考试卷中频频出现图形折叠的考题，有些同学对求解此类问题感到无从下手，其实求解此类问题的关键是要充分利用轴对称图形，灵活运用相关知识容易求解。下面以近年各地中考题为例说明求解此类问题的方法，希望对提高同学们的解题技能和技巧能够有所帮助。

1翻折三角形的一角

例1（2013烟台）如图1所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度。

解析连接BO、CO，因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=63°。根据垂直平分线、角平分线的性质及等腰三角形的对称性可知，∠ABO=∠BAO=∠ACO=27°，所以∠OBC=∠BCO=36°，所以∠COE=∠BCO=36°，所以在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠BCO=180°-36°-36°=108°。

图1图2例2（2013徐州）如图2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）。当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由。

解析连接CD，与EF交于O点。因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，所以CD=DB=112AB，所以∠DCB=∠B。由折叠知，∠COF=90°，所以∠DCB+∠CFE=90°。因为∠B+∠A=90°，所以∠CFE=∠A。又因为∠C=∠C，所以△CEF∽△CBA。

2翻折正方形的一角

例3（2013成都）如图3所示，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合。若AB=2，则C′D的长为（）

A。1B。2C。3D。4

解析根据矩形的对边相等，得CD=AB=2，由折叠可知C′D=2。故应选B.

图3图4例4（2013河南）如图4所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上的一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处。当△CEB′为直接三角形时，BE的长为。

解析（1）当点B′落在AD上时，如图5所示，∠B′EC=90°，此时∠BAB′=∠B=∠AB′E=90°，AB′=AB，则四边形ABEB′是正方形，BE=AB=3。

（2）如图6所示，连结AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=5。当B′落在AC上时，∠EB′C=90°，此时∠AB′E=∠B=90°，AB′=AB=3，B′E=BE，则B′C=5-3=2。

设BE=x，则B′E=x，EC=4-x。在Rt△B′EC中，由勾股定理，得B′E2+B′C2=EC2，即x2+22=（4-x）2，解之得：x=1。5。故本题应填：3或1。5。

图5图63翻折菱形的一角

例5（2013南京）如图7所示，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=cm。

图7图8解析如图8所示，连结BD、AO，则B、O、D三点共线，BO=112BD，AO⊥BD，AO平分∠BAD，所以∠BAO=60°。

在Rt△AOB中，BO=AB·sin60°=2×312=3cm。

由折叠知，AO垂直平分EF，所以EF∥BD，所以EF是△ABD的中位线，所以EF=112BD=BO=3cm。

4翻折四边形的一角

例6（2013兰州）如图9所示，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8。以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E。

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）如图10所示，将图9中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长。图9图10证与解（1）在Rt△OAB中，D为OB的中点，所以DO=DA，所以∠DAO=∠DOA=30°。因为△OBC为等边三角形，所以∠BCO=∠COB=60°，所以∠EOA=90°，所以OC∥AB，∠AEO=60°=∠BCO，所以BC∥AE，所以四边形ABCE是平行四边形。

（2）由题意知OC=OB=8。

设OG=x，则由折叠可知，AG=GC=8-x。

在Rt△ABO中，因为∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，所以OA=OB·cos30°=8×312=43。

在Rt△OAG中，由勾股定理可得：OG2+OA2=AG2，即x2+（43）2=（8-x）2，解得x=1，所以OG=1。endprint