设计几何动画在初中教学中的应用

傅世球

随着多媒体设备在中小学教学中的逐步普及，数学课的教具演示亦变得多姿多彩了。不单单拘泥于黑板加白字，通过一些多媒体技术，一些以前难以用黑板表现出来的几何动画所显示数学的美，现在可以轻而易举的在学生面前活灵活现的表现出来了。下面就简单的来阐述一下几何画板在教学过程中的应用实例。如要证明“任意三角形三高线相交于一点。”可以作“几何动画”，在动态中当三角形变成锐角三角形、钝角三角形、直角三角形时，都观察出三线共点的不变真理，然后再去证明它们。

1求定值问题的动画

例1如图1，在等腰直角三角形HBA中，底面上任意一点P向两腰作垂线PD、PC，垂足分别为D、C两点，求证：PD+PC为定值.

图1众所周知，定值是等腰直角三角形的腰长。证明由学生自己完成.

如何设计、演示例1的几何动画呢？

先在“自定义工具”中长按一级菜单栏中的三角形，再在“二级菜单栏中的等腰直角三角形”完成笫一步后，再在“自定义工具”中长按一级菜单栏中的“线工具”到“二级菜单栏中的“垂直线工具”作出PC⊥HA，PD⊥HB，然后点击“箭头工具”，拉动P点在BA上运动，形成几何动画。当P点移动与B点重合时，读者可直观地发现：PD+PC为定值是腰长HB.

图2例2如图2，任意等腰三角形ABC中，AB=AC，求证：底边BC上任意一点P，到两腰的距离之和为定值.

动画的设计、演示都可按例1的方法进行.

从特殊到一般地探索是教学研究的好方法。

分析按先猜后证地进行。动画的设计、演示是“先猜”，“后证”至少有六种方法：特殊和、特殊差、三角函数法、面积法、利用三角形相似及解析法。

证明1（三角函数法）如图2，因等腰三角形两底角相等∠B=∠C，PD=PC·sinC，PF=PB·sinC，所以PD+PF=PC·sinC+PB·sinC=（PC+PB）sinC=BC·sinC=BE（腰上的高，定值）。

证明2（面积法）在图2中连结AP，S△PAC=112AC·PD，S△PAB=112AB·PFS△PAC+S△PAB

=112AC×（PD+PF）=112AC×BEBE=PD+PF。

例3如图3，在等腰直角三角形HBA中，底面延长线上任意一点P向两腰的延长线作垂线PD、PE，垂足分别为D、E两点，求证：PE-PD为定值.

图3类比、联想告诉我们“等腰三角形HBA中，底面延长线上任意一点P向两腰的延长线作垂线PD、PE，垂足分别为D、E两点，求证：PE-PD为定值。”也可以类似地进行探索与研究，得出例4。

例4任意等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差是一个定值.

2证明三线段相等的动画

例5如图4，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

解此题可以用几何画板作动画。先设计动画：长按“自定义工具”中的一级菜单的四边形，移动鼠标到二级菜单中的“平行四边形”；又长按“自定义工具”中的一级菜单中的线段，再找“二级菜单中”之中点，最后点击“线段工具栏”连结EB、FB与AC相交于R、T。

图4再演示动画，拖动平行四边形的顶点D，即可动态观察，当平行四边形ABCD动态成菱形、矩形、正方形时，AR=RT=TC。

这也说明几何动画是由直观性进入抽象性的向导。

对例5，设计动画、演示动画前，可以对它先进行严格的证明：

证明连结DB，则R，T分别是△DAB和△BDC的重心。由三角形重心性质知AR=213AO=113AC，TC=213CO=113AC，所以AR=RT=TC.

例5是已知平行四边形一组邻边的中点之证明。若改为一组对边中点，其证明方法更多，读者试试看，又如何证明呢？

3证明角相等的动画

图5例6已知在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、G、F，高为AD，求证：∠EDF=∠EGF.

如何设计、演示动画？让学生获得等角的感性认识呢？

设计动画如下首先点击自定义工具中一级菜单中的三角形，到二级菜单中的任意三角形ABC，其次点击自定义工具中一级菜单中的线段，到二级菜单中的线段中点，找出E、F、G，笫三，点击自定义工具中一级菜单中的线段，到二级菜单中的线段垂线，作出AD⊥BC.

演示动画如下用鼠标拖动A点向左、右移动，不管△ABC是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形时，∠EDG=∠EFG。在动画演示中永远不变。

证明1（利用相似三角形的传递性）如图5，读者容易证明△ABC∽△EFG，△ABC∽△DEF，所以△EFG∽△DEF，故∠EDF=∠EGF.

证明2（利用四点共圆）在△EDG与△FGD中∠GDC=∠EFB=∠C，ED=GF=112AB，又DF公用，所以△EDF≌△GFD，所以∠DEG=∠DFG推出E、D、F、G四点共圆，故∠EDF=∠EGF.

4设计直问与曲问的动画

所谓直问是“问在此而意在此”的设问；而所谓曲问是“问在此而意在彼”的设问。请看几何甲问题：“两同心圆的外圆上任意两点分别作内圆的两割线AEB和CFD（图6），求证：AE·AB=CF·CD”.

图6图7曲问是提出乙问题：“两同心圆的外圆上任意一点到内圆的切线长一定吗？”回答是肯定的。

可设计动画加以说明：首先点击圆工具作两个同心圆，再在自定义工具中点击一级菜单中的圆工具长按不放到二级菜单中的过内圆上一点作切线，最后点击线工具连结PO、AO，即得几何动画（图7）.

如何演示动画（乙）呢？只要拖动内圆切点A，切线段长永远不变，是PA=R2-r2.endprint

不管任意点P在外圆什么地方，切线PA=R2-r2，在图6中，只要过A、C两点作内圆的两切线AH和CR，AH2=AE×AB，CR2=CF×CD，而AH=CR，所以AE·AB=CF·CD.

可见只要曲问（乙），甲问题自然通过我们设计的动画，轻松地解决了.

所谓追问是数学教师根据知识的内在联系，设计出以疑引疑、环环相扣、穷追不舍、刨根问底、直到学生弄明白而设计的问题。

追问又有是非答案的追问、在知识结合部的追问、在知识关键点上的追问、明确概念的追问、明确方法的追问、审思结果的追问、明确定理的追问和类比处的追问等。如为什么上面甲问题的证明要归结为乙问题的证明？既是曲问，又是在知识结合部的追问。

由于演绎设问是从一般到特殊的连续追问；归纳是从特殊到一般的连续追问；分析设问从未知看需知，逐步靠拢已知的的连续追问；而综合设问是从已知推可知，逐步推向未知的连续追问；类比设问是从一种特殊到另一种特殊的连续追问。

5设计线段比的动画

例8已知P是正方形ABCD的外接圆周AD上任意一点，求证：PC+PA1PB为定值.

分析先用“几何动画”演示教具，如图8，当P点在圆弧上运动到P、A两点重合时，可看出PA=0，这时PA+PC1PB=2，特殊化求出了定值.

这个动画是如何设计的呢？先点击圆工具作出圆来；其次长按自定义工具栏一级菜单中的四边形到二级菜单中的正方形，用鼠标点击圆上一点，自然生成正方形直到其它三个正方形顶点落在圆周上为止，最后点击直线工具，在AD弧上找任意点P，连结PB、PC即得动画。

图8图9图10证明1如图9，过A作AE⊥PB，所以∠APC=∠ADC=90°，在Rt△ABE与Rt△ACP中，因为∠ABP=∠ACP，所以Rt△ABE∽Rt△ACP，所以PA1AE=PC1BE=AC1ABPA+PC1AE+EB=AC1AB，∠APB=∠ACB=45°.

所以AE=PE代换线段得PC+PA1PB=AC1AB=2AB1AB=2为定值.

证明2（用托米勒定理，图10）AB·PC+BC·PA=AC·PB，AC=2AB，a·PC+a·PA1PB=2aPC+PA1PB=2.

综上所述，首先是旧知识，新方法，能使初中几何教学“与时俱进”、“常教常新”。笔者在去年8月在中国铁道出版社出版的《数学课堂教学艺术》一书28万字，是“与时俱进”的一部专著，其封面设计就是“几何动画”派生出来的三幅“几何静画”。此书有为了启发学生的数学思维而设计提问；构造类比；设计动画和设计“先猜后证”四大特点，本文可见四大特点中的两方面：设计提问与设计动画。endprint

不管任意点P在外圆什么地方，切线PA=R2-r2，在图6中，只要过A、C两点作内圆的两切线AH和CR，AH2=AE×AB，CR2=CF×CD，而AH=CR，所以AE·AB=CF·CD.

可见只要曲问（乙），甲问题自然通过我们设计的动画，轻松地解决了.

所谓追问是数学教师根据知识的内在联系，设计出以疑引疑、环环相扣、穷追不舍、刨根问底、直到学生弄明白而设计的问题。

追问又有是非答案的追问、在知识结合部的追问、在知识关键点上的追问、明确概念的追问、明确方法的追问、审思结果的追问、明确定理的追问和类比处的追问等。如为什么上面甲问题的证明要归结为乙问题的证明？既是曲问，又是在知识结合部的追问。

由于演绎设问是从一般到特殊的连续追问；归纳是从特殊到一般的连续追问；分析设问从未知看需知，逐步靠拢已知的的连续追问；而综合设问是从已知推可知，逐步推向未知的连续追问；类比设问是从一种特殊到另一种特殊的连续追问。

5设计线段比的动画

例8已知P是正方形ABCD的外接圆周AD上任意一点，求证：PC+PA1PB为定值.

分析先用“几何动画”演示教具，如图8，当P点在圆弧上运动到P、A两点重合时，可看出PA=0，这时PA+PC1PB=2，特殊化求出了定值.

这个动画是如何设计的呢？先点击圆工具作出圆来；其次长按自定义工具栏一级菜单中的四边形到二级菜单中的正方形，用鼠标点击圆上一点，自然生成正方形直到其它三个正方形顶点落在圆周上为止，最后点击直线工具，在AD弧上找任意点P，连结PB、PC即得动画。

图8图9图10证明1如图9，过A作AE⊥PB，所以∠APC=∠ADC=90°，在Rt△ABE与Rt△ACP中，因为∠ABP=∠ACP，所以Rt△ABE∽Rt△ACP，所以PA1AE=PC1BE=AC1ABPA+PC1AE+EB=AC1AB，∠APB=∠ACB=45°.

所以AE=PE代换线段得PC+PA1PB=AC1AB=2AB1AB=2为定值.

证明2（用托米勒定理，图10）AB·PC+BC·PA=AC·PB，AC=2AB，a·PC+a·PA1PB=2aPC+PA1PB=2.

综上所述，首先是旧知识，新方法，能使初中几何教学“与时俱进”、“常教常新”。笔者在去年8月在中国铁道出版社出版的《数学课堂教学艺术》一书28万字，是“与时俱进”的一部专著，其封面设计就是“几何动画”派生出来的三幅“几何静画”。此书有为了启发学生的数学思维而设计提问；构造类比；设计动画和设计“先猜后证”四大特点，本文可见四大特点中的两方面：设计提问与设计动画。endprint

不管任意点P在外圆什么地方，切线PA=R2-r2，在图6中，只要过A、C两点作内圆的两切线AH和CR，AH2=AE×AB，CR2=CF×CD，而AH=CR，所以AE·AB=CF·CD.

可见只要曲问（乙），甲问题自然通过我们设计的动画，轻松地解决了.

所谓追问是数学教师根据知识的内在联系，设计出以疑引疑、环环相扣、穷追不舍、刨根问底、直到学生弄明白而设计的问题。

追问又有是非答案的追问、在知识结合部的追问、在知识关键点上的追问、明确概念的追问、明确方法的追问、审思结果的追问、明确定理的追问和类比处的追问等。如为什么上面甲问题的证明要归结为乙问题的证明？既是曲问，又是在知识结合部的追问。

由于演绎设问是从一般到特殊的连续追问；归纳是从特殊到一般的连续追问；分析设问从未知看需知，逐步靠拢已知的的连续追问；而综合设问是从已知推可知，逐步推向未知的连续追问；类比设问是从一种特殊到另一种特殊的连续追问。

5设计线段比的动画

例8已知P是正方形ABCD的外接圆周AD上任意一点，求证：PC+PA1PB为定值.

分析先用“几何动画”演示教具，如图8，当P点在圆弧上运动到P、A两点重合时，可看出PA=0，这时PA+PC1PB=2，特殊化求出了定值.

这个动画是如何设计的呢？先点击圆工具作出圆来；其次长按自定义工具栏一级菜单中的四边形到二级菜单中的正方形，用鼠标点击圆上一点，自然生成正方形直到其它三个正方形顶点落在圆周上为止，最后点击直线工具，在AD弧上找任意点P，连结PB、PC即得动画。

图8图9图10证明1如图9，过A作AE⊥PB，所以∠APC=∠ADC=90°，在Rt△ABE与Rt△ACP中，因为∠ABP=∠ACP，所以Rt△ABE∽Rt△ACP，所以PA1AE=PC1BE=AC1ABPA+PC1AE+EB=AC1AB，∠APB=∠ACB=45°.

所以AE=PE代换线段得PC+PA1PB=AC1AB=2AB1AB=2为定值.

证明2（用托米勒定理，图10）AB·PC+BC·PA=AC·PB，AC=2AB，a·PC+a·PA1PB=2aPC+PA1PB=2.

综上所述，首先是旧知识，新方法，能使初中几何教学“与时俱进”、“常教常新”。笔者在去年8月在中国铁道出版社出版的《数学课堂教学艺术》一书28万字，是“与时俱进”的一部专著，其封面设计就是“几何动画”派生出来的三幅“几何静画”。此书有为了启发学生的数学思维而设计提问；构造类比；设计动画和设计“先猜后证”四大特点，本文可见四大特点中的两方面：设计提问与设计动画。endprint