谈一道期末练习题的解法及推广
2014-03-20甘超一
题目（北京市丰台区2013～2014学年度第一学期期末练习第15题）定义a☆b=a+b-a-b12。例如，（-1）☆2=-1+2--1-212=-1.
（1）计算：（-6）☆8=；
（2）从-819，-719，-619，-519，-419，-319，-219，-119，0，119，219，319，419，519，619，719，819中任选两个有理数分别为a，b的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是.
（答案：（1）-6；（2）719。）
这道题目难度较大也很新颖（我校是北京市市级示范中学，我班是学校实验班，全班34人只有3人做全对）。考完后，我对这道题作了一些研究，给出该题第（2）问的三种详细解答，还给出其推广结论。写成下文，供读者鉴赏.
解法1当a≥b时，a☆b=a+b-（a-b）12=b；当a 所以，a☆b等于a，b中较小的数. 所以题意即在所给的17个数中，先任选两个不同的数，再选出这两个数中的最小数，最后找出这些“最小数”中的最大值。可得所求答案是所给的17个数中的第二大数，即719. 解法2由a☆b=a+b-a-b12，知a☆b=b☆a. 在解法1中已得“当a≥b时，a☆b=b”，所以“当b≥a时，a☆b=b☆a=a”.也得a☆b等于a，b中较小的数. 以下解法同解法1. 解法3题意即求a+b-a-b12的最大值（其中a，b是所给17个数中的任意两个数），所以a+b应尽可能大，a-b应尽可能小，所以当且仅当a=719，b=819或a=819，b=719时，a☆b=a+b-a-b12取到最大值，且最大值是719. 由解法1或解法2还可得到以下推广结论： 结论设a1>a2>…>an（n≥2）. （1）定义a☆b=a+b-a-b12，从a1，a2，…，an中任选两个数分别为a，b的值，并计算a☆b，那么把所有的运算结果（重复的值只写一次）从大到小排列是a2>a3>…>an； （2）定义a※b=a+b+a-b12，从a1，a2，…，an中任选两个数分别为a，b的值，并计算a※b，那么把所有的运算结果（重复的值只写一次）从大到小排列是a1>a2>…>an-1. 作者简介甘超一，北京丰台二中学生。
题目（北京市丰台区2013～2014学年度第一学期期末练习第15题）定义a☆b=a+b-a-b12。例如，（-1）☆2=-1+2--1-212=-1.
（1）计算：（-6）☆8=；
（2）从-819，-719，-619，-519，-419，-319，-219，-119，0，119，219，319，419，519，619，719，819中任选两个有理数分别为a，b的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是.
（答案：（1）-6；（2）719。）
这道题目难度较大也很新颖（我校是北京市市级示范中学，我班是学校实验班，全班34人只有3人做全对）。考完后，我对这道题作了一些研究，给出该题第（2）问的三种详细解答，还给出其推广结论。写成下文，供读者鉴赏.
解法1当a≥b时，a☆b=a+b-（a-b）12=b；当a 所以，a☆b等于a，b中较小的数. 所以题意即在所给的17个数中，先任选两个不同的数，再选出这两个数中的最小数，最后找出这些“最小数”中的最大值。可得所求答案是所给的17个数中的第二大数，即719. 解法2由a☆b=a+b-a-b12，知a☆b=b☆a. 在解法1中已得“当a≥b时，a☆b=b”，所以“当b≥a时，a☆b=b☆a=a”.也得a☆b等于a，b中较小的数. 以下解法同解法1. 解法3题意即求a+b-a-b12的最大值（其中a，b是所给17个数中的任意两个数），所以a+b应尽可能大，a-b应尽可能小，所以当且仅当a=719，b=819或a=819，b=719时，a☆b=a+b-a-b12取到最大值，且最大值是719. 由解法1或解法2还可得到以下推广结论： 结论设a1>a2>…>an（n≥2）. （1）定义a☆b=a+b-a-b12，从a1，a2，…，an中任选两个数分别为a，b的值，并计算a☆b，那么把所有的运算结果（重复的值只写一次）从大到小排列是a2>a3>…>an； （2）定义a※b=a+b+a-b12，从a1，a2，…，an中任选两个数分别为a，b的值，并计算a※b，那么把所有的运算结果（重复的值只写一次）从大到小排列是a1>a2>…>an-1. 作者简介甘超一，北京丰台二中学生。
题目（北京市丰台区2013～2014学年度第一学期期末练习第15题）定义a☆b=a+b-a-b12。例如，（-1）☆2=-1+2--1-212=-1.
（1）计算：（-6）☆8=；
（2）从-819，-719，-619，-519，-419，-319，-219，-119，0，119，219，319，419，519，619，719，819中任选两个有理数分别为a，b的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是.
（答案：（1）-6；（2）719。）
这道题目难度较大也很新颖（我校是北京市市级示范中学，我班是学校实验班，全班34人只有3人做全对）。考完后，我对这道题作了一些研究，给出该题第（2）问的三种详细解答，还给出其推广结论。写成下文，供读者鉴赏.
解法1当a≥b时，a☆b=a+b-（a-b）12=b；当a 所以，a☆b等于a，b中较小的数. 所以题意即在所给的17个数中，先任选两个不同的数，再选出这两个数中的最小数，最后找出这些“最小数”中的最大值。可得所求答案是所给的17个数中的第二大数，即719. 解法2由a☆b=a+b-a-b12，知a☆b=b☆a. 在解法1中已得“当a≥b时，a☆b=b”，所以“当b≥a时，a☆b=b☆a=a”.也得a☆b等于a，b中较小的数. 以下解法同解法1. 解法3题意即求a+b-a-b12的最大值（其中a，b是所给17个数中的任意两个数），所以a+b应尽可能大，a-b应尽可能小，所以当且仅当a=719，b=819或a=819，b=719时，a☆b=a+b-a-b12取到最大值，且最大值是719. 由解法1或解法2还可得到以下推广结论： 结论设a1>a2>…>an（n≥2）. （1）定义a☆b=a+b-a-b12，从a1，a2，…，an中任选两个数分别为a，b的值，并计算a☆b，那么把所有的运算结果（重复的值只写一次）从大到小排列是a2>a3>…>an； （2）定义a※b=a+b+a-b12，从a1，a2，…，an中任选两个数分别为a，b的值，并计算a※b，那么把所有的运算结果（重复的值只写一次）从大到小排列是a1>a2>…>an-1. 作者简介甘超一，北京丰台二中学生。
