平行四边形的一条性质及其应用

左效平

平行四边形是一种比较特殊的四边形，其特殊性决定了它的一条特殊性质，利用这条性质，可以帮助我们灵活解题.

性质平行四边形一边上的一点与对边两个端点构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.

图1如图1，点E是ABCD的边AB上的一点，连接ED、EC，设三角形EDC的面积为S△EDC，ABCD的面积为SABCD.

求证：S△EDC=112SABCD.

证明如图1，过点E作EF⊥DC，垂足为F，所以EF既是平行四边形ABCD的高，也是△EDC的高。

所以SABCD=DC×EF，S△EDC=112×DC×EF，

所以S△EDC=112SABCD.

推论点E是ABCD的边AB上的一点，连接ED，EC，设△EDC的面积为S1，△ADE的面积为S2，△CBE的面积为S3，则S1=S2+S3.

证明：由性质得：S1=112SABCD，所以S2+S3=112SABCD，所以S1=S2+S3.

此性质和结论可以直接引申到矩形，菱形，正方形中加以应用.

下面举例说明性质和推论的具体应用.

1平行四边形中，判断四个三角形面积之间的关系

图2例1如图2，点P是ABCD内一点，连接PA，PB，PC，PD，设△PAB的面积为S1，△PBC的面积为S2，△PCD的面积为S3，△PAD的面积为S4，则下面结论一定正确的是（）

A。S1+S2=S3+S4B。S1+S3=S2+S4

C。S1S2=S3S4D。S1S3=S2S4

分析过点P作AB的平行线，从而将点P置于平行四边形的一边上，利用推论问题就顺利得证.

解如图2，过点P作EF，使得EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AE∥BF，所以EF∥CD，所以四边形ABFE是平行四边形，四边形CDEF是平行四边形，所以S1=S△PBF+S△PAE，S3=S△PFC+S△PED，

所以S1+S3=S△PBF+S△PAE+S△PFC+S△PED。

因为S△PBF+S△PFC=S2，S△PAE+S△PED=S4，所以S2+S4=S△PBF+S△PAE+S△PFC+S△PED，所以S1+S3=S2+S4，所以选B.

2矩形中，判断两个矩形面积之间的关系

例2如图3，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是

A。S1=S2B。S1=S2

C。S1

图3分析观察图形特点知道，两个矩形有一个公共部分，这就是△ABC，有性质，知道矩形ABCD的面积等于△ABC面积的2倍，矩形AEFC的面积等于△ABC面积的2倍，所以可以判断两个矩形面积的大小关系.

解设△ABC的面积为S，因为四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，所以S=112×AB×BC=112×AC×AE，S1=AB×BC，S2=AC×AE，所以S1=2S，S2=2S，所以S1=S2，所以选择B.

3正方形中，判断两个正方形重叠部分的面积与一个正方形面积之间的关系

例3已知正方形ABCD对角线交于点O，正方形OEFP的大小与正方形ABCD相同，设正方形ABCD的面积为S，四边形OMDN的面积为S1，则S11S=.

图4分析如图4，过点O作GH∥DC，交AD于点H，交BC于点G，易证四边形DHGC是矩形，由O是正方形对角线的交点，知道直线GH是正方形的一条对称轴，所以矩形DHGC的面积是正方形ABCD面积的一半。连接OD，OC，易得△DOC的面积等于矩形DHGC面积的一半，所以△DOC的面积等于正方形ABCD面积的114。利用正方形的性质易证△DOM≌△CON，所以四边形OMDN的面积为S1等于△DOC的面积，因此S11S=114。所以应该填114.

4梯形中，判断三角形的面积与梯形面积之间的关系

例4如图5，梯形ABCD中，AB∥CD，点E是梯形BC的中点，连接AE，DE，设△ADE的面积为S1，梯形ABCD的面积为S。求证：S1=112S.

分析过点E作GH∥AD，交AB的延长线于点G，交DC于点H，易证四边形AGHD是一个平行四边形，为性质得应用奠定基础.

证明过点E作GH∥AD，交AB的延长线于点G，交DC于点H，因为GH∥AD，AG∥DH，

所以四边形AGHD是平行四边形。所以S1=112SAGHD。因为点E是BC的中点，所以BE=EC，因为AG∥DH，所以∠G=∠EHC，∠GBE=∠C，所以△BGE≌△CHE，所以SAGHD=S，所以S1=112S.

图5图6例5如图6所示，已知EF是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为cm2.

分析如图6，连接EC，根据例4的结论得到：梯形ABCD的面积等于2倍△DEC的面积；由EF是梯形ABCD的中位线，所以△DEF和△CEF是两个等底同高的三角形，所以它们的面积是相等的，即S△DEC=2S△DEF，因此，梯形ABCD的面积等于4倍△DEF的面积，因为△DEF的面积为4cm2，所以梯形ABCD的面积为16.所以应填16cm2.

平行四边形是一种比较特殊的四边形，其特殊性决定了它的一条特殊性质，利用这条性质，可以帮助我们灵活解题.

性质平行四边形一边上的一点与对边两个端点构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.

图1如图1，点E是ABCD的边AB上的一点，连接ED、EC，设三角形EDC的面积为S△EDC，ABCD的面积为SABCD.

求证：S△EDC=112SABCD.

证明如图1，过点E作EF⊥DC，垂足为F，所以EF既是平行四边形ABCD的高，也是△EDC的高。

所以SABCD=DC×EF，S△EDC=112×DC×EF，

所以S△EDC=112SABCD.

推论点E是ABCD的边AB上的一点，连接ED，EC，设△EDC的面积为S1，△ADE的面积为S2，△CBE的面积为S3，则S1=S2+S3.

证明：由性质得：S1=112SABCD，所以S2+S3=112SABCD，所以S1=S2+S3.

此性质和结论可以直接引申到矩形，菱形，正方形中加以应用.

下面举例说明性质和推论的具体应用.

1平行四边形中，判断四个三角形面积之间的关系

图2例1如图2，点P是ABCD内一点，连接PA，PB，PC，PD，设△PAB的面积为S1，△PBC的面积为S2，△PCD的面积为S3，△PAD的面积为S4，则下面结论一定正确的是（）

A。S1+S2=S3+S4B。S1+S3=S2+S4

C。S1S2=S3S4D。S1S3=S2S4

分析过点P作AB的平行线，从而将点P置于平行四边形的一边上，利用推论问题就顺利得证.

解如图2，过点P作EF，使得EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AE∥BF，所以EF∥CD，所以四边形ABFE是平行四边形，四边形CDEF是平行四边形，所以S1=S△PBF+S△PAE，S3=S△PFC+S△PED，

所以S1+S3=S△PBF+S△PAE+S△PFC+S△PED。

因为S△PBF+S△PFC=S2，S△PAE+S△PED=S4，所以S2+S4=S△PBF+S△PAE+S△PFC+S△PED，所以S1+S3=S2+S4，所以选B.

2矩形中，判断两个矩形面积之间的关系

例2如图3，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是

A。S1=S2B。S1=S2

C。S1

图3分析观察图形特点知道，两个矩形有一个公共部分，这就是△ABC，有性质，知道矩形ABCD的面积等于△ABC面积的2倍，矩形AEFC的面积等于△ABC面积的2倍，所以可以判断两个矩形面积的大小关系.

解设△ABC的面积为S，因为四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，所以S=112×AB×BC=112×AC×AE，S1=AB×BC，S2=AC×AE，所以S1=2S，S2=2S，所以S1=S2，所以选择B.

3正方形中，判断两个正方形重叠部分的面积与一个正方形面积之间的关系

例3已知正方形ABCD对角线交于点O，正方形OEFP的大小与正方形ABCD相同，设正方形ABCD的面积为S，四边形OMDN的面积为S1，则S11S=.

图4分析如图4，过点O作GH∥DC，交AD于点H，交BC于点G，易证四边形DHGC是矩形，由O是正方形对角线的交点，知道直线GH是正方形的一条对称轴，所以矩形DHGC的面积是正方形ABCD面积的一半。连接OD，OC，易得△DOC的面积等于矩形DHGC面积的一半，所以△DOC的面积等于正方形ABCD面积的114。利用正方形的性质易证△DOM≌△CON，所以四边形OMDN的面积为S1等于△DOC的面积，因此S11S=114。所以应该填114.

4梯形中，判断三角形的面积与梯形面积之间的关系

例4如图5，梯形ABCD中，AB∥CD，点E是梯形BC的中点，连接AE，DE，设△ADE的面积为S1，梯形ABCD的面积为S。求证：S1=112S.

分析过点E作GH∥AD，交AB的延长线于点G，交DC于点H，易证四边形AGHD是一个平行四边形，为性质得应用奠定基础.

证明过点E作GH∥AD，交AB的延长线于点G，交DC于点H，因为GH∥AD，AG∥DH，

所以四边形AGHD是平行四边形。所以S1=112SAGHD。因为点E是BC的中点，所以BE=EC，因为AG∥DH，所以∠G=∠EHC，∠GBE=∠C，所以△BGE≌△CHE，所以SAGHD=S，所以S1=112S.

图5图6例5如图6所示，已知EF是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为cm2.

分析如图6，连接EC，根据例4的结论得到：梯形ABCD的面积等于2倍△DEC的面积；由EF是梯形ABCD的中位线，所以△DEF和△CEF是两个等底同高的三角形，所以它们的面积是相等的，即S△DEC=2S△DEF，因此，梯形ABCD的面积等于4倍△DEF的面积，因为△DEF的面积为4cm2，所以梯形ABCD的面积为16.所以应填16cm2.

平行四边形是一种比较特殊的四边形，其特殊性决定了它的一条特殊性质，利用这条性质，可以帮助我们灵活解题.

性质平行四边形一边上的一点与对边两个端点构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.

图1如图1，点E是ABCD的边AB上的一点，连接ED、EC，设三角形EDC的面积为S△EDC，ABCD的面积为SABCD.

求证：S△EDC=112SABCD.

证明如图1，过点E作EF⊥DC，垂足为F，所以EF既是平行四边形ABCD的高，也是△EDC的高。

所以SABCD=DC×EF，S△EDC=112×DC×EF，

所以S△EDC=112SABCD.

推论点E是ABCD的边AB上的一点，连接ED，EC，设△EDC的面积为S1，△ADE的面积为S2，△CBE的面积为S3，则S1=S2+S3.

证明：由性质得：S1=112SABCD，所以S2+S3=112SABCD，所以S1=S2+S3.

此性质和结论可以直接引申到矩形，菱形，正方形中加以应用.

下面举例说明性质和推论的具体应用.

1平行四边形中，判断四个三角形面积之间的关系

图2例1如图2，点P是ABCD内一点，连接PA，PB，PC，PD，设△PAB的面积为S1，△PBC的面积为S2，△PCD的面积为S3，△PAD的面积为S4，则下面结论一定正确的是（）

A。S1+S2=S3+S4B。S1+S3=S2+S4

C。S1S2=S3S4D。S1S3=S2S4

分析过点P作AB的平行线，从而将点P置于平行四边形的一边上，利用推论问题就顺利得证.

解如图2，过点P作EF，使得EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AE∥BF，所以EF∥CD，所以四边形ABFE是平行四边形，四边形CDEF是平行四边形，所以S1=S△PBF+S△PAE，S3=S△PFC+S△PED，

所以S1+S3=S△PBF+S△PAE+S△PFC+S△PED。

因为S△PBF+S△PFC=S2，S△PAE+S△PED=S4，所以S2+S4=S△PBF+S△PAE+S△PFC+S△PED，所以S1+S3=S2+S4，所以选B.

2矩形中，判断两个矩形面积之间的关系

例2如图3，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是

A。S1=S2B。S1=S2

C。S1

图3分析观察图形特点知道，两个矩形有一个公共部分，这就是△ABC，有性质，知道矩形ABCD的面积等于△ABC面积的2倍，矩形AEFC的面积等于△ABC面积的2倍，所以可以判断两个矩形面积的大小关系.

解设△ABC的面积为S，因为四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，所以S=112×AB×BC=112×AC×AE，S1=AB×BC，S2=AC×AE，所以S1=2S，S2=2S，所以S1=S2，所以选择B.

3正方形中，判断两个正方形重叠部分的面积与一个正方形面积之间的关系

例3已知正方形ABCD对角线交于点O，正方形OEFP的大小与正方形ABCD相同，设正方形ABCD的面积为S，四边形OMDN的面积为S1，则S11S=.

图4分析如图4，过点O作GH∥DC，交AD于点H，交BC于点G，易证四边形DHGC是矩形，由O是正方形对角线的交点，知道直线GH是正方形的一条对称轴，所以矩形DHGC的面积是正方形ABCD面积的一半。连接OD，OC，易得△DOC的面积等于矩形DHGC面积的一半，所以△DOC的面积等于正方形ABCD面积的114。利用正方形的性质易证△DOM≌△CON，所以四边形OMDN的面积为S1等于△DOC的面积，因此S11S=114。所以应该填114.

4梯形中，判断三角形的面积与梯形面积之间的关系

例4如图5，梯形ABCD中，AB∥CD，点E是梯形BC的中点，连接AE，DE，设△ADE的面积为S1，梯形ABCD的面积为S。求证：S1=112S.

分析过点E作GH∥AD，交AB的延长线于点G，交DC于点H，易证四边形AGHD是一个平行四边形，为性质得应用奠定基础.

证明过点E作GH∥AD，交AB的延长线于点G，交DC于点H，因为GH∥AD，AG∥DH，

所以四边形AGHD是平行四边形。所以S1=112SAGHD。因为点E是BC的中点，所以BE=EC，因为AG∥DH，所以∠G=∠EHC，∠GBE=∠C，所以△BGE≌△CHE，所以SAGHD=S，所以S1=112S.

图5图6例5如图6所示，已知EF是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为cm2.

分析如图6，连接EC，根据例4的结论得到：梯形ABCD的面积等于2倍△DEC的面积；由EF是梯形ABCD的中位线，所以△DEF和△CEF是两个等底同高的三角形，所以它们的面积是相等的，即S△DEC=2S△DEF，因此，梯形ABCD的面积等于4倍△DEF的面积，因为△DEF的面积为4cm2，所以梯形ABCD的面积为16.所以应填16cm2.