初一列方程入门教学的思考与建议

张昆　宋乃庆

在代数学发展进程中，有两个要点具有里程碑式的意义：一是作为扩大的自然“0”的引入；二是韦达的表示数的符号的引入。前者，人类和一个没有零的符号的不够用的命数法苦斗了几千年；后者，由于缺乏统一记号，使得代数成为一堆解数值方程的偶然方法。[1]（73）符号进入数学，通过所谓的“列方程”方法的引入，使应用题的解法产生了根本性变革。

1引进符号列方程的应用价值与教育价值

如果没有符号，人们只能用自己的感官来把握客观事物，它反映出人的感官把握对象的各个侧面；用符号代替“对象”之后，客观事物就变成了完全的抽象物，只是某一指定运算的运算对象而已。符号使人在变换文字表达时便于操作，从而把任何陈述都变为等价的形式，使得数与式的变形成为轻松容易的事情。

1。1引进符号使列方程解应用题的资源加倍

没有引进表示所要求的未知数的符号以前，应用题的解法只能依靠算术法，即从已知数列综合算式得到所要求的未知数。它要用的资源就是所设定的问题当中的已知数据，由于所要求的数不能进入综合算式，所以未知数对于问题的求解帮助甚微。这种情形之下，已知数与所要求的未知数是对立的。为了说明问题，我们看一个例子：

例1（我国古代《孙子算经》中的问题）鸡兔同笼，共有35个头，94只脚，问鸡兔各有多少？

解法一（算术解法）假想所有的35只都是兔，那么共有35×4=140只脚。而实际上只有94只脚，这样多出来了（140-94）只脚。为什么会多出来这么多的脚呢？这是因为每只鸡比每只兔少两只脚，而解题的设想是所有的35只都是兔，这就暗示着鸡的个数。于是

鸡数=（140-94）÷（4-2）=23，

兔数=（94-35×2）÷（4-2）=12。

解法二（智力性的解法）设想鸡、兔都抬起半数的脚，这时，着地的脚数是94÷2=47，而鸡的个数就是着地的脚的个数，因此，47-35应是每个兔子的脚数，即兔数是12。鸡数为23。这种捷思巧想，令人叫绝，但它需要相当的敏才与造化，或许还要触景生情的灵感的光顾。

不论算术解法，还是智力性的解法，都只是从已知数据中得到所要求的未知数，即未知数是从已知数中产生出来的，于是，未知数对问题的解答没有贡献。

解法三（代数解法）设兔与鸡的个数分别为x、y，由题意，可列出如下的方程组

x+y=35，①

4x+2y=94。②

②÷2，得2x+y=47。③

③-①，得x=12，

把x=12代入①，得y=23。

我们看到代数的解法与前面的两种解法截然不同，那就是，这种解法使得已知数与要求的未知数对问题的解决作出了同等的贡献，由于已知数与未知数两种资源的对等的应用，使得问题的解答在数学求简观念下的自觉行为，体现出顺其自然、简单流畅。

运用符号的代数法的解题，变未知数为半壁资源，极大地降低了解应用题的思维强度。我们对比解法二与解法三，就能明白这一切。智力性的解法（解法二）需要对情况有清晰的直观的理解，巧思妙想，令人惊叹。但在赞叹解题的机智之时，可能很少有人会意识到它正是对代数解法所作的诠释：其实在代数解法中的②÷2即是所有的鸡和兔都抬起半数的脚了；③-①就是在这47只着地的脚数中，除掉了鸡的着地的脚数与兔的着地的第三只脚，从这里，我们比较清楚地看到了模式是怎样降低了数学思维的强度，提高解决问题的效率的：将那种在思维中，由依据实物的特性的构造过程转化成解方程（组）的形式上的程序化的操作过程。

1。2解应用题促使学生理解数学概念与具体事物的联系

列方程解应用题是初中数学教学的最重要的任务之一。在列方程解应用题时，学生学会了把一个实际问题（语言表达的文字题）翻译成数学语言，这就使他们有机会体验到数学的概念和具体的东西是可以联系的。波利亚说：“对于工作中要大量用数学的工程师和科学家来说，他们主要靠这一训练把实际问题翻译成数学概念。也许一个工程师可以靠数学家去替他解答他的数学问题，这样，未来的工程师就可以用不着为了解题去学数学了。但是有一点他是不能完全依赖数学家的，这就是他必须懂得足够的数学知识，以便能把自己（专业领域）的实际问题变成一个数学问题。如此，未来的工程师当他在学校里学习列方程去解文字题时，便能第一次尝到数学在他的工作里主要是怎么用的，也第一次有机会去锻炼自己，培养自己这方面的习惯”。[2]

数学是一种开放的系统，它作为模式与框架为科学研究领域服务的，列方程解应用题在学生学习之初，就将数学概念与实际问题结合起来，及早地渗透数学与客观事物的联系。

2初一学习列方程的疑难分析

列方程教学对数学内部而言，它给解应用题带来了巨大的方便，对学生在处理数学概念与客观事物的关系时，初步获得的方法与会观念感同身受。这就是列方程解应用题的应用价值与教育价值的统一。然而，初一学生学习列方程不是一件容易的事。

在小学数学教学中，学生已经学习了列算式解应用题，还学习了简单的列方程解应用题。初一列方程解应用题的教学，就是建立在学生已学的这些知识的基础上。因此，学生已经有了两套不同的解应用题的方法与程序，但就初一学生思维层次而言，这两套方法与程序并不是平等的关系，从学生熟练应用上看，他们偏于选择列算式的方法，从学生学习的目标上看，通过教学的活动，在他们内在思维的动态运作中，需要达成从列算式解应用题转变为列方程解应用题的目的，引导学生思维升级。通过多年的教学经验与教学研究，我们发现学生学习列方程的主要疑难之处在于：从综合性的算术思维到分析性的代数思维的心理转换；从生活语言向形式化的符号语言的转换。

2。1综合性的算术思维先入为主且根深蒂固

具体往往先于抽象，而具体往往又成为学科进展的最大的绊脚石。学生已经长期浸染了综合性的算术思维，他们从“你有一个苹果，我也有一个苹果，我俩共有几个苹果”的解答1+1=2开始，直到学习简单的列方程之前，所要解决的数学问题都是采用这种列算式的形式。endprint

对学生而言，如果从上幼儿园开始算起，列算式法解应用题的方式，至少经过了5、6年的训练，他们已经形成了一种思维的“硬壳”（强烈的思维定势），对于这种“硬壳”，在短时间里极难剖开，极难软化。它给了学生以非常深刻的影响，经过长期潜移默化的熏陶，学生形成了的潜意识是，解应用题就是将应用题中的已知数据，依据应用题中所设定了的计算程序列成算式，对这个算式进行计算就能得到所要求的结果，由书写从左到右的自然顺序，所列出的算式置于等号的左边，它计算的结果就放置在等号的右边。

在这种潜意识中，学生产生的心理经验是：（1）“等号”只是所要求得的数值的标志；（2）“已知数”与“所求数”有明显区别，“已知数”编入算式，放在等号左边，对这个算式进行计算的结果，就得到“所求数”，置于等号右边。

这些经验的存在使学生在解应用题时，形成了“条件反射”般地套用，拿到应用题，就谋求着列出包含题意中所有的已知数据的算式，通过计算，就可以解决问题了。如此，从知识的心理发生的角度上说，这种习惯性的解应用题的方式对学生长期浸润造成的结果形成了根深蒂固的两对矛盾：

（1）把等号的涵义固定在得到应用题的答案的一种标记上，或者说是回答别人问题的一种提示（看好了，你要的答案在这！），他们把这种表面的现象当成了本质属性。而等号的本质的含义是表示一种对等性的结构关系，即等号的两边都可以执行相同的计算，这就产生等式的诸多性质。这对矛盾阻止了未知数进入等式并参与计算。

（2）将“已知数”与“未知数”绝对对立了起来。在执行运算的时候，学生用两种不同的方式来对待“已知数”与“未知数”，他们对“已知数”特别青睐，总是设法利用“已知数”列出综合算式来得到“未知数”，从而获得问题的解答。如此，就将“未知数”对解决问题的巨大帮助抛弃了。而实际的情况却是，就一个问题来说，“已知数”与“未知数”是相对而言的。事实上，数字无非是指代物体的个数的符号，它本身是一种抽象的语言，那么，“已知数”是我们用已经知道了的数字来表示已经明确事物多少的数量；而“未知数”也是指代事物的数量的，不过，这个数量还不明确而已，我们只得用字母来表示，是一个可以变化的量。如此，“已知数”与“未知数”就具有了相同的内涵，它们都指代物体的数量，在进入代数式与运算中就具有了对等的权利，这样，依据问题所设定的关系，不论“已知数”与“未知数”，他们既可以进入等号的左边，也可以进入等号的右边，只要它们符合题目所设定的具体运算条件就行了。

而学生在从列算式解应用题转变到列方程解应用题的过程中，由于思维定势的强烈作用，他们的思维活动就裹挟在矛盾的一个极端上，这对矛盾对立的两个方面不能互相转化，得不到辩证统一。于是，新的思想、新的观念都难以进入学生的思维门户，建构出学生的新的观念系统。故而，列方程解应用题入门时，学生对由综合性的算术思维到分析性的代数思维的转轨产生了巨大的困难。

如此造成学生对代数思维最为基础的地方——列方程解应用题的学习只能作出表面形式的摹仿，不能“登堂入室”地获得这种分析性思维的营养，以拓展思维结构与提升思维的层级。应用方程解题的一次又一次的失败，对他们的心理造成了极大的负面影响。长时间的失望是蚕食年少学子自信心和兴趣的瘟神，最后，他们的学习兴趣和可贵的进取心一点点地消失殆尽。于是，学生后继数学学习的积极性消退了，饱满的热情也荡然无存。这样必然波及到其他学科，从而对其他学科的学习产生了不良的影响。故而，不仅浪费了学生的美好时光，而且让他们笼罩在较少成功的阴影中。这种情形，导致出极大地损伤了列方程解应用题的教育价值，要想实现数学的教学目标——利用代数学科资源提升人的精神品格谈何容易。

2。2生活语言向符号语言的转换并非易事

学生由于长期的列算式解应用题的偏狭经验，形成了他们把“已知数”与“未知数”对立起来。这种对立使学生形成了思维定势的“死角”，它又与从生活语言到符号语言的转化纠缠在一起。因为“未知数”是参变量，是表示可变动的数的符号。退一步说，即使学生认识到了“未知数”与“已知数”具有相同的本质，但在列方程解应用题起始课的学习中，作为使用符号表示未知数，他们对此也会极不适应。

T·丹奇克说：“（引进符号的）这种方法连伟大的丢番图以及他的聪明的阿拉伯后继者都没有想到，天才的菲波拉契几乎发现了它，却又失之交臂，这样的一种方法我们能说它是来自天然的吗？”[1]（72-73）符号进入数学从而建立起了代数体系，在数学发展史上，从丢番图用缩写的字母表示数到韦达用字母表示一般意义上的数，用了整整1200年。学生认识的发生过程要重现其种系知识的发现过程，以此，我们可以理解初一学生用符号表示一般意义上的数，他内在观念上转换的困难就可想而知了。

对于此，安拉·斯法特在回忆自己教学中所经历的切身体会时说：“从历史的角度来看，韦达的发明（引进变量——引者注）的意义不是所有的数学史学家能完全理解的。从数学史学家的视野中往往忽视了韦达引入变量的巨大成就，同样的机制也会发生在数学教师的身上，他们忽视了这一点，即在第一次引入未知数的方程中，学生很难攀升到达数学教学目标所设定的高度。这种忽视有时会造成很严重的后果”。[3]通过实际教学，斯法特学会了与学生进行心理换位，认识到了在从算术法到代数法解应用题的过渡中，语言的转换对学生而言确非易事。

达布拉从语言选择与竞争视角写道：“代数的‘广泛的、前水平的活动涉及到了在具体情境下对各种量的关系的理解，它包括不需要用到字母表征，但允许学生用某种关系的方式来处理有关量的情境。这不意味着学生不能对代数的生成与转换的某些方面的理解，但是，他们可以选用不同的方法来形成个体自己的数学”。[4]凯尔岚的研究证实，不论是否具有代数背景的学生，在解决应用题时，他们都具有非正式的策略，使他们能够有效地处理代数的语言问题或者是需要引入未知量的问题。[5]这就是语言的转换，在学生的思维中，已经有了一定的基础，但如何将这些“广泛的、前水平”的语言转化成“标准的、形式化”的符号语言，构成了教学中的又一个难点。endprint

在我国小学数学教学所设计的方程知识系统中，就绝大部分教师理解而言，字母只是用来表示未知数。虽然在教师的教学用书中提出，用字母表示数是学生认识上的一次飞跃，但多数教师没有原始形态的数学知识做支撑，并不能透彻地理解这句话的真正意义。因而有些教师还是误认为：用字母表示数就是用字母代替未知数，使表达更简略。[6]如此，就使得表示数的符号是具体数据的一种延伸，阻碍了符号可以表示变化的已知量的观念的生成。

医家讲究“对症下药”，达到治病的目的就要细心诊断，通过“望、闻、问、切”探清病因，而病因绝不同于它的外表的症状。对学生的理解也是一样，他们知识发生，或者解决问题的疑难，一定是反映在学生的某些僵化了的内在的思维征用、转化或关联相关观念信息。现在，我们对于学生在列方程解应用题时的心理疑难既以探明，那么，教学中教师如何对症下药呢？

3关于初一学习列方程的教学建议

通过课堂观察、调查、访谈与参阅文献等手段，我们设身处地地从学生的列方程知识发生的心理角度揣摩，揭示了学习列方程解应用题的两种疑难。对于一线教师来说，认识这一点是较为困难的，回想自己刚入职时，也如斯法特一样，认为列方程解应用题教学并非难点，但在随后较长时间的教学中，发现列方程解应用题的入门难学难教，从而激起了笔者对这一课题作了几十年的关注。对此，我们建议作如下的教学设计。

3。1突出等号的对等涵义、已知数未知数的对等关系

在列方程时，等号表示对等性及其所派生的一系列的性质与操作功能；“已知数”与“未知数”具有对等性，即它们拥有相同的权利与地位。这两者对于学生突破用综合算式解应用题的思维定式具有非常重要的意义。教师教学的主要任务，就是揭示出“等号”所表达的对等性本质，揭示出“已知数”与“未知数”的对等关系的本质，使学生对它们达到深层次的、本质性的认识。

例2已知某数的2倍与5的和等于14与这个数的差，求这个数。

教学中，发现学生较为集中地给出这样的典型的解题过程：设这个数为x，根据数的逆运算：这个数的3倍为14-5，故可列方程为14-513=x。

这里所设的未知数x只是一种形式，实质上，依然是一种算术性的综合思维。它的成因是“等号”的第一种意义“功能固着”的影响。

列方程的含义是：设出未知数，就是将未知数看作是已知数，将未知数依据题意中所规定的运算，把它当作已知数参加题意之中所设定了的运算关系进行运算。这一过程正是消解“已知数”与“未知数”的矛盾的过程，使未知数在解答问题中，像已知数一样发挥同等的作用。然后，再由题意中的相等关系，列出一个等式，这个等式当中就含有这个所设的未知数，从而形成了方程。我们可以如此设计教学过程：

①设这个数为x；

②“某数的2倍与5的和”，列代数式为2x+5，“14与这个数的差”，列代数式为14-x；

③“某数的2倍与5的和”的运算结果和“14与这个数的差”的运算结果相等，由此可列方程为2x+5=14-x.

设未知数，就赋予了未知数与已知数相等的权利，消解了“已知数”与“未知数”的矛盾。教师在教授列方程解应用题的起始课时，与学生进行“心理换位”，理解了学生转变思维方式的艰难，有针对性地设计出帮助学生转变思维方式的教学，以此循循善诱，不厌其烦地引导学生，不仅能够促使学生形成等号表示对等的关系结构的意义、使学生理解已知数与未知数是具有相对性与对等性的关系，而且对学生的审题、将生活语言转化成数学语言也起着极其重要的作用。

3。2建立相等关系式并选设出未知数与列方程

在课堂教学设计时，循序渐进地首先突破找等量关系，是构成列方程的一个重要环节，因为，它给语言的转化构建了一个固定的框架，我们只要将已知数，代表未知数的符号纳入已经建立起来的等式中，就得到了方程。其实，这化解了语言转换上的难点。教学中对每一道题都应具体问题具体分析，训练学生思维广泛适应性，使学生理解语言转换的层次性与顺序性，而不应该划分题型与套用题型。为了说明问题，我们来看一个例子：

例3甲、乙两位同学在一个标准的400米操场上跑步，假设他们的起点相同并且甲的速度快，当他们同向跑步时，12分钟第一次相遇；当他们反向跑步时，2分钟第一次相遇，求甲、乙两人的速度分别为多少？

一般情况下，课本上讲解例题，先给出一个简要的分析，然后紧接着设出未知数x，再列出有关含x的相关的代数式，放入到一个等式当中去，就得到了方程（就像例2一样）。但对于稍微复杂些的问题，这样的分析往往理不清问题的解答程序。初学列方程的同学，在这种操作的框架下，有时候容易滑到对“等号”的第一种意义的理解上去。为了避免学生的这种理解，我们在设计时，将这种程序稍加调整：

（1）从应用题的涵义中找出等量关系式。

①12×甲的速度-12×乙的速度=400；

②2×甲的速度+2×乙的速度=400。

（2）审视等式中的要求的未知数，并从要求的未知数中设出一个未知数为x。

设甲同学的速度为x米/分，我们将其代入等式①，就可以得到乙同学的速度的表达式为12x-400112米/分。

（3）将未知数作为已知数，与应用题所给出的已知数一起代入等式中去。

将甲、乙的速度表达式x与12x-400112同时代入等式②，就自然地得到方程2x+2·12x-400112=400。

从这里，我们已经清楚地看到，所找出的两个等式正好构成了语言转换的框架，使学生不至于滑到使用等号的第一种涵义上去。

总之，对初一列方程教学建议的要点是，首先，促成学生理解等号的涵义：它既是给出问题答案的标志，又表示等号两边的对等关系，可以执行对等的运算操作，而后者是等号的本质涵义。“已知数”和“要求数”，或者“已知数”与“未知数”也是对等的，它们具有同样的权利，设出未知数之后，未知数与已知数一样可以执行各种运算程序。其次，从实际问题生活语言叙述中找出等量关系式，这是列方程程序的第一个环节，它给语言的转换提供了固定的框架，为选设未知数与列方程奠定了基础。

参考文献

[1]T·丹齐克。数，科学的语言[M]。北京：商务印书馆，1985.

[2]G·波利亚。数学的发现[M]。鄂尔多斯：内蒙古人民出本社，1979，91.

[3]Anna Sfard。The Development of A lgebra： Confronting Historical and Psychological Perspectives[J]。Journal of Mathematical Behavior 1995（14）： 26.

[4]Debra I。Johanning。 Supporting the development of a lgebraic thinking in middle school： a closer look at students informal strategies[J]。Journal of Mathematical Behavior，2004（23）： 372.

[5]Kieran，C。 The changing face of school a lgebra。 In C。 Alsina，J。 M。 Alvarez，B。 Hodgson，C。 Laborde，& A。 P'erez （Eds。），Eighth International Conference on Mathematics Education 。Selected Lectures，Seville，Spain： S。A。E。M。Thales。272.

[6]蔡洪圣。 和谐：小学数学教学设计的新视角[J]。endprint