数学分析课程中发现教学法的探索与实践

周启元 向绪言 邹庆云

摘 要 结合数学分析课程特点，在数学分析课程教学中实施发现教学法，对于激发学生的学习兴趣和自主学习意识，培养学生解决问题的能力、团队合作能力具有重要的意义。

关键词 数学分析 发现教学法 教学改革 实践

中图分类号：G424 文献标识码：A

Exploration and Practice of the Discovery Teaching

Method in Mathematics Analysis Course

ZHOU Qiyuan， XIANG Xuyan， ZOU Qingyun

（Department of mathematics， Hu'nan University of Arts and Sciences， Changde， Hu'nan 415000）

Abstract Combining the characteristics of the course of mathematical analysis， Applying the discovery teaching method into mathematical analysis course is important to inspire the learning interests and voluntary learning consciousness of students and cultivate the abilities of problem-solving and team-work of students.

Key words mathematics analysis； discovery teaching methods； teaching reform； practice

发现教学法亦称假设法和探究法，是美国认知主义心理学家布鲁纳提倡的一种启发式的教学方法，是指教师在学生学习概念和原理时，不是将学习的内容直接提供给学生，而是向学生提供一种问题情境，只是给学生一些事实（例）和问题，让学生积极思考，独立探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种方法。①布鲁纳认为，学生主要不是去发现人类尚未知晓的事物，而是去认识人类几千年来的认知成果和历史经验。

1 对数学发现法教学的认识

所谓数学发现教学法，就是指借助教师和教科书向学生提出一系列精心设计的数学问题或作业，使学生在阅读、观察、实验、解题等过程中，亲自去“发现”数学的概念、定理和解题方法等，使学生成为知识的“发现者”，以达到使学生加深对知识的体验和感悟，逐步形成学习和研究数学的积极态度与情感，掌握学习和研究数学的基本方法与技能，发展学习和研究数学的能力的目的。②

2 发现教学法在数学分析③教学中的探索与实践

数学分析课程是高等院校数学类专业的主干课程，在培养学生形成严谨的逻辑思维能力和推理论证能力、提高学生运用数学方法解决实际问题的能力和开拓学生的创新能力等方面都起着重要的作用。但长期以来，数学分析的教学效果总是不能令人满意。如何通过改革数学分析课程的教学，提高数学分析的课堂教学效果和教学质量一直是受关注的问题，近年来，也有不少学者做了这方面的研究。④⑤本文将从数学分析的概念教学、命题教学、解题教学、课后作业等方面尝试进行发现教学法，促使学生成为知识的“发现者”。

2.1 在数学概念的导入中实施发现教学法

建构主义观点认为，数学知识不是简单地通过教师传授到学生头脑中去，而是要根据个人的操作、体验、感悟、交流，思维由浅入深，由低级到高级，由感性认识上升到理性认识来主动构建，并通过反省来调节。⑥

关于定积分概念的建立，是通过求曲边梯形的面积与变力所做的功而引入的。在求曲边梯形面积时，是通过分割、近似作和得到其近似值。教学中通常是直接对曲边梯形进行块分割，学生往往不得要领，我们从学生能解决矩形面积的计算与逼近思想出发，利用发现法教学，提出课题：曲边梯形面积如何用对应的矩形面积去近似代替而使得其误差趋于零？引导学生将曲边梯形中的连续曲线所在的边用一条水平线段代替，就得到一个曲边梯形面积的近似值，但误差较大，学生不难发现：若将该曲边梯形分成两块，即在底边上插入一个分点，每一块都用矩形面积代替它，这时的误差就会比前面的要小.设想：如果将这些曲边梯形分成三块（即插入2个分点）、四块（即插入3个分点）、十块（插入9个分点）、一百块、一千块……、无数多块，这种误差是不是会越来越小，最终趋于零？辅助多媒体演示，让学生表述结论，学生不难得出结论：我们的设想是可行的，即当分的块愈多（即插入的分点越多），每个小矩形面积的和就越接近曲边梯形的面积，从而小矩形面积的和就越接近曲边梯形的面积。将此过程用准确的符号语言来叙述并辅以多媒体演示，学生很自然地解决课题所涉及问题，同时也让学生感知了“以直代曲”的数学思想。

这样通过明确课题，揭示矛盾，分析矛盾有助于学生对数学概念的深刻领会；有利于数学思想的渗透，同时也有利于学生认识“发现”思维的某些规律。

2.2 在数学命题的证明中尝试发现教学法

数学命题的证明一般不外乎分析法与归纳法，这种证法实质上就是在已知的条件与现成的结论之间铺路搭桥，对学生发散思维的训练与创新能力的培养作用不大，发现教学法能大大地改进其不足，通过引导学生提出一定问题，在条件与结论可能都不大清楚或不十分完整的情况下去完善条件去明确或推广结论，从而获得一些正确命题。

拉格朗日中值定理是数学分析中一个非常重要的定理，它的证明过程渗透了一个重要的数学思想方法——构造法。对该定理的证明，通常是直接构造辅助函数，利用罗尔定理去证，学生对构造法的精髓体会不深。我们在证明中尝试了发现法教学，针对罗尔定理的第三个条件过于苛刻，取消该条件后，引导学生思考，表示罗尔定理几何意义的图形有何改变？提出课题：如果 （）在[]上连续，在（）内可导， （） ≠ （），是否在（）内存在一点，使得曲线 = （）在该点处也有平行于的切线？学生自然能将该问题转化为：是否存在（），使得 （） = ，要解决此问题，只需将上式变形为 （） = 0，即 = 0。这样就将问题转化为（）在（）内的零点存在问题，从而学生很容易构造出辅助函数（） = （） 。但在 （）在[]上连续，在（）内可导的假设下，（）满足罗尔定理的第三个条件不明显，为此又提出课题：在不改变导数的表达式前提下，如何修改函数（），使得罗尔定理的第三个条件更明显。学生通过尝试不难发现函数（） = （） （） （）即可，再引导学生从几何上给予解释。

这样让学生亲身经历寻找解决问题的条件的过程，一方面学生对定理中每个条件的作用更了解；另一方面也能培养学生的创新意识。学生通过对条件进行适当的变更，往往能获得一些新的结论，这也给学生的研究性学习提供了平台。

2.3 在解题方法的探索中渗透发现教学法

数学分析发现教学法开放性的特点决定了解答数学分析问题方法的多样性，同时，解题方法的研究本身也是发现教学法的一个重要内容。在解题方法的探讨中渗透发现教学法，有利于拓展学生的解题思路，提高学生解题的技巧与能力，训练学生的发散性思维，培养学生的创新能力，如求二重极限，通常的解法是：

由于

令 = （ + ），有

又∣∣≤

从而

故。

此解法是按未肯定二重极限的存在性而做的，也就是说，虽然题目是求极限，语气中似乎极限是存在的，但我们并没有利用所求的极限是存在的这一条件。事实上，通过组织学生相互讨论、研究，学生容易发现：如果利用这一条件（极限存在）便可沿一简单的路径使（）→（0，0），例如沿轴（即 = 0）。由于二重极限存在，故沿任一路径的极限应等于二重极限值，即有：

这样可以选择到最佳的解题方法。

2.4 在课后作业的设计中体现发现教学法

数学分析课后作业是对数学分析课堂内容的应用与补充，除常规作业外，借助发现教学法，还可给学生布置相关的研讨题，拓展学生的思维，创设一种类似于科学研究的途径，让学生自主发现问题、探究问题并获得结论。研讨题通常是对某些定理只提出结论，要求学生去寻找相关的条件，或给出一定的条件（不够的条件由学生补上）去导出相应的结论；还可要求学生在一定的前提下作寻求充分必要条件的练习。如将文献[2]中第123页例题1改编为“如果函数 （）在上可导且 （） = 0没有实根，你能从罗尔定理推想到函数 （）将具有什么特性？”极大地丰富了该题的内涵，能激发学生的求知欲。

3 结束语

在心理学家布鲁纳看来，一个科学家的研究工作和一个学生在课堂上的学习活动，都是同类的智力活动过程，其间只有程度的差别，没有性质的差异。发现教学法是对传统教学方法的改造与补充。通过教师充分挖掘教材中能启发学生的“发现”思维的课题，巧妙设计“诱导”方式，激发学生勤于思考，将学生提出问题、研究问题和解决问题从而“发现”新知识能力的培养融会到知识的传授之中。

基金项目：湖南省教育厅教学改革研究项目[2013，351][2012，142]，湖南文理学院教学改革研究重点项目[JGZD1304]、一般项目[JGYB1312] [JGYB1210]

注释

①②王子兴.数学教育学导论[M].桂林：广西师范大学出版社，1996.

③ 华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

④ 周启元.数学分析课程实施分层教学的思考[J].华章，2013（2）：180.

⑤ 董立华，孔淑霞.数学专业分析类课程研究性教学的改革实践及探索[J].榆林学院学报，2010.20（4）：84-86.

⑥ 宋秉信.数学学习论[M].重庆：重庆大学出版社，1996.