活用解题策略方入思维胜境

钱德春

中考压轴题往往是初中数学解题的制高点，也是思维的制高点。这种制高点在哪里？“在常规思路无能为力的地方，在需要预测、直觉、估算、转换视角、合情推理等思维方式参与的地方”[1]。那么，如何达到制高点呢？近几年，不少中考数学试题在考查学生解题策略和思维能力方面有所体现。现以泰州市中考数学压轴题为例，谈谈达到数学解题与数学思维制高点的策略.

1退一步，海阔天空

“以退为进”最早见于汉·扬雄《法言·君子》：“昔乎颜渊以退为进，天下鲜俪焉。”意即：以退让的姿态作为进取的手段。“以退为进”作为一种策略，也常用于数学解题思路分析，2012年泰州中考卷第28题就较好地体现了这种策略.

例1已知一次函数y1=kx+b的图像与x轴相交于点A，与反比例函数y2=c1x的图像相交于B（-1，5）、C（512，d）两点。点P（m、n）是一次函数y1=kx+b的图像上的动点.

（1）求k、b的值；（k=-2，b=3，一次函数：y1=-2x+3）

（2）（略）；

（3）设m=1-a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围.

本题第（3）小题为4分，考试平均分仅为0。12分，得分率仅3%。是什么原因导致这样的结果呢？调查发现：大多学生（甚至不少教师）因找不到切入口而无从下手.

将（m，n）代入y1=-2x+3，由m=1-a，可求得n=1+2a。不妨退后一步思考：既然“在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数”，至少可以说明m≠n，从而有a≠0，即m≠1、n≠1，则m、n中必有一个大于1，另一个小于1，由此找到了问题解决的突破口.

由题意知：m≠n，从而有a≠0，即m≠1、n≠1.

分两种情况画数轴（如图1），

图1有：0≤m<1，

1

或0≤n<1，

1

从而解得实数a的范围是-112≤a<0或0

本题的解题过程并不复杂，所用知识只是七年级的数轴、解不等式组，数学思想也只有数形结合（画数轴）、分类讨论，但起关键作用的正是“以退为进”的策略.

2转视角，柳暗花明

苏轼在《题西林壁》中写道：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”这就是说，看问题有时要换个角度思考，这也是数学解题中的一个重要策略.

图2在例1中，如果换一种角度思考，由于m=1-a、n=1+2a，可以将m、n看成是关于a的函数，进而在同一坐标系中作出图像（如图2），发现两直线恰好相交于纵轴上的（0，1）点，显然，从图像上看，纵轴左侧的图像表明：当a<0时，m>1，n<1；纵轴右侧的图像表明：当a>0时，m<1，n>1，要满足每件“在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，只能取两直线m=1-a、n=1+2a夹在在x轴与直线y=2之间的部分，故同样可以求出a的范围.

这里m=1-a、n=1+2a可以看成两个固态的等式或方程。但如果换个角度思考，把他们看成两个一次函数，进而联想到函数图像，从“形”的角度去理解就更加直观、形象，问题则迎刃而解。通过“转换视角”，从而达到了“柳暗花明”的美好境界.

3借数感，绝处逢生

《义务教育数学课程标准》（2011版）提出了“数感”的概念，即“关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。”[2]2010年泰州中考卷第27题就是以“数感”立意的一道压轴题.

例2二次函数y=-112x2+c的图像经过点D（-3，912），与x轴交于A、B两点.

（1）求c的值；（c=6）

（2）（略）；

（3）设点P、Q为二次函数的图像在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由.

先来看第（3）小题的参考解答：

图3答：符合条件的点P、Q存在。验证如下：

如图3，当点Q运动至抛物线与y轴交点（0，6）时，QA=62+（23）2=43=AB.

只要作∠QAB的平分线交抛物线于点P，连结QP、BP，由AQ=AB，∠QAP=∠BAP，AP为公共边即可得△AQP≌△ABP.

问题分析：试题参考解答除符号外只有76个字，看上去简单、无特别之处，但学生考试数据统计显示：满分4分的题，平均分只有0。2，正确率仅为5%。主要原因是学生缺少数感。题目中的“△AQP≌△ABP”可看着是条件，说明△AQP与△ABP两个三角形不仅全等，而且边、角都是对应的，其中有AQ=AB；从点A、B、C的坐标（-23，0）、（23，0）、（0，6）看，除了有AB=43外，你的潜意识里是否还感觉到了什么？

注意到点A、B的坐标中含有3，根据经验和直觉，可能与30°角、等边三角形等有关。不妨尝试一下：结合图形有tan∠OAC=OC1OA=6123=3，显然，∠OAC=60°，AC=2AO=43=AB，即在抛物线上找到了一个点C（即Q），使QA=BA，问题得以突破。当然也可以计算AC=AO2+CO2=62+（23）2=43，同样能解决问题.

将“数”转化为“形”，让问题在“在直观上变得显然起来”，这是德国数学家C。F。克莱因给我们的教诲。如本例中由3联想到30°的角、含有30°角的直角三角形、等边三角形等；又如由2联想到45°的角、等腰直角三角形、正方形等；再如由含有5的数据联想到黄金分割、正五边形等。这种数感不是教师“教”的结果，而是活动经验的积累。教学中，要引导学生经历活动过程，积累活动经验，增强学生对一些特殊数的感悟.

图4从学生答题看，思维定势也是影响本题有效解决的原因之一。根据题意，问题可以转化为：在二次函数y=-112x2+6的图像上是否存在点Q，使AQ=AB，以A为圆心、AB为半径作圆与抛物线在x轴上方的交点就应该是符合条件的点（见图4中的Q1、Q2两点）。按常规思路，可以设抛物线上点Q坐标为（m，-112m2+6），由AQ=AB得：

（m+23）2+（-112m2+6）2=（43）2，

化简后得m4-20m2+163m=0.

显然，以初中学生现有水平难以求出点Q的坐标，这决非命题者的考查意图。众多中考试题都是这样的问题格式：“是否存在××，使××？如果存在，请求出××；如果不存在，请说明理由。”这里的“求出”是指求出符合要求的所有可能情形，然而例2中的“如果存在，请举例验证你的猜想”，许多学生（包括教师）受大多这类问题呈现方式定势的影响，总是试图求出符合要求的所有点的坐标，进而出现思维障碍。其实，这里的“举例说明”意味着“如果存在”，不论存在多少种情形，只要举一例说明符合要求即可，不必论述“找”的过程。至于从哪里来、怎么得到的，与答题无关.

4缜推演，云帆济海

李白诗言：长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。解决问题仅有可行方案还不够，还需要思路上的清晰、算法上的娴熟，需要运算的准确性、逻辑的严谨性和表达的规范性。惟此，才能达到“直挂云帆济沧海”的境界。2011年泰州中考卷第27题就体现了这样的能力要求.

例3已知：二次函数y=x2+bx-3的图像经过点P（-2，5）.

（1）求b的值，并写出当1

（2）设点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）在这个二次函数的图像上.

①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；

②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长。请说明理由.

本题实测难度系数为0。46，满分率仅为0。03%，尤其是第（2）题的第②问的得分率极低。学生认为本题比较容易，甚至不少教师也没有洞察出问题所在。那么，问题究竟在哪里呢？

（Ⅰ）默认y1、y2、y3为正数而不加以证明。本题第（2）题和第①问中，当m=4时P1、P2、P3三点的纵坐标y1、y2、y3的对应值分别为5、12、21是具体数值，且均为正，因为5+12<21，所以y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长；而第②问中，当m≥4时，y1、y2、y3的对应量是（m-1）2-4、m2-4和（m+1）2-4是函数图像上3个点的纵坐标，都是含有m的代数式，成为三角形的三边的必要条件是3个含m的多项式的值是正数。问题①既为问题②的解决做了铺垫，客观上也对问题②的突破形成了干扰。这里只要说明当m≥5时，y1=（m-1）2-4>0，y2=m2-4>0，y3=（m+1）2-4>0即可.

（Ⅱ）不比较y1、y2、y3的大小而直接证明y1+y2>y3，还有不少学生将y1、y2、y3三种可能的关系y1+y2>y3、y1+y3>y2、y2+y3>y1一一列出，试图通过三个不等式说明，导致说理不清甚至无法解决。“三条线段构成三角形”的充要条件是“其中任意两条线段之和大于第三条线段的长”，只要证明“两条较小线段的和大于最长线段”。显然，利用函数增减性即可证明最大.

因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，

当x>1时随增大而增大

而m≥5时，点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）都在对称轴的右侧，所以y1

问题转化为证明“两个较小量的和大于最大的量”，即证明y1+y2>y3.

由于y1+y2-y3

=（m-1）2-4+m2-4-[（m+1）2-4]

=m2-4m-4=（m-2）2-8

因为m≥5时，（m-2）2-8≥（5-2）2-8>0，即y1+y2-y3>0，所以y1+y2>y3。

所以，当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长.

本题考查了二次函数的增减性、数与形之间的关系，重点考查简单的代数推理能力，尤其是考查学生思维的缜密性。不少学生还停留在直觉阶段，并将直觉作为结论予以默认。事实上，从直觉思维到逻辑证明，再到有条理地表述是数学学习能力的飞跃，也是学生继续进行更高层次数学学习的需要，教学时应予以高度重视.

应当说：数学中考压轴题的解题源于数学的知识技能、抽象概括、逻辑推理和一定量的解题的训练，源于数学思想、方法和策略的统摄，更需要数学常识、数学直观、合情推理和数学活动的经验的积累，这就要求在平时的教学中，将三者有机整合，培养学生在数学学习中将相关知识建立联系的能力，在思维受阻时寻求突破的能力，在成功解题后的归纳反思的能力。只有这样，学生的数学学习才能达到思维的胜境。

参考文献

[1]裴光亚。高考数学有效复习的途径——三个“三步曲”[J]。数学通讯，2010（10）：43-50。

[2]中华人民共和国教育部。义务教育数学课程标准（2011）[S]。北京：北京师范大学出版社，2011：5。

图4从学生答题看，思维定势也是影响本题有效解决的原因之一。根据题意，问题可以转化为：在二次函数y=-112x2+6的图像上是否存在点Q，使AQ=AB，以A为圆心、AB为半径作圆与抛物线在x轴上方的交点就应该是符合条件的点（见图4中的Q1、Q2两点）。按常规思路，可以设抛物线上点Q坐标为（m，-112m2+6），由AQ=AB得：

（m+23）2+（-112m2+6）2=（43）2，

化简后得m4-20m2+163m=0.

显然，以初中学生现有水平难以求出点Q的坐标，这决非命题者的考查意图。众多中考试题都是这样的问题格式：“是否存在××，使××？如果存在，请求出××；如果不存在，请说明理由。”这里的“求出”是指求出符合要求的所有可能情形，然而例2中的“如果存在，请举例验证你的猜想”，许多学生（包括教师）受大多这类问题呈现方式定势的影响，总是试图求出符合要求的所有点的坐标，进而出现思维障碍。其实，这里的“举例说明”意味着“如果存在”，不论存在多少种情形，只要举一例说明符合要求即可，不必论述“找”的过程。至于从哪里来、怎么得到的，与答题无关.

4缜推演，云帆济海

李白诗言：长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。解决问题仅有可行方案还不够，还需要思路上的清晰、算法上的娴熟，需要运算的准确性、逻辑的严谨性和表达的规范性。惟此，才能达到“直挂云帆济沧海”的境界。2011年泰州中考卷第27题就体现了这样的能力要求.

例3已知：二次函数y=x2+bx-3的图像经过点P（-2，5）.

（1）求b的值，并写出当1

（2）设点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）在这个二次函数的图像上.

①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；

②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长。请说明理由.

本题实测难度系数为0。46，满分率仅为0。03%，尤其是第（2）题的第②问的得分率极低。学生认为本题比较容易，甚至不少教师也没有洞察出问题所在。那么，问题究竟在哪里呢？

（Ⅰ）默认y1、y2、y3为正数而不加以证明。本题第（2）题和第①问中，当m=4时P1、P2、P3三点的纵坐标y1、y2、y3的对应值分别为5、12、21是具体数值，且均为正，因为5+12<21，所以y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长；而第②问中，当m≥4时，y1、y2、y3的对应量是（m-1）2-4、m2-4和（m+1）2-4是函数图像上3个点的纵坐标，都是含有m的代数式，成为三角形的三边的必要条件是3个含m的多项式的值是正数。问题①既为问题②的解决做了铺垫，客观上也对问题②的突破形成了干扰。这里只要说明当m≥5时，y1=（m-1）2-4>0，y2=m2-4>0，y3=（m+1）2-4>0即可.

（Ⅱ）不比较y1、y2、y3的大小而直接证明y1+y2>y3，还有不少学生将y1、y2、y3三种可能的关系y1+y2>y3、y1+y3>y2、y2+y3>y1一一列出，试图通过三个不等式说明，导致说理不清甚至无法解决。“三条线段构成三角形”的充要条件是“其中任意两条线段之和大于第三条线段的长”，只要证明“两条较小线段的和大于最长线段”。显然，利用函数增减性即可证明最大.

因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，

当x>1时随增大而增大

而m≥5时，点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）都在对称轴的右侧，所以y1

问题转化为证明“两个较小量的和大于最大的量”，即证明y1+y2>y3.

由于y1+y2-y3

=（m-1）2-4+m2-4-[（m+1）2-4]

=m2-4m-4=（m-2）2-8

因为m≥5时，（m-2）2-8≥（5-2）2-8>0，即y1+y2-y3>0，所以y1+y2>y3。

所以，当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长.

本题考查了二次函数的增减性、数与形之间的关系，重点考查简单的代数推理能力，尤其是考查学生思维的缜密性。不少学生还停留在直觉阶段，并将直觉作为结论予以默认。事实上，从直觉思维到逻辑证明，再到有条理地表述是数学学习能力的飞跃，也是学生继续进行更高层次数学学习的需要，教学时应予以高度重视.

应当说：数学中考压轴题的解题源于数学的知识技能、抽象概括、逻辑推理和一定量的解题的训练，源于数学思想、方法和策略的统摄，更需要数学常识、数学直观、合情推理和数学活动的经验的积累，这就要求在平时的教学中，将三者有机整合，培养学生在数学学习中将相关知识建立联系的能力，在思维受阻时寻求突破的能力，在成功解题后的归纳反思的能力。只有这样，学生的数学学习才能达到思维的胜境。

参考文献

[1]裴光亚。高考数学有效复习的途径——三个“三步曲”[J]。数学通讯，2010（10）：43-50。

[2]中华人民共和国教育部。义务教育数学课程标准（2011）[S]。北京：北京师范大学出版社，2011：5。

图4从学生答题看，思维定势也是影响本题有效解决的原因之一。根据题意，问题可以转化为：在二次函数y=-112x2+6的图像上是否存在点Q，使AQ=AB，以A为圆心、AB为半径作圆与抛物线在x轴上方的交点就应该是符合条件的点（见图4中的Q1、Q2两点）。按常规思路，可以设抛物线上点Q坐标为（m，-112m2+6），由AQ=AB得：

（m+23）2+（-112m2+6）2=（43）2，

化简后得m4-20m2+163m=0.

显然，以初中学生现有水平难以求出点Q的坐标，这决非命题者的考查意图。众多中考试题都是这样的问题格式：“是否存在××，使××？如果存在，请求出××；如果不存在，请说明理由。”这里的“求出”是指求出符合要求的所有可能情形，然而例2中的“如果存在，请举例验证你的猜想”，许多学生（包括教师）受大多这类问题呈现方式定势的影响，总是试图求出符合要求的所有点的坐标，进而出现思维障碍。其实，这里的“举例说明”意味着“如果存在”，不论存在多少种情形，只要举一例说明符合要求即可，不必论述“找”的过程。至于从哪里来、怎么得到的，与答题无关.

4缜推演，云帆济海

李白诗言：长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。解决问题仅有可行方案还不够，还需要思路上的清晰、算法上的娴熟，需要运算的准确性、逻辑的严谨性和表达的规范性。惟此，才能达到“直挂云帆济沧海”的境界。2011年泰州中考卷第27题就体现了这样的能力要求.

例3已知：二次函数y=x2+bx-3的图像经过点P（-2，5）.

（1）求b的值，并写出当1

（2）设点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）在这个二次函数的图像上.

①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；

②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长。请说明理由.

本题实测难度系数为0。46，满分率仅为0。03%，尤其是第（2）题的第②问的得分率极低。学生认为本题比较容易，甚至不少教师也没有洞察出问题所在。那么，问题究竟在哪里呢？

（Ⅰ）默认y1、y2、y3为正数而不加以证明。本题第（2）题和第①问中，当m=4时P1、P2、P3三点的纵坐标y1、y2、y3的对应值分别为5、12、21是具体数值，且均为正，因为5+12<21，所以y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长；而第②问中，当m≥4时，y1、y2、y3的对应量是（m-1）2-4、m2-4和（m+1）2-4是函数图像上3个点的纵坐标，都是含有m的代数式，成为三角形的三边的必要条件是3个含m的多项式的值是正数。问题①既为问题②的解决做了铺垫，客观上也对问题②的突破形成了干扰。这里只要说明当m≥5时，y1=（m-1）2-4>0，y2=m2-4>0，y3=（m+1）2-4>0即可.

（Ⅱ）不比较y1、y2、y3的大小而直接证明y1+y2>y3，还有不少学生将y1、y2、y3三种可能的关系y1+y2>y3、y1+y3>y2、y2+y3>y1一一列出，试图通过三个不等式说明，导致说理不清甚至无法解决。“三条线段构成三角形”的充要条件是“其中任意两条线段之和大于第三条线段的长”，只要证明“两条较小线段的和大于最长线段”。显然，利用函数增减性即可证明最大.

因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，

当x>1时随增大而增大

而m≥5时，点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）都在对称轴的右侧，所以y1

问题转化为证明“两个较小量的和大于最大的量”，即证明y1+y2>y3.

由于y1+y2-y3

=（m-1）2-4+m2-4-[（m+1）2-4]

=m2-4m-4=（m-2）2-8

因为m≥5时，（m-2）2-8≥（5-2）2-8>0，即y1+y2-y3>0，所以y1+y2>y3。

所以，当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长.

本题考查了二次函数的增减性、数与形之间的关系，重点考查简单的代数推理能力，尤其是考查学生思维的缜密性。不少学生还停留在直觉阶段，并将直觉作为结论予以默认。事实上，从直觉思维到逻辑证明，再到有条理地表述是数学学习能力的飞跃，也是学生继续进行更高层次数学学习的需要，教学时应予以高度重视.

应当说：数学中考压轴题的解题源于数学的知识技能、抽象概括、逻辑推理和一定量的解题的训练，源于数学思想、方法和策略的统摄，更需要数学常识、数学直观、合情推理和数学活动的经验的积累，这就要求在平时的教学中，将三者有机整合，培养学生在数学学习中将相关知识建立联系的能力，在思维受阻时寻求突破的能力，在成功解题后的归纳反思的能力。只有这样，学生的数学学习才能达到思维的胜境。

参考文献

[1]裴光亚。高考数学有效复习的途径——三个“三步曲”[J]。数学通讯，2010（10）：43-50。

[2]中华人民共和国教育部。义务教育数学课程标准（2011）[S]。北京：北京师范大学出版社，2011：5。