《数学活动之整式的应用》教学设计

张攀凌　曹志勇

1内容与内容解析

本节课是《普通初中课程标准实验教科书数学》人教版第二章“整式的加减”内容中课后的数学活动。主要内容是整式知识的运用.

作为“整式的加减”一章的数学活动，主要是在学生学习了整式、合并同类项的基础上，从学生熟悉的拼摆图形和日历入手，启发他们从多个角度进行考虑，用语言、符号等多种形式来表示规律，进一步用整式表示数量关系，培养学生的应用意识和创新精神。

这节课主要是训练学生的观察、猜想、归纳、概括的能力，两个活动体现了变化与对应的关系，学好本节课，也为学生今后学习函数知识奠定良好的基础，同时也为学生进一步体会所学知识与现实世界的联系提供了帮助.

本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了从特殊到一般再到特殊的化归思想、数形结合思想等.

教学重点使学生经历探索规律并用代数式表示规律的过程，发现某些数字、图形中存在的规律，并用含有序号n的式子正确地表示出来。利用从一般到特殊寻求数学问题中内含的规律，并把一般规律应用到特殊的问题情境中解决问题。

2教学目标

根据《新课标》的要求并结合本节课的特点，本节课的教学目标确定为：

（1）用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系；

（2）掌握从特殊到一般，从个体到整体地观察、分析问题的方法。尝试从不同角度探究问题，培养应用意识和创新意识；

（3）积极参与数学活动，在数学活动过程中，合作交流、反思质疑，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心.

3教学问题诊断分析

（1）学生特点：

初中一年级的学生，已具备了一定的数感和符号感，已能够从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示，具有一定的应用意识和推理能力。本节课所涉及的“找规律”，学生的许多已有的知识和经验都能用上，不同的学生会从中获得不同的心得。所以，以本课题作为培养学生推理能力的素材，适应了中学生的身心发展的需要。本节课，在各个环节将通过观察或动手操作等活动来发展学生的归纳推理能力，让学生在“做中学”，在观察、实验、归纳、类比中获得规律.

（2）学生对即将学习的内容已经具备的水平

本课是在学生掌握了有理数及其运算，并对几何基本图形的基本性质有了认识的基础上，进一步对学生探索规律，验证规律等整合能力的培养.

（3）在本节课的教学中，学生可能遇到的困难是不会用含有序号的式子正确地表示所发现的规律，产生的原因是学生进入初中以来，他接触的数学知识是由感性的方面向抽象的方面发展的开始，所以学生就算是发现了规律也不会用代数式去表示出来。

教学难点：用含有序号n的式子正确地表示所发现的规律，总结探索规律的一般步骤。在现象累计的情况下，训练学生探索规律并有条理的表达能力成为了本节课的难点.

教学关键：指导学生紧紧抓住从特殊到一般的数学思想方法找到问题的规律。

4教法分析

新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.

本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.

（1）设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；

（2）提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验；

（3）在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念；

（4）让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程.

5教学支持条件分析

根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，借助“白板”、幻灯等媒体和火柴棍，将动手实践与数学规律问题进行联系，通过学生自己动手演示，观察火柴棍与拼摆次数的变化，求出一般规律。让学生学会用从特殊到一般的思想方法寻找规律。

6教学过程

6。1创设情境，激发探究欲望

数学活动一

组织学生做拼摆火柴棒的游戏活动.

学生分组解决下列问题：如图1所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有n个三角形，需要多少根火柴棍？

图1师生活动学生分成小组，利用已经准备好的火柴棍动手摆放图形，进行自主探究，学生代表展示小组讨论过程与结果，教师关注学生自主探究的步骤和方法。

学生探究的过程中会从不同的角度观察图形，会用不同的表达形式呈现规律，会从数和形两个方面进行探究，教师引导学生借助形进行思考和推理，加强对图形变化的感受。在活动的过程中整理数据，观察火柴棍的根数与三角形的个数n之间的对应关系。

过程分析通过学生自己利用火柴棒拼摆的过程，分小组总结出自己小组的研究结果，并派代表到讲台上发言。

三角形个数：12345

火柴棍根数：357911

规律1：每增加一个三角形，火柴棍根数增加2.

三角形个数1112131……1n火柴棍根数1313+213+2+21……13+2（n-1）表达形式：3+2（n-1）=2n+1。

规律2：每个三角形由3根火柴棍组成，火柴棍的根数等于所含三角形个数乘3再减去重复的火柴棍根数。

三角形个数1112131……1n火柴棍根数11×312×3-113×3-21……13×n-（n-1）表达形式：3n-（n-1）=2n+1。

规律3：以1根火柴棍为基础，每增加一个三角形，增加2根火柴棍。endprint

三角形个数1112131……1n火柴棍根数11+211+2+211+2+2+21……11+2n表达形式：1+2n。

规律4：观察火柴棍根数与三角形个数的对应关系，得

三角形个数1112131……1n火柴棍根数11×2+112×2+113×2+11……1n×2+1表达形式：2n+1。

规律5：将组成图形的火柴棍分成横放和斜放两类统计。

三角形个数1112131……1n火柴棍根数11+212+313+41……1n+（n+1）表达形式：n+（n+1）=2n+1。

用数值验证，当n=1时，2n+1=3，当n=2时，2n+1=5，当n=3时，2n+1=7；当n=4时，2n+1=9……所以如果图形中含有n个三角形，需要（2n+1）根火柴棍。

思考：当图形中含有2013个三角形时，需要多少根火柴棍？

学生将得到的一般规律，应用到特殊情况。

设计意图数学是现实世界的反映。创设学生感兴趣的问题情境，从兴趣解决→稍有困难→有较大困难，使学生产生急于解决问题的内驱力，同时培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.

教师可以让学生亲自动手摆一摆，算一算。鼓励每个同学尽可能独立思考，并与同伴进行交流，教师关注学生在探索数量关系活动中的参与态度、思维水平和抽象能力，关注学生与他人进行合作与交流的意识.

数学活动二

如图2是某月的月历.

（1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中间的数有什么关系？

（2）如果将带阴影的方框移至如图3的位置，图2中的关系还成立吗？

1112131415167181911011111211314115116117118119120211221231241251261272812913013111111121314151671819110111112113141151161171181191202112212312412512612728129130131111

图2图3

（3）不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？

（4）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？

（5）如图4，如果带阴影的方框里的数是4个，你能得出什么结论？怎样证明？

（6）如图5，对于带阴影的框中的4个数，又能得出什么结论？怎样证明？

师生活动教师出示问题，学生在教师问题指引下，独立进行思考、探究；教师适时给予指导，归纳出反映这种规律的一般结论。在本次活动中，教师应重点关注：

（1）学生是否能够通过观察、思考主动探索；

（2）学生是否能将探究出的规律推广到一般情况。

设计意图以学生熟悉的月历为背景，探索一个月的日期在月历中的排列规律，从这个规律出发，经过多次运算验证，找出9数之和与方框正中心数的关系，启发学生从月历的排列规律出发，用整式表示9数之和与正中心数的关系，实现从特殊到一般的质的飞跃.

活动设计以发散思维的培养为宗旨，要为学生提供充分的思考和交流的空间，鼓励学生多算几组数据，寻求和验证规律的可靠性，启发学生用整式表示这些数，通过运算验证规律的普遍性.

活动中，对不同的学生应有不同的要求，采用分层教学，渗透处理问题的策略和方法，争取使各个层面的学生都各有所获.

通过对图形规律的探索，培养学生观察、分析、猜想、归纳的能力，找出寻找图形规律的思考方法，通过学生之间的讨论，增强学生的交流意识、合作精神；通过对规律的表达方法的探究，使学生体会能够用整式表达某些实际意义，增强数学的应用意识。问题2是在问题1的基础上，使学生进一步感受寻找基本图形对进而找到图形中存在的规律的重要性及简捷性，这仍然是对所学知识的应用过程，根据学生的具体情况，遵循“循序渐进”的原则安排，层层递进，逐步形成技能。

6。2规范格式，应用探究成果

练习：如图6，文化广场上摆了一些桌子，若并排摆n张桌子，可同时容纳多少人？

图6教师提出以下的小问题：

（1）每加一张桌子，可坐的人数增加了多少？

（2）两张桌子比一张桌子可坐人数增加了多少？三张桌子比一张桌子可坐人数增加了多少？四张呢？五张呢？这些数字是哪一个数的倍数？

（3）按上述表述，能否将两张桌子可坐人数与序号2联系起来写出一个算式？能否将三张桌子可坐人数与序号3联系起来写出一个算式？四张桌子呢？n张桌子呢？

将学生的答案通过实物投影进行展示，并请学生来解释找到答案的过程。老师指导规范其解题的过程。

6。3归纳梳理，体会探究价值

由学生和教师共同总结本节课所学到的知识.

师生活动先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其是本节课是如何经历的知识探究过程，如何运用化归与思想得到方法。

总结出寻找“图形序列”规律的思维步骤：

（1）找到组成复合图形的基本图形；

（2）找到图形变化中的不变量；

（3）在找到规律后，用数学式子表达规律；

（4）发现在寻找图形规律的过程中，不同方法的特点。

设计意图通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.

6。4目标检测题

6。5拓展作业

将1—9这9个数字填写在右边的9个空格中，使得横、竖、斜中各个数字的和都相等。

设计意图检测题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生能否运用所学知识解决问题的能力；拓展作业的设置是为了教会学生怎样利用资料进行数学学习，同时让学生了解网络是自主学习和拓展知识面的一个重要平台，这是本节内容的一个提高与拓展.endprint

三角形个数1112131……1n火柴棍根数11+211+2+211+2+2+21……11+2n表达形式：1+2n。

规律4：观察火柴棍根数与三角形个数的对应关系，得

三角形个数1112131……1n火柴棍根数11×2+112×2+113×2+11……1n×2+1表达形式：2n+1。

规律5：将组成图形的火柴棍分成横放和斜放两类统计。

三角形个数1112131……1n火柴棍根数11+212+313+41……1n+（n+1）表达形式：n+（n+1）=2n+1。

用数值验证，当n=1时，2n+1=3，当n=2时，2n+1=5，当n=3时，2n+1=7；当n=4时，2n+1=9……所以如果图形中含有n个三角形，需要（2n+1）根火柴棍。

思考：当图形中含有2013个三角形时，需要多少根火柴棍？

学生将得到的一般规律，应用到特殊情况。

设计意图数学是现实世界的反映。创设学生感兴趣的问题情境，从兴趣解决→稍有困难→有较大困难，使学生产生急于解决问题的内驱力，同时培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.

教师可以让学生亲自动手摆一摆，算一算。鼓励每个同学尽可能独立思考，并与同伴进行交流，教师关注学生在探索数量关系活动中的参与态度、思维水平和抽象能力，关注学生与他人进行合作与交流的意识.

数学活动二

如图2是某月的月历.

（1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中间的数有什么关系？

（2）如果将带阴影的方框移至如图3的位置，图2中的关系还成立吗？

1112131415167181911011111211314115116117118119120211221231241251261272812913013111111121314151671819110111112113141151161171181191202112212312412512612728129130131111

图2图3

（3）不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？

（4）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？

（5）如图4，如果带阴影的方框里的数是4个，你能得出什么结论？怎样证明？

（6）如图5，对于带阴影的框中的4个数，又能得出什么结论？怎样证明？

师生活动教师出示问题，学生在教师问题指引下，独立进行思考、探究；教师适时给予指导，归纳出反映这种规律的一般结论。在本次活动中，教师应重点关注：

（1）学生是否能够通过观察、思考主动探索；

（2）学生是否能将探究出的规律推广到一般情况。

设计意图以学生熟悉的月历为背景，探索一个月的日期在月历中的排列规律，从这个规律出发，经过多次运算验证，找出9数之和与方框正中心数的关系，启发学生从月历的排列规律出发，用整式表示9数之和与正中心数的关系，实现从特殊到一般的质的飞跃.

活动设计以发散思维的培养为宗旨，要为学生提供充分的思考和交流的空间，鼓励学生多算几组数据，寻求和验证规律的可靠性，启发学生用整式表示这些数，通过运算验证规律的普遍性.

活动中，对不同的学生应有不同的要求，采用分层教学，渗透处理问题的策略和方法，争取使各个层面的学生都各有所获.

通过对图形规律的探索，培养学生观察、分析、猜想、归纳的能力，找出寻找图形规律的思考方法，通过学生之间的讨论，增强学生的交流意识、合作精神；通过对规律的表达方法的探究，使学生体会能够用整式表达某些实际意义，增强数学的应用意识。问题2是在问题1的基础上，使学生进一步感受寻找基本图形对进而找到图形中存在的规律的重要性及简捷性，这仍然是对所学知识的应用过程，根据学生的具体情况，遵循“循序渐进”的原则安排，层层递进，逐步形成技能。

6。2规范格式，应用探究成果

练习：如图6，文化广场上摆了一些桌子，若并排摆n张桌子，可同时容纳多少人？

图6教师提出以下的小问题：

（1）每加一张桌子，可坐的人数增加了多少？

（2）两张桌子比一张桌子可坐人数增加了多少？三张桌子比一张桌子可坐人数增加了多少？四张呢？五张呢？这些数字是哪一个数的倍数？

（3）按上述表述，能否将两张桌子可坐人数与序号2联系起来写出一个算式？能否将三张桌子可坐人数与序号3联系起来写出一个算式？四张桌子呢？n张桌子呢？

将学生的答案通过实物投影进行展示，并请学生来解释找到答案的过程。老师指导规范其解题的过程。

6。3归纳梳理，体会探究价值

由学生和教师共同总结本节课所学到的知识.

师生活动先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其是本节课是如何经历的知识探究过程，如何运用化归与思想得到方法。

总结出寻找“图形序列”规律的思维步骤：

（1）找到组成复合图形的基本图形；

（2）找到图形变化中的不变量；

（3）在找到规律后，用数学式子表达规律；

（4）发现在寻找图形规律的过程中，不同方法的特点。

设计意图通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.

6。4目标检测题

6。5拓展作业

将1—9这9个数字填写在右边的9个空格中，使得横、竖、斜中各个数字的和都相等。

设计意图检测题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生能否运用所学知识解决问题的能力；拓展作业的设置是为了教会学生怎样利用资料进行数学学习，同时让学生了解网络是自主学习和拓展知识面的一个重要平台，这是本节内容的一个提高与拓展.endprint

三角形个数1112131……1n火柴棍根数11+211+2+211+2+2+21……11+2n表达形式：1+2n。

规律4：观察火柴棍根数与三角形个数的对应关系，得

三角形个数1112131……1n火柴棍根数11×2+112×2+113×2+11……1n×2+1表达形式：2n+1。

规律5：将组成图形的火柴棍分成横放和斜放两类统计。

三角形个数1112131……1n火柴棍根数11+212+313+41……1n+（n+1）表达形式：n+（n+1）=2n+1。

用数值验证，当n=1时，2n+1=3，当n=2时，2n+1=5，当n=3时，2n+1=7；当n=4时，2n+1=9……所以如果图形中含有n个三角形，需要（2n+1）根火柴棍。

思考：当图形中含有2013个三角形时，需要多少根火柴棍？

学生将得到的一般规律，应用到特殊情况。

设计意图数学是现实世界的反映。创设学生感兴趣的问题情境，从兴趣解决→稍有困难→有较大困难，使学生产生急于解决问题的内驱力，同时培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.

教师可以让学生亲自动手摆一摆，算一算。鼓励每个同学尽可能独立思考，并与同伴进行交流，教师关注学生在探索数量关系活动中的参与态度、思维水平和抽象能力，关注学生与他人进行合作与交流的意识.

数学活动二

如图2是某月的月历.

（1）带阴影的方框中的9个数之和与方框正中间的数有什么关系？

（2）如果将带阴影的方框移至如图3的位置，图2中的关系还成立吗？

1112131415167181911011111211314115116117118119120211221231241251261272812913013111111121314151671819110111112113141151161171181191202112212312412512612728129130131111

图2图3

（3）不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？

（4）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？

（5）如图4，如果带阴影的方框里的数是4个，你能得出什么结论？怎样证明？

（6）如图5，对于带阴影的框中的4个数，又能得出什么结论？怎样证明？

师生活动教师出示问题，学生在教师问题指引下，独立进行思考、探究；教师适时给予指导，归纳出反映这种规律的一般结论。在本次活动中，教师应重点关注：

（1）学生是否能够通过观察、思考主动探索；

（2）学生是否能将探究出的规律推广到一般情况。

设计意图以学生熟悉的月历为背景，探索一个月的日期在月历中的排列规律，从这个规律出发，经过多次运算验证，找出9数之和与方框正中心数的关系，启发学生从月历的排列规律出发，用整式表示9数之和与正中心数的关系，实现从特殊到一般的质的飞跃.

活动设计以发散思维的培养为宗旨，要为学生提供充分的思考和交流的空间，鼓励学生多算几组数据，寻求和验证规律的可靠性，启发学生用整式表示这些数，通过运算验证规律的普遍性.

活动中，对不同的学生应有不同的要求，采用分层教学，渗透处理问题的策略和方法，争取使各个层面的学生都各有所获.

通过对图形规律的探索，培养学生观察、分析、猜想、归纳的能力，找出寻找图形规律的思考方法，通过学生之间的讨论，增强学生的交流意识、合作精神；通过对规律的表达方法的探究，使学生体会能够用整式表达某些实际意义，增强数学的应用意识。问题2是在问题1的基础上，使学生进一步感受寻找基本图形对进而找到图形中存在的规律的重要性及简捷性，这仍然是对所学知识的应用过程，根据学生的具体情况，遵循“循序渐进”的原则安排，层层递进，逐步形成技能。

6。2规范格式，应用探究成果

练习：如图6，文化广场上摆了一些桌子，若并排摆n张桌子，可同时容纳多少人？

图6教师提出以下的小问题：

（1）每加一张桌子，可坐的人数增加了多少？

（2）两张桌子比一张桌子可坐人数增加了多少？三张桌子比一张桌子可坐人数增加了多少？四张呢？五张呢？这些数字是哪一个数的倍数？

（3）按上述表述，能否将两张桌子可坐人数与序号2联系起来写出一个算式？能否将三张桌子可坐人数与序号3联系起来写出一个算式？四张桌子呢？n张桌子呢？

将学生的答案通过实物投影进行展示，并请学生来解释找到答案的过程。老师指导规范其解题的过程。

6。3归纳梳理，体会探究价值

由学生和教师共同总结本节课所学到的知识.

师生活动先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其是本节课是如何经历的知识探究过程，如何运用化归与思想得到方法。

总结出寻找“图形序列”规律的思维步骤：

（1）找到组成复合图形的基本图形；

（2）找到图形变化中的不变量；

（3）在找到规律后，用数学式子表达规律；

（4）发现在寻找图形规律的过程中，不同方法的特点。

设计意图通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.

6。4目标检测题

6。5拓展作业

将1—9这9个数字填写在右边的9个空格中，使得横、竖、斜中各个数字的和都相等。

设计意图检测题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生能否运用所学知识解决问题的能力；拓展作业的设置是为了教会学生怎样利用资料进行数学学习，同时让学生了解网络是自主学习和拓展知识面的一个重要平台，这是本节内容的一个提高与拓展.endprint